Диссертация (1149223), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поскольку H–производные δH fi (x), i ∈ I, регулярны в нуле, то по предложению 2.2.6 существуют L > 0 иα0 > 0 такие, что|fi (x + α∆x) − fi (x)| 6 Lα ∀α ∈ [0, α0 ).(2.4)Определим отображение r : Ω → Rn по правилуr(y) = (f1 (y), . . . , fn (y)) ∀y ∈ Ωи выберем произвольные (Φi , Ψi ) ∈ δH fi (x). Тогда для любого α ∈ [0, α0 ) имеемfi (x + α∆x) − fi (x) = Φi (α∆x) + Ψi (α∆x) + oi (α) i ∈ I,где oi (α)/α → 0. Откуда, учитывая (2.3), получаем, что для любого α ∈ [0, α0 )T (x + α∆x) − T (x) = g(r(x + α∆x)) − g(r(x)) =nnXX∂g∂g=(y)(Φi (α∆x)+Ψi (α∆x))+(y)oi (α)+β(r(x+α∆x)−r(x))kr(x+α∆x)−r(x)k.∂y∂yiii=1i=136Из (2.4) и того факта, что β(∆y) → 0 при ∆y → 0, вытекает, что oT (α)/α → 0 при α → 0,гдеnX∂g(y)oi (α) + β(r(x + α∆x) − r(x))kr(x + α∆x) − r(x)k.∂yii=1PОтсюда, учитывая, что очевидно существует (Φ, Ψ) ∈ ni=1 ∂g/∂yi (y)δH fi (x) такое, чтоoT (α) =Φ+Ψ=nX∂g(y)(Φi + Ψi ),∂yii=1получаем, что функция T является H–кодифференцируемой в точке x иnX∂gδTH (x) =(y)δH fi (x),∂yii=1что и требовалось.Воспользовавшись предыдущей теоремой, получаем справедливость следующих утверждений.Предложение 2.4.3.
Пусть функции f1 , f2 : Ω → R являются H–кодифференцируемымив точке x ∈ Ω, и предположим, что H является линейным подпространством RX .Пусть также δH f1 (x) и δH f2 (x) регулярны в нуле. Тогда функция f1 · f2 является H–кодифференцируемой в точке x иδH (f1 · f2 )(x) = f1 (x)δH f2 (x) + f2 (x)δH f1 (x),DH (f1 · f2 )(x) = f1 (x)DH f2 (x) + f2 (x)DH f1 (x).Предложение 2.4.4.
Пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точкеx ∈ Ω, и предположим, что H является линейным подпространством RX . Пусть такжеδH f (x) регулярна в нуле и f 6= 0 в некоторой окрестности точки x. Тогда функция g = 1/fявляется H–кодифференцируемой в этой точке иδH g(x) = −1δH f (x),f 2 (x)DH g(x) = −1f 2 (x)DH f (x).Предложение 2.4.5. Пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точке x ∈ Ω, и предположим, что H является линейным подпространством RX . Пустьтакже δH f (x) и регулярна в нуле и a > 0.
Тогда функция g(·) = af (·) является H–кодифференцируемой в точке x иδH g(x) = ln a af (x) δH f (x).37Рассмотрим вопрос об H–кодифференцируемости инфимума и супремума H–кодифференцируемых функций. Сначала мы изучим этот вопрос в случае конечного числафункций.Теорема 2.4.2. Пусть функции fi : Ω → R являются H–кодифференцируемыми в точкеx ∈ Ω, i ∈ I = {1, . . . , n}. Предположим, что множество H удовлетворяет следующимусловиям:1. H замкнуто относительно сложения и вертикальных сдвигов;2. (−H) ⊂ H, т.
е. для любого h ∈ H будет −h ∈ H.Тогда функции f = maxi∈I fi и g = mini∈I fi являются H–кодифференцируемыми в точке x.Более того, для любых (Φi , Ψi ) ∈ δH fi (x) и (Ui , Vi ) ∈ DH fi (x), i ∈ I, будет X XδH f (x) = max fi (x) − f (x) + Φi −Ψj ,Ψk ,i∈Ik∈Ij∈I\{i}δH g(x) =XXΦk , min fi (x) − g(x) + Ψi −Φji∈Ik∈I(2.5)(2.6),j∈I\{i}[no X XDH f (x) ={fi (x) − f (x)} + Ui −Vj ,Vk ,i∈IDH g(x) =k∈Ij∈I\{i}XUk ,k∈I[n(2.7){fi (x) − g(x)} + Vi −i∈IXUjo(2.8).j∈I\{i}Доказательство.
Заметим, что правые части формул (2.5)–(2.8) не зависят от выбора(Φi , Ψi ) ∈ δH fi (x) и (Ui , Vi ) ∈ DH fi (x), i ∈ I, поэтому они корректно определены.Мы будем рассматривать только функцию f , поскольку утверждение теоремы дляфункции g доказывается аналогичным образом. Зафиксируем произвольные (Φi , Ψi ) ∈δH fi (x), i ∈ I. Для любого допустимого ∆x ∈ X имеемfi (x + ∆x) − fi (x) = Φi (∆x) + Ψi (∆x) + oi (∆x, x) i ∈ I,где oi (α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.
Поэтомуf (x + ∆x) − f (x) = max(fi (x + ∆x) − f (x)) =i∈I= max(fi (x) − f (x) + Φi (∆x) + Ψi (∆x)) + o(∆x, x),i∈Iгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0. Остаётся только заметить, чтоmax(fi (x) − f (x) + Φi (∆x) + Ψi (∆x)) =i∈I XX= max fi (x) − f (x) + Φi (∆x) −Ψj (∆x) +Ψk (∆x),i∈Ij∈I\{i}38k∈Iи что при сделанных предположениях относительно множества H правая часть последнегоравенства представляет собой сумму H–выпуклой и H–вогнутой функций.Рассмотрим теперь вопрос об H–кодифференцируемости бесконечного семействафункций. Для этого нам потребуется вспомогательное определение равномерной H–кодифференцируемости.Определение 2.4.1. Пусть 0 ∈ H, Λ — произвольное непустое множество, функцииfλ : Ω → R являются H–гиподифференцируемыми в точке x ∈ Ω, λ ∈ Λ.
Будем говорить, чтосемейство функций {fλ }, λ ∈ Λ является равномерно H–гиподифференцируемым в точкеx, если для всех λ ∈ Λ существуют (Φλ , 0) ∈ δH fλ (x) такие, что для любого допустимого∆x ∈ Xfλ (x + ∆x) − fλ (x) = Φλ (∆x) + oλ (∆x, x),гдеsupλ∈Λ |oλ (α∆x, x)|→ 0 при α ↓ 0.αЗамечание2.4.1.РавномерноH–кодифференцируемые(2.9)иравномерноH–гипердифференцируемые семейства функций определяются аналогично.Предложение 2.4.6. Пусть H замкнуто относительно вертикальных сдвигов, 0 ∈ H, Λ— произвольное непустое множество, и предположим, что выполнены следующие условия:1. семейство функций fλ : Ω → R, λ ∈ Λ равномерно H–гиподифференцируемо в точкеx ∈ Ω;2. для каждого y из некоторой окрестности точки x множество {fλ (y) | λ ∈ Λ} ограничено сверху;3.
существуют (Φλ , 0) ∈ δH fλ (x), λ ∈ Λ, такие, что выполнено (2.9) и0 ∈ int dom sup Φλ .(2.10)λ∈ΛТогда функция f = supλ∈Λ fλ конечна в некоторой окрестности точки x и H–гиподифференцируема в этой точке. Более того, для любых (Φλ , 0) ∈ δH fλ (x), λ ∈ Λ, удовлетворяющих (2.9) и (2.10), и множеств Uλ ⊂ H, порождающих функции Φλ , λ ∈ Λ,будетδH f (x) = [sup(fλ (x) − f (x) + Φλ ), 0],λ∈Λh[iDH f (x) =({fλ (x) − f (x)} + Uλ ), {0} .λ∈Λ39(2.11)(2.12)Доказательство. Заметим, что правые части (2.11) и (2.12) не зависят от выбора (Φλ , 0) ∈δH fλ (x), λ ∈ Λ, удовлетворяющих (2.9) и (2.10), и от выбора множеств Uλ ⊂ H, порождающихфункции Φλ , λ ∈ Λ.Поскольку для каждого y из некоторой окрестности точки x множество {fλ (y) | λ ∈ Λ}огранично сверху, то функция f конечна в данной окрестности. Зафиксируем произвольные(Φλ , 0) ∈ δH fλ (x), λ ∈ Λ, удовлетворяющие (2.9) и (2.10).
Для любого допустимого ∆x ∈ X идля любого λ ∈ Λ имеемfλ (x + ∆x) − fλ (x) = Φλ (∆x) + oλ (∆x, x),где oλ (∆x, x), λ ∈ Λ, удовлетворяют (2.9). Отсюда получаем, чтоf (x + ∆x) − f (x) = sup(fλ (x + ∆x) − f (x)) = sup(fλ (x) − f (x) + Φλ (∆x)) + o(∆x, x),λ∈Λλ∈Λгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0. Откуда мы получаем, что функция f является H–гиподифференцируемой в точке x и справедливы равенства (2.11) и (2.12).Замечание2.4.2.(i)гипердифференцируемостиАналогичноточнойможнонижнейдоказатьгранипредложениесемействаобH–равномерноH–гипердифференцируемых функций.(ii) Постановка вопроса об H–кодифференцируемости точней нижней грани и точнейверхней грани бесконечного семейства H–кодифференцируемых функций, вероятно, является слишком общей, поскольку требует значительных ограничений на множество H, что является неудобным с точки зрения приложений. Однако, в некоторых частных случаях можноуказать условия гарантирующие H–кодифференцируемость данных функций (см.
главу 4ниже).2.5Необходимые условия экстремумаВ данном разделе мы изучаем необходимые условия экстремума абстрактно кодифференцируемых функций. Для вывода необходимых условий экстремума мы используем аппарат верхних H–выпуклых и нижних H–вогнутых аппроксимаций.Очевидно, что при выводе необходимых условий экстремума H–кодифференцируемыхфункций необходимо использовать различные предположения для различных классов множеств H.
Поскольку в приложениях, чаще всего, используемые аппроксимации, либо положительно однородны, либо непосредственно связаны с выпуклыми функциями, то мы будемналагать условия, которые выполнены в этих случаях.40Нам потребуется следующее вспомогательное определение (см. [121, 127]).Определение 2.5.1. Пусть f : X → R произвольная функция, удовлетворяющая условиюf (0) = 0. Функция f называется субоднородной (супероднородной) если для любых x ∈ X иα ∈ (0, 1) справедливо неравенствоf (αx) > αf (x) .f (αx) 6 αf (x)Класс субоднородных (или супероднородных) функций достаточно широк. В частности, любая выпуклая (вогнутая) функция f : X → R такая, что f (0) = 0 является субоднородной (супероднородной). Также любая положительно однородная степени λ > 1 (λ ∈ (0, 1])функция является субоднородной (супероднородной).Пусть Ω ⊂ X — открытое множество, A ⊂ Ω — непустое выпуклое множество, ипредположим, что H замкнуто относительно вертикальных сдвигов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
