Диссертация (1149223), страница 22
Текст из файла (страница 22)
функционала Iнам потребуется следующее утверждение.Предложение 5.1.1. Для любых x, h ∈ C 1,d [a, b] и α > 0 справедливо равенствоIλ (x + αh) − Iλ (x) = αZ b hDE∂f1∂f2λ(t)(x(t), ẋ(t), t) +(x(t), ẋ(t), t) , h(t) +∂x∂xaDEi∂f1∂f2+ λ(t)(x(t), ẋ(t), t) +(x(t), ẋ(t), t) , ḣ(t) dt + oλ (αh),∂z∂zгде oλ (αh)/α → 0 при α ↓ 0 равномерно по λ ∈ Λ.Доказательство.
Зафиксируем произвольные x, h ∈ C 1,d [a, b], h 6= 0. С учётом того, что112λ(t) ∈ [−1, 1] для почти всех t ∈ [a, b], для любого α > 0 имеемZ b hD1E∂f1∂f2λ(t)(x(t), ẋ(t), t) +(x(t), ẋ(t), t) , h(t) + (Iλ (x + αh) − Iλ (x)) −α∂x∂xaDEi∂f1∂f2+ λ(t)(x(t), ẋ(t), t) +(x(t), ẋ(t), t) , ḣ(t) dt 6∂z∂zZ b 16 f1 (x(t) + αh(t), ẋ(t) + αḣ(t), t) − f1 (x(t), ẋ(t), t) −a αE D ∂fED ∂f11−(x(t), ẋ(t), t), h(t) −(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) dt+∂x∂zZ b 1f(x(t)+αh(t),ẋ(t)+αḣ(t),t)−f(x(t),ẋ(t),t)−+22a α−E D ∂fE22(x(t), ẋ(t), t), h(t) −(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) dt,∂x∂zD ∂fи остаётся только применить лемму 5.1.1.С учётом предложения 5.1.1 и замечания 4.2.1, получаем, что для любого фиксированного x ∈ C 1,d [a, b] и для любого h ∈ C 1,d [a, b] будетI(x + h) − I(x) = sup ψλ (h, x) + o(h),λ∈Λгде o(αh)/α → 0 при α ↓ 0 иψλ (x, h) =Z bhaλ(t)f1 (x(t), ẋ(t), t) − |f1 (x(t), ẋ(t), t)|+ED∂f2∂f1(x(t), ẋ(t), t) +(x(t), ẋ(t), t) , h(t) ++ λ(t)∂x∂xDEi∂f1∂f2+ λ(t)(x(t), ẋ(t), t) +(x(t), ẋ(t), t) , ḣ(t) dt.∂z∂zВыведем необходимое условие локального максимума.
Пусть x∗ ∈ A — точка локальногомаксимума функционала I на множестве A. Нетрудно понять, чтоN (A, x∗ ) = p ∈ X ∗ | p(y) = 0 ∀y ∈ C 1,d [a, b] : y(a) = y(b) = 0 .Из следствия 4.3.1 получаем, что для любого λ ∈ Λ такого, что ψλ (x∗ , 0) = 0 выполняетсяусловие ∂h ψλ (x∗ , 0) ∩ N (A, x∗ ) 6= ∅, где ∂h ψλ (x∗ , 0) — субдифференциал отображения h →ψλ (x∗ , h) в нуле, или, что эквивалентно, для любого λ ∈ Λ такого, чтоλ(t)f1 (x∗ (t), ẋ∗ (t), t) = |f1 (x∗ (t), ẋ∗ (t), t)| для п.в.
t ∈ [a, b]113справедливо равенствоZ b hDaE∂f1 ∗∂f2 ∗∗∗λ(t)(x (t), ẋ (t), t) +(x (t), ẋ (t), t) , h(t) +∂x∂xEiD∂f2 ∗∂f1 ∗∗∗(x (t), ẋ (t), t) +(x (t), ẋ (t), t) , ḣ(t) dt = 0+ λ(t)∂z∂z∀h ∈ C 1,d [a, b] : h(a) = h(b) = 0.Проинтегрировав слагаемое с h(t) по частям и воспользовавшись леммой Дюбуа–Раймона(см., например, [27]), получаем, что для почти всех t ∈ [a, b] будетZ btλ(τ )∂f1 ∗∂f2 ∗(x (τ ), ẋ∗ (τ ), τ ) +(x (τ ), ẋ∗ (τ ), τ ) dτ +∂x∂x∂f1 ∗∂f2 ∗+ λ(t)(x (t), ẋ∗ (t), t) +(x (t), ẋ∗ (t), t) = c,∂z∂zгде c ∈ Rd — константа.В итоге получаем следующее необходимое условие максимума функционала I.Предложение 5.1.2. Пусть x∗ ∈ A точка локального максимума функционала I на множестве A. Тогда для любого λ ∈ L∞ [a, b] такого, что λ(t) ∈ [−1, 1] иλ(t)f1 (x∗ (t), ẋ∗ (t), t) = |f1 (x∗ (t), ẋ∗ (t), t)| для п.в. t ∈ [a, b],существует c ∈ Rd такое, что для почти всех t ∈ [a, b] будетZ bt∂f1 ∗∂f2 ∗∗∗λ(τ )(x (τ ), ẋ (τ ), τ ) +(x (τ ), ẋ (τ ), τ ) dτ +∂x∂x∂f1 ∗∂f2 ∗+ λ(t)(x (t), ẋ∗ (t), t) +(x (t), ẋ∗ (t), t) = c.
(5.2)∂z∂zПокажем на примере, что необходимое условие максимума (5.2) лучше, чем необходимое условие экстремума в негладких задачах вариационного исчисления, выражаемое втерминах субдифференциала Кларка.Пример 5.1.1. Пусть d = 1, a = 0 и b = 1. Рассмотрим задачуZ 1I(x) =(|x(t)| − ẋ2 (t)) dt → sup x ∈ C 1 [0, 1], x(0) = x(1) = 0.(5.3)0Мы хотим проверить неоптимальность функции x∗ (t) ≡ 0 в данной задаче.Замечание 5.1.2. Функция x∗ ≡ 0 не является решением задачи (5.3). Действительно, длялюбого α > 0 положим xα (t) = α sin πt.
Тогда нетрудно проверить, чтоI(xα ) =2π2α − α2 ,π2114откуда получаем, что для достаточно малых α > 0 будет I(xα ) > 0. При этом ясно, чтоkxα − x∗ k1 → 0 при α → 0. Следовательно, x∗ не является точкой локального максимумафункционала I на множестве A = {x ∈ C 1 [0, 1] | x(0) = x(1) = 0}.Нетрудно проверить, что задача (5.3) эквивалентна следующей задаче БольцаZ 1L(x(t), ẋ(t)) dt → inf, x ∈ C 1 [0, 1],J (x) = l(x(0), x(1)) +(5.4)0где L(x, z) = −|x| + z 2 , l(0, 0) = 0 и l(u, v) = +∞, если u 6= 0 или v 6= 0. Проверим, что в точкеx∗ выполнены необходимые условия минимума Кларка в задаче (5.4) (см. [29], теорема 4.4.3).Действительно, нетрудно видеть, что субдифференциал Кларка отображения x → L(x, z) вточке (0, 0) имеет вид ∂Cl,x L(0, 0) = [−1, 1], а субдифференциал Кларка отображения z →L(x, z) в данной точке имеет вид ∂Cl,z L(0, 0) = {0}. Положим p(t) ≡ 0.
Тогда для всех t ∈ [0, 1]и для любого z ∈ R будетṗ(t) ∈ ∂Cl,x L(x∗ (t), ẋ∗ (t)),p(t) ∈ ∂Cl,z L(x∗ (t), ẋ∗ (t)),L(x∗ (t), ẋ∗ (t)) − p(t)ẋ∗ (t) = 0,L(x∗ (t), ẋ∗ (t) + z) = z 2 > 0 = L(x∗ (t), ẋ∗ (t)) + p(t)z,т. е. в точке x∗ выполнены необходимые условия минимума в задаче Больца в треминахсубдифференциала Кларка ([29], теорема 4.4.3), несмотря на неоптимальность функции x∗ .Покажем теперь, что в точке x∗ не выполнены необходимые условия максимума,указанные в предложении 5.1.2. Действительно, в данном случае будет f1 (x, z, t) = x иf2 (x, z, t) = z 2 , при этом для любого λ ∈ Λ будетλ(t)f1 (x∗ (t), ẋ∗ (t), t) = |f1 (x∗ (t), ẋ∗ (t), t)| для п.в.
t ∈ [0, 1].Откуда, если бы в точке x∗ выполнялось необходимое условие максимума, указанное в предложение 5.1.2, то для любого λ ∈ Λ существовало бы c ∈ R такое, что для почти всех t ∈ [0, 1]Z 1λ(τ ) dτ = c,tили, что эквивалентно, λ(t) = 0 для почти всех t ∈ [0, 1], что противоречит произвольностиλ ∈ Λ.5.2Негладкая задача БольцаПусть, как и в предыдущем разделе, a, b ∈ R, a < b, (X, k · k) = (C 1,d [a, b], k · k1 ), d ∈ N.Рассмотрим функционалZI(x) = f0 (x(a), x(b)) +abmax fi (x(t), ẋ(t), t) + min gj (x(t), ẋ(t), t) dt,i∈Ij∈J115(5.5)определённый на C 1,d [a, b], где функции fi , gj : Rd × Rd × [a, b] → R, fi = fi (x, z, t), gj =gj (x, z, t), i ∈ I = {1, . .
. , n}, j ∈ J = {1, . . . , m} непрерывны по совокупности переменных инепрерывно дифференцируемы по x и z на всей своей области определения, а f0 : Rd ×Rd → R— заданная функция.Введём множество Λm , состоящее из всех измеримых вектор–функций λ =P(λ1 , . . . , λm ) : [a, b] → [0, 1]m таких, что mj=1 λi (t) = 1 для почти всех t ∈ [a, b].
Для каждого λ ∈ Λm определим функционалZ bXmax fi (x(t), ẋ(t), t) +λj (t)gj (x(t), ẋ(t), t) dt.Iλ (x) = f0 (x(a), x(b)) +ai∈Ij∈JЯсно, что для любых λ ∈ Λm и x ∈ C 1,d [a, b] будет Iλ (x) > I(x) и(5.6)I(x) = inf Iλ (x).λ∈ΛmПоложим такжеf (x, z, t) = max fi (x, z, t),i∈Ig(x, z, t) = min gj (x, z, t).j∈Jи введём многозначные отображения∂fi∂fifi (x, z, t) − f (x, z, t),(x, z, t),(x, z, t) i ∈ Idx,z f (x, z, t) = co∂x∂z∂gj∂gj(x, z, t),(x, z, t) j ∈ J .dx,z g(x, z, t) = cogj (x, z, t) − g(x, z, t),∂x∂zЗаметим, что множество dx,z f (x, z, t) является гиподифференциалом отображения (x, z) →f (x, z, t) в точке (x, z), а множество dx,z g(x, z, t) является гипердифференциалом отображения (x, z) → g(x, z, t) в точке (x, z).Следующий результат позволяет вычислять неодн. в.в.а.
функционала I.Теорема 5.2.1. Пусть x ∈ C 1,d [a, b] — произвольная функция, ϕ0 : R2d → R — слабаянеодн. в.в.а. функции f0 в точке (x(a), x(b)). Тогда для любого измеримого отображенияw = (w1 , w2 ) : [a, b] → Rd × Rd такого, что (0, w(t)) ∈ dx,z g(x(t), ẋ(t), t) для почти всехt ∈ [a, b], выпулая функцияZ bϕ(h) = ϕ0 (h(a), h(b)) +max fi (x(t), ẋ(t), t) − f (x(t), ẋ(t), t)+i∈IaD ∂fE D ∂fEii+(x(t), ẋ(t), t), h(t) +(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) + hw1 (t), h(t)i + hw2 (t), ḣ(t)i dt,∂x∂zопределённая на пространстве C 1,d [a, b] является слабой неодн. в.в.а. функционала I в точке x.116Доказательство.
Зафиксируем произвольное измеримое отображение w = (w1 , w2 ) : [a, b] →Rd × Rd такое, что (0, w(t)) ∈ dx,z g(x(t), ẋ(t), t) для почти всех t ∈ [a, b]. ПоложимmXonm αi = 1S = α = (α1 , . . . , αm ) ∈ [0, 1] i=1и определим отображение F : [a, b] × S → R3 по правилуF (t, α) =mXαj (gj (x(t), ẋ(t), t) − g(x(t), ẋ(t), t)),j=1mXmX∂gj∂gjαj(x(t), ẋ(t), t),αj(x(t), ẋ(t), t) .∂x∂zj=1j=1Ясно, что отображение F непрерывно, при этом для почти всех t ∈ [a, b] будет (0, w(t)) ∈F (t, S).
Поэтому по теореме Филиппова (см., например, [7], теорема 1.5.15) существует λ ∈ Λmтакое, что (0, w(t)) = F (t, λ(t)) почти всюду, т. е. для почти всех t ∈ [a, b]mXλj (t)(gj (x(t), ẋ(t), t) − g(x(t), ẋ(t), t)) = 0,(5.7)j=1w1 (t) =mXj=1λj (t)∂gj(x(t), ẋ(t), t),∂xw2 (t) =mXj=1λj (t)∂gj(x(t), ẋ(t), t).∂ ẋИз (5.7) следует, что для почти всех t ∈ [a, b] будетmXλj (t)gj (x(t), ẋ(t), t) = g(x(t), ẋ(t), t),j=1откуда Iλ (x) = I(x). Поэтому, с учётом того что для любого h ∈ C 1,d [a, b] будет Iλ (h) > I(h),достаточно доказать, что функция ϕ является слабой неодн. в.в.а.
функционала Iλ .Определим функционалыZ bI1 (x) =f (x(t), ẋ(t), t) dt,I2 (x) =aZ bXmaλj (t)gj (x(t), ẋ(t), t) dtj=1и зафиксируем произвольное h ∈ C 1,d [a, b]. По лемме 5.1.1 для любого i ∈ Ifi (x(t) + αh(t), ẋ(t) + αḣ(t), t) = fi (x(t), ẋ(t), t)+D ∂fED ∂fEii+α(x(t), ẋ(t), t), h(t) + α(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) + oi (α, t),∂x∂zгде oi (α, t)/α → 0 при α ↓ 0 равномерно по t ∈ [a, b]. Следовательноf (x(t) + αh(t), ẋ(t) + αḣ(t), t) − f (x(t), ẋ(t), t) =D ∂fEimax fi (x(t), ẋ(t), t) − f (x(t), ẋ(t), t) + α(x(t), ẋ(t), t), h(t) +i∈I∂xD ∂fEi+α(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) + oi (α, t) = max fi (x(t), ẋ(t), t) − f (x(t), ẋ(t), t)+i∈I∂zD ∂fED ∂fEii+α(x(t), ẋ(t), t), h(t) + α(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) + o(α, t),∂x∂z117гдеmin oi (α, t) 6 o(α, t) 6 max oi (α, t)i∈Ii∈Iи поэтому o(α, t)/α → 0 при α ↓ 0 равномерно по t ∈ [a, b].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
