Диссертация (1149223), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Откуда очевидным образомполучаем, что выпуклая функцияZbϕ1 (h) =amax fi (x(t), ẋ(t), t) − f (x(t), ẋ(t), t)+i∈I+∂fi∂fi(x(t), ẋ(t), t)h(t) +(x(t), ẋ(t), t)ḣ(t) dt∂x∂zявляется исчерпывающей слабой неодн. в.в.а. функционала I1 в точке x. Аналогичным образом применяя лемму 5.1.1 можно показать, что выпуклая функцияDZ bXmE D ∂gE∂gjjλj (t)ϕ2 (h) =(x(t), ẋ(t), t), h(t) +(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t)dt∂x∂za j=1является исчерпывающей неодн. в.в.а. функционала I2 . Дальнейшее очевидно.Воспользовавшись предыдущей теоремой можно получить необходимое условие минимума функционала I.Теорема 5.2.2. Пусть x∗ ∈ C 1,d [a, b] является точкой локального минимума функционала I, а выпуклая функция ϕ0 : R2d → R является слабой неодн. в.в.а.
функции f0в точке (x∗ (a), x∗ (b)), причём ϕ0 (0, 0) = 0. Тогда для любого измеримого отображенияw = (w1 , w2 ) : [a, b] → Rd × Rd такого, что (0, w(t)) ∈ dx,z g(x(t), ẋ(t), t) для почти всехt ∈ [a, b] существует абсолютно непрерывная функция ζ : [a, b] → Rd такая, что для почтивсех t ∈ [a, b](0, ζ̇(t), ζ(t)) ∈ dx,z f (x(t), ẋ(t), t) + {(0, w(t))}и выполнено условие трансверсальности (ζ(a), −ζ(b)) ∈ ∂ϕ0 (0, 0).Доказательство. Зафиксируем произвольное измеримое отображение w : [a, b] → Rd × Rdтакое, что (0, w(t)) ∈ dx,z g(x(t), ẋ(t), t) для почти всех t ∈ [a, b]. Для всех h, q ∈ Rd и t ∈ [a, b]определим функциюD ∂fEL(h, q, t) = max fi (x(t), ẋ(t), t) − f (x(t), ẋ(t), t) +(x(t), ẋ(t), t), h +i∈I∂xD ∂fEi+(x(t), ẋ(t), t), q + hw1 (t), hi + hw2 (t), qi.∂ziТогда по теореме 5.2.1 выпуклая функцияZϕ(h) = ϕ0 (h(a), h(b)) +L(h(t), ḣ(t), t)dt,a118bявляется неодн.
в.в.а функционала I в точке x∗ , причём ϕ(0) = 0. Поэтому по теореме 4.3.1функция h ≡ 0 является точкой глобального минимума выпуклой функции ϕ. Тогда по теореме 6 из [116] о необходимом условии оптимальности в выпуклой задаче Больца существуетабсолютно непрерывная функция ζ : [a, b] → Rd такая, что (ζ̇(t), ζ(t)) ∈ ∂ h,q L(0, 0, t) для почти всех t ∈ [a, b] и выполнено условие трансверсальности (ζ(a), −ζ(b)) ∈ ∂ϕ0 (0, 0).
Здесь∂ h,q L(0, 0, t) — субдифференциал выпуклой функции (h, q) → L(h, q, t) в точке (0, 0). Ясно,что∂ h,q L(0, 0, t) = {w(t)} + con ∂fi∂x(x(t), ẋ(t), t),∂fi(x(t), ẋ(t), t) ∂zoi ∈ I : fi (x(t), ẋ(t), t) = f (x(t), ẋ(t), t) ,и поэтому для почти всех t ∈ [a, b] будет(0, ζ̇(t), ζ(t)) ∈ {0} × ∂ h,q L(0, 0, t) ⊂ dx,z f (x(t), ẋ(t), t) + {(0, w(t))},что и требовалось.Сравним необходимые условия минимума в негладкой задаче Больца полученные впредыдущей теореме с другими известными необходимыми условиями. Для этого приведёмздесь различные известные необходимые условия экстремума в негладкой задаче Больца.Пусть x∗ ∈ C 1,d [a, b] является точкой локального минимума функционала I (см.
(5.5)).Тогда можно показать (см. [74]), что существует абсолютно непрерывная функция ζ : [a, b] →Rd такая, что для почти всех t ∈ [a, b](ζ̇(t), ζ(t)) ∈ ∂Cl,x,z f (x∗ (t), ẋ(t), t),(ζ(a), −ζ(b)) ∈ ∂Cl f0 (x∗ (a), x∗ (b)),(5.8)где ∂Cl,x,z f (x∗ (t), ẋ(t), t) — субдифференциал Кларка отображения (x, z) → f (x, z, t) в точке(x∗ (t), ẋ∗ (t)).Справедливо также другое необходимое условие экстремума в терминах субдифференциала Кларка (см. [29]). А именно, существует абсолютно непрерывная функция ζ : [a, b] →Rd такая, что для почти всех t ∈ [a, b]ζ̇(t) ∈ ∂Cl,x f (x∗ (t), ẋ(t), t),ζ(t) ∈ ∂Cl,z f (x∗ (t), ẋ(t), t)(5.9)и выполнено условие трансверсальности(ζ(a), −ζ(b)) ∈ ∂Cl f0 (x∗ (a), x∗ (b)),где ∂Cl,x f (x∗ (t), ẋ(t), t) — субдифференциал Кларка отображения x → f (x, ẋ∗ (t), t) в точкеx∗ (t), а ∂Cl,z f (x∗ (t), ẋ(t), t) — субдифференциал Кларка отображения z → f (x∗ (t), z, t) в точкеẋ∗ (t).119Укажем ещё необходимое условие экстремума в терминах предельного проксимальногосубдифференциала [102].
Если x∗ ∈ C 1,d [a, b] является точкой локального минимума функционала I, то существует абсолютно непрерывная функция ζ : [a, b] → Rd такая, что для почтивсех t ∈ [a, b]ζ̇(t) ∈ co{v ∈ Rd | (v, ζ(t)) ∈ ∂x,z f (x∗ (t), ẋ(t), t)}(5.10)и выполнено условие трансверсальности(ζ(a), −ζ(b)) ∈ ∂f0 (x∗ (a), x∗ (b))где ∂x,z f (x∗ (t), ẋ(t), t) — предельный проксимальный субдифференциал отображения (x, z) →f (x, z, t) в точке (x∗ (t), ẋ∗ (t)).Пример 5.2.1. Пусть a = 0, b = 1, γ ∈ R. Рассмотрим следующую задачу БольцаZ 1max{|ẋ(t)| − |x(t)|, 0} dt.I(x) = x(0) − γx(1) +0Мы хотим проверить, что функция xα (t) = αet для любого α > 0 и γ ∈ R не являетсяточкой локального экстремума функционала I (см.
[102], пример 2). В работе [102] былопоказано, что необходимое условие Кларка (5.9) выполнено в точке xα при любом α > 0 иγ ∈ [0, 1]. Необходимое условие Кларка (5.8) выполнено для x(t) ≡ 0 (α = 0) при γ ∈ [0, 1]и необходимое условие (5.10) выполнено при x(t) ≡ 0 и γ ∈ [e−1 , 1]. Также оба необходимыхусловия Кларка и условие (5.10) выполнены в точке xα , когда γ = e−1 и α > 0.Мы покажем, что необходимое условие минимума в задаче Больца, полученное в теореме 5.2.2 не выполнено для любых α > 0 и γ ∈ R, за исключением случая γ = e−1 , когдаα > 0.Замечание 5.2.1. Судя по всему, для того чтобы доказать неоптимальность функции xα вслучае α > 0 и γ = e−1 необходимо использовать аппроксимации функционала I болеевыского порядка, чем первый.Поскольку f0 (y, z) = y − γz, то можно положитьϕ0 (y, z) = y − xα (0) − γ(z − xα (1)).Откуда условие трансверсальности имеет вид ζ(0) = 1, ζ(1) = γ. Так какmax{|z| − |x|, 0} = max{|z|, |x|} − |x| = max{z, −z, x, −x} + min{x, −x},тоf (x, z, t) = max{z, −z, x, −x},120g(x, z, t) = min{x, −x}.Следовательно для любого α > 0 будетdx,z f (xα (t), ẋα (t), t) = co{(0, 0, 1), (−2αet , 0, −1), (0, 1, 0), (−2αet , −1, 0)},dx,z g(xα (t), ẋα (t), t) = co{(2αet , 1, 0), (0, −1, 0)}.(5.11)(5.12)Если α > 0, то единственным измеримым отображением w : [0, 1] → R2 таким, что (0, w(t)) ∈dx,z g(xα (t), ẋα (t), t) для почти всех t ∈ [0, 1] будет w ≡ (−1, 0).
Предположим, что необходимое условие минимума (теорема 5.2.2) выполнено. Тогда существует абсолютно непрерывнаяфункция ζ : [0, 1] → R такая, что ζ(0) = 1, ζ(1) = γ и для почти всех t ∈ [0, 1](0, ζ̇(t), ζ(t)) ∈ dx,z f (xα (t), ẋα (t), t) + {(0, w(t))} == co{(0, −1, 1), (−2αet , −1, −1), (0, 0, 0), (−2αet , −2, 0)}.Откуда ζ 0 = −ζ почти всюду и, следовательно, ζ(t) = ce−t для некоторого c ∈ R. Воспользовавшись условием трансверсальности ζ(0) = 1, получим, что ζ(t) = e−t . С учётом второгоусловия трансверсальности ζ(1) = γ имеем, что в точке xα не выполнено необходимое условиеминимума (теорема 5.2.2) для любого γ 6= e−1 .Рассмотрим случай α = 0, т.
е. xα (t) ≡ 0, и предположим, что xα удовлетворяет необходимому условию минимума. Тогда по теореме 5.2.2 существует абсолютно непрерывнаяфункция ζ : [a, b] → R такая, что ζ(0) = 1, ζ(1) = γ и для почти всех t ∈ [0, 1](0, ζ̇(t), ζ(t)) ∈ dx,z f (xα (t), ẋα (t), t) + {(0, −1, 0)} = co{(0, −1, 1), (0, −1, −1), (0, 0, 0), (0, −2, 0)}(см. (5.11)–(5.12)).
Откуда ζ̇(t) 6 0 для почти всех t ∈ (0, 1) и ζ(1) 6 ζ(0) = 1. Поэтомунеобходимое условие минимума не выполнено для любого γ > 1. Аналогично, существуетабсолюто непрерывная функция ζ : [a, b] → R такая, что ζ(0) = 1, ζ(1) = γ и для почти всехt ∈ [0, 1](0, ζ̇(t), ζ(t)) ∈ dx,z f (xα (t), ẋα (t), t) + {(0, 1, 0)} = co{(0, 1, 1), (0, 1, −1), (0, 2, 0), (0, 0, 0)} (5.13)(см. (5.11)–(5.12)). Откуда ζ̇(t) > 0 для почти всех t ∈ [0, 1] и ζ(1) > ζ(0) = 1. Покажем, чтоζ(1) > 1.
Если ζ 0 (x) > 0 на множестве положительной меры, то ζ(1) > ζ(0) = 1. Если жеζ 0 (t) = 0 почти всюду, то ζ(t) = 0 на [a, b] (см. 5.13), что противоречит условию трансверсальности ζ(0) = 1. Поэтому ζ(1) > 1 и, следовательно, необходимое условие минимума невыполнено для всех γ 6 1 .Замечание 5.2.2. Общий подход к изучению негладких задач вариационного исчисления,основанный на понятии кодифференцируемости, изучался в [88].1215.3Минимаксная задача вариационного исчисленияВ данном разделе мы покажем, как с помощью теории неоднородных выпуклых аппроксимаций можно легко получить необходимые условия экстремума в минимаксной задачевариационного исчисления.
Отметим, что подход рассмотренный в данном разделе можнотакже применить к изучению других минимаксных задач.Пусть Ω ⊂ Rd — открытое ограниченное множество с липшицевой границей. Обозначим через C 1 (Ω) линейное пространство, состоящее из всех таких u ∈ C 1 (Ω), для которых∂uфункции u,, i ∈ {1, . . .
, d}, ограничены и равномерно непрерывны на Ω (тогда существует∂xiединственное продолжение функции u и всех её производных на замыкание множества Ω).Пространство C 1 (Ω) является банаховым пространством относительно нормы ∂u ∂u(x) , . . . , sup (x) .kuk1 = max sup |u(x)|, sup x∈Ω ∂xdx∈Ωx∈Ω ∂x1Пусть C01 (Ω) — это множество всех функций из C 1 (Ω), обращающихся в 0 на границе множества Ω.Рассмотрим функционалI(u) = max Ik (u),k∈Mопределённый на пространстве (C 1 (Ω), k · k1 ), гдеZIk (u) =fk (x, u(x), ∇u(x)) dx,∀u ∈ C 1 (Ω)Ωи M = {1, .
. . , n}. Здесь∇u(x) =∂u∂u(x), . . . ,(x) ∈ Rd ,∂x1∂xdфункции fk ∈ C 2 (Ω0 × R × Rd ), fk = fk (x, u, ξ), где Ω0 ⊂ Rd — открытое множество такое,что cl Ω ⊂ Ω0 .Замечание 5.3.1. Вместо пространства C 1 (Ω) можно рассматривать пространство СоболеваWp1 (Ω), однако при этом необходимо накладывать определённые условия роста на функцииfk и их производные первого порядка (см., например, [76], параграф 3.4.2).Зафиксируем произвольное u0 ∈ C 1 (Ω) и рассмотрим задачу минимизации функционала I на замкнутом выпуклом множествеA = v = u + u0 u ∈ C01 (Ω) .Множество A можно задать другим эквивалентным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
