Диссертация (1149223), страница 21
Текст из файла (страница 21)
, l}, J = {1, . . . , s}, а отображения Ω 3 x → (ai (x), pi (·; x)) ∈ R × X ∗ иΩ 3 x → (bj (x), qj (·; x)) ∈ R × X ∗ непрерывны, i ∈ I, j ∈ J. Аналогично будем говорить,106что гипердифференциал функции f разложим на множестве Ω, если существует кодифференциальное отображения функции f на множестве Ω такое, чтоdf (x) = co{(bj (x), qj (·; x)) ∈ R × X ∗ | j ∈ J},где J = {1, . . . , s}, а отображения x → (bj (x), qj (·; x)) непрерывны, j ∈ J.Введём множестваds f (x) = {(ai (x), pi (·; x)) ∈ R × X ∗ | i ∈ I},ds f (x) = {(bj (x), qj (·; x)) ∈ R × X ∗ | j ∈ J},где отображения x → (ai (x), pi (·; x)) и x → (bj (x), qj (·; x)) входят в определение разложимостикодифференциала.Нетрудно проверить справедливость следующего утверждения о том, что разложимость кодифференциала сохраняется при применении всех стандартных операций.Предложение 4.4.5. Пусть функции fi : Ω → R непрерывно кодифференцируемы и кодифференциалы функций fi разложимы на Ω, i ∈ K = {1, .
. . , n}. Тогда для любых ci ∈ R, i ∈ Kи для любой непрерывно дифференцируемой функции g : Rn → R, кодифференциалы функцийPni=1 ci fi , f1 · f2 , maxi∈K fi , mini∈K fi , g(f1 (·), . . . , fn (·)) и 1/f1 , если f1 6= 0 на своей областиопределения, разложимы на Ω.Замечание 4.4.5. Воспользовавшись формулами для вычисления кодифференциала, легковывести формулы для вычисления множеств ds f (x) и ds f (x). Отметим, что на практикеобычно вычисляются именно множества ds f (x) и ds f (x), а не кодифференциал.Напомним, что необходимым условием минимума кодифференцируемой функции fявляется условие0 ∈ df (x) + {(0, q)} ∀(0, q) ∈ df (x).Если в точке x выполнено данное условие, то она называется inf–стационарной точкой функции f .В случае, когда гипердифференциал функции f разложим, необходимое условие минимума можно упростить.Предложение 4.4.6. Пусть функция f непрерывно кодифференцируема в некоторойокрестности точки x и гипердифференциал функции f разложим в данной окрестности.Тогда для того, чтобы x была inf–стационарной точкой функции f необходимо и достаточно, чтобы0 ∈ df (x) + {(0, q)}107∀(0, q) ∈ ds f (x).(4.23)Доказательство.
Необходимость очевидна, докажем достаточность. Пусть (0, q) ∈ df (x)произвольно. Тогда существуют (0, qi ) ∈ ds f (x) и αi ∈ [0, 1], i ∈ L = {1, . . . , m}, такие,чтоq=mXαi qi ,i=1mXαi = 1.i=1Поскольку выполнено условие (4.23), то для любого i ∈ L существует (0, pi ) ∈ df (x) такое,Pчто pi + qi = 0. Положим p = mi=1 αi pi . Поскольку гиподифференциал является выпуклыммножеством, то p ∈ df (x). При этомp+q =mXαi (pi + qi ) = 0,i=1то есть 0 ∈ df (x) + {(0, q)}.Покажем теперь как можно упростить метод кодифференциального спуска в случае,когда гипердифференциал исследуемой функции разложим. Пусть функция f : X → Rнепрерывно кодифференцируема на X и гипердифференциал функции f разложим.
Определим Λ = J = {1, . . . , s} и для каждой пары (bj (x), qj (·; x)) ∈ ds f (x), j ∈ J = {1, . . . , s},положимCj (x) = df (x) + {(bj (x), qj (·; x))},ϕj (x, y) =max (a + p(y)) ∀y ∈ X.(a,p)∈Cj (x)Ясно, что для любого j ∈ J функция ϕj (x, ·) является слабой неодн. в.в.а. функции f в точкеx, многозначное отображение Cj (·) непрерывно по Хаусдорфу и для любого x ∈ X существует такое j ∈ J, что ϕj (x, 0) = 0.
Следовательно к функции f можно применить метод спуска,который в данном случае естественно называть модифицированным методом кодифференциального спуска. Данный метод, по существу, совпадает с методом кодифференциальногоспуска, с той лишь разницей, что вместо множества dµ f (x) в данном методе используетсямножество{(bj (x), qj (·; x)) ∈ ds f (x) | bj (x) 6 µ, j ∈ J},которое по определению является конечным.Справедлива следующая теорема о сходимости модифицированного метода кодифференциального спуска.Теорема 4.4.2. Пусть X — строго выпуклое рефлексивное нормированное пространство,функция f : X → R непрерывно кодифференцируема на X, гипердифференциал функции fразложим на X и x∗ ∈ X является предельной точкой последовательности, построеннойпо модифицированному методу кодифференциального спуска. Предположим также, что108inf x∈X f (x) > −∞ и функция f равномерно кодифференцируема в некоторой окрестноститочки x∗ .
Тогда x∗ является inf–стационарной точкой функции f . Более того, если функция f выпукла, то x∗ является точкой глобального минимума функции f .Доказательство. Нетрудно заметить, что из равномерной кодифференцируемости функцииf в окрестности точки x∗ следует, что семейство {ϕj } равномерно аппроксимирует функциюf в данной окрестности. Остаётся только воспользоваться теоремой 4.4.1.109Глава 5Приложения к задачам вариационногоисчисленияВ данной главе мы рассмотрим приложения общей теории к некоторым негладким задачам вариационного исчисления, а также покажем эффективность разработанных необходимых условий экстремума по сравнению с широко распространёнными в негладком анализеусловиями экстремума, выражаемыми в терминах субдифференциала Кларка и проксимального субдифференциала.5.1Одна негладкая классическая задача вариационногоисчисленияПусть a, b ∈ R, a < b, d ∈ N, (X, k · k) = (C 1,d [a, b], k · k1 ) — пространство непрерывнодифференцируемых вектор–функций x = (x1 , .
. . , xd ) : [a, b] → Rd , гдеnokxk1 = max max |x(t)|, max |ẋ(t)| , x ∈ C 1,d [a, b].t∈[a,b]t∈[a,b]Здесь и далее | · | — евклидова норма в Rn , n ∈ N. Рассмотрим функционалZ bI(x) =(|f1 (x(t), ẋ(t), t)| + f2 (x(t), ẋ(t), t)) dt,aопределённый на C 1,d [a, b], где функции fi : Rd × Rd × [a, b] → R, fi = fi (x, z, t), i ∈ {1, 2},непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по x и z длявсех x, z ∈ Rd и t ∈ [a, b]. Рассмотрим задачу максимизации функционала I на замкнутомвыпуклом множествеA = {x ∈ C 1,d [a, b] | x(a) = y 1 , x(b) = y 2 },где y 1 , y 2 ∈ Rd — фиксированы.110Замечание 5.1.1.
Отметим, что вместо пространства C 1,d [a, b] можно рассматривать пространство P C 1,d [a, b], состоящее из непрерывных и кусочно непрерывно дифференцируемыхвектор–функций x : [a, b] → Rd , имеющих ограниченную производную, либо пространствоСоболева Wp1,d [a, b].Нам потребуется следующая вспомогательная лемма хорошо известная в вариационном исчислении. Для полноты изложения мы приведём её доказательство.Лемма 5.1.1.
Пусть функция f : Rd × Rd × [a, b] → R, f = f (x, z, t), непрерывна по совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по переменным x и z на всей своейобласти определения. Тогда для любых x, h ∈ C 1,d [a, b] будетf (x(t) + αh(t), ẋ(t) + αḣ(t), t) = f (x(t), ẋ(t), t)+D ∂fED ∂fE(x(t), ẋ(t), t), h(t) + α(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) + o(α, t),+α∂x∂zгде o(α, t)/α → 0 при α ↓ 0 равномерно по t ∈ [a, b],∂f∂f∂f∂f∂f∂f==,...,,,...,∂x∂x1∂xd∂z∂z1∂zdи h·, ·i — скалярное произведение в Rd .Доказательство. Зафиксируем произвольные x, h ∈ C 1,d [a, b].
По теореме Лагранжа о среднем значении для любых t ∈ [a, b] и α > 0 существует θ ∈ [0, 1] такое, что1f (x(t) + αh(t), ẋ(t) + αḣ(t), t) − f (x(t), ẋ(t), t) −αD ∂fE D ∂fE−(x(t), ẋ(t), t), h(t) +(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) =∂x∂z∂f∂f=(x(t) + αθh(t), ẋ(t) + αθḣ(t), t) −(x(t), ẋ(t), t) , h(t) +∂x∂x∂f∂f+(x(t) + αθh(t), ẋ(t) + αθḣ(t), t) −(x(t), ẋ(t), t) , ḣ(t) . (5.1)∂z∂zВведём множествоK = (x, z, t) ∈ R2d × [a, b] | |x| 6 max |x(t)| + max |h(t)|, |z| 6 max |ẋ(t)| + max |ḣ(t)| .t∈[a,b]t∈[a,b]t∈[a,b]t∈[a,b]Поскольку производные ∂f /∂x и ∂f /∂z непрерывны на R2d × [a, b], то они равномерно непрерывны на компактном множестве K. Поэтому для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, чтодля любых (x1 , z1 , t1 ), (x2 , z2 , t2 ) ∈ K таких, что |x1 − x2 | < δ, |z1 − z2 | < δ и |t1 − t2 | < δ будет ∂f ∂f∂f∂f < ε, (x1 , z1 , t1 ) − < ε.
(x1 , z1 , t1 ) −(x,z,t)(x,z,t)222222 ∂z ∂x∂x∂z111Откуда, с учётом (5.1), получаем, что для любого α ∈ (0, δ/khk1 ) и для всех t ∈ [a, b] будет1 f (x(t) + αh(t), ẋ(t) + αḣ(t), t) − f (x(t), ẋ(t), t) −αD ∂fE D ∂fE−(x(t), ẋ(t), t), h(t) −(x(t), ẋ(t), t), ḣ(t) 6∂x∂ ẋ ∂f∂f6 (x(t) + αθh(t), ẋ(t) + αθḣ(t), t) −(x(t), ẋ(t), t) |h(t)|+∂x∂x ∂f∂f(x(t), ẋ(t), t)) |ḣ(t)| 6 2εkhk1 ,+ (x(t) + αθh(t), ẋ(t) + αθḣ(t), t) −∂z∂zчто и требовалось.Покажем, что функционал I допускает слабую неодн. н.в.а. в каждой точке x ∈C 1,d [a, b]. Обозначим черезΛ = λ ∈ L∞ [a, b] | λ(t) ∈ [−1, 1] для п.в.
t ∈ [a, b] .Для любых λ ∈ Λ и x ∈ C 1,d [a, b] будет |f1 (x(t), ẋ(t), t)| > λ(t)f1 (x(t), ẋ(t), t) для почти всехt ∈ [a, b], при этом для λ0 (t) = sign(f1 (x(t), ẋ(t), t)) ∈ Λ это неравенство выполняется какравенство, поэтомуZbZ|f1 (x(t), ẋ(t), t)| dt = supλ∈Λabλ(t)f1 (x(t), ẋ(t), t) dt.aЗдесь в правой части равенства интеграл понимается в смысле Лебега. Отсюда имеем, чтоI(x) = supλ∈Λ Iλ (x), гдеZbIλ (x) =(λ(t)f1 (x(t), ẋ(t), t) + f2 (x(t), ẋ(t), t)) dt.aДля того чтобы вычислить исчерпывающее семейство слабых неодн. н.в.а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
