Диссертация (1145439), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2.12 и 2.13 показаны процедуры распределения дележа для обоих игроков. Приэтом, выигрыш первого игрока за всю игру ξ1 (0), равный 70954.963, выплачивается игрокупостепенно в каждый момент времени в соответствии с рис. 2.12. Аналогично, выплатывторому игроку в каждый момент времени, представленные на рис. 2.13, дают ему общийвыигрыш за весь период продолжения игры ξ2 (0) = 31704.963.Таким образом, если производить выплаты в соответствии с данными функциями набесконечном промежутке времени, игрокам будет невыгодно отклонятся от кооперативногоповедения.1802401602201402001201801001608014060120010203040Рис 2.12. ПРД первого игрока β1 (t)010203040Рис 2.13.
ПРД второго игрока β2 (t)1032.3. Модель с разделением территории и квадратичной функцией ростаВ данном разделе задача управления возобновляемыми ресурсами рассматривается наконечном промежутке времени при использовании квадратичной функции развития популяции. Методом поддержания кооперации выступает кооперативное регулируемое равновесие, причем, как и ранее, данная схема применена для двух случаев: когда игроки наказывают друг друга за отклонение от кооперативного равновесия (традиционная схема) икогда за отклонение их наказывает центр (разработанная схема).Разделим территорию на две части: s и 1 − s, где эксплуатацию ведут два игрока, соответственно. Агентами эколого-экономической системы является центр (арбитр), которыйразделяет эксплуатируемую территорию, и игроки (страны или фирмы), эксплуатирующиевозобновляемый ресурс на протяжении T периодов времени на своей выделенной территории.Динамика развития популяции с учетом эксплуатации описывается уравнениемx0 (t) = F (x(t)) − q1 E1 (t)(1 − s)x(t) − q2 E2 (t)sx(t) , 0 ≤ t ≤ T, x(0) = x0 ,(3.1)где x(t) ≥ 0 – размер популяции в момент времени t, F (x(t)) – функция развития популяции, E1 (t), E2 (t) ≥ 0 – промысловые усилия игроков, измеряемые, например, в количествекораблей, участвующих в лове в момент t и q1 , q2 > 0 – коэффициенты возможного вылована единицу промысловых усилий игроков.Предполагаем, что E1 , E2 принадлежат множеству допустимых управлений D1 , D2 .Пусть D1 = D2 ⊆ C([0, ∞)).В данном разделе функция развития популяции имеет специальный вид (модель Ферхюльста [16]):³x´,F (x) = rx 1 −Kгде r > 0 – коэффициент внутреннего роста, K > 0 – максимальная емкость экологической системы.
Таким образом, если начальный размер популяции меньше максимальнойемкости, то популяция (в отсутствие вылова) растет до достижения размера K и стабилизируется на этом уровне. Если же начальный размер популяции меньше K, то популяцияуменьшается и стабилизируется на уровне максимальной емкости экологической системы.Выигрыши игроков на промежутке [0, T ] имеют следующий вид:J1 = g1 (x(T )) +RTe−ρt [q1 E1 (t)(1 − s)x(t)(p1 − k1 q1 E1 (t)(1 − s)x(t))]dt ,0J2 = g2 (x(T )) +RT0e−ρt [q2 E2 (t)sx(t)(p2 − k2 q2 E2 (t)sx(t))]dt ,104где pi > 0 – цена продажи единицы ресурса, ki > 0 – затраты на вылов, 0 < ρ < 1 –коэффициент дисконтирования, i = 1, 2.Таким образом, как и ранее, выигрыш игрока выражается разницей между доходом отпродажи ресурса и затратами на вылов.
При этом предполагается квадратичная зависимость затрат от вылова.Функции gi (x) описывают будущий доход от эксплуатации запасов в конечный момент времени T . Следуя обычным предположениям на функцию полезности, пусть gi0 (x) ≥0, gi00 (x) ≤ 0 , i = 1, 2.Сделав замену ai = 2ki qi2 e−ρt , bi = pi qi e−ρt , получим выигрыши в видеRTJ1 = g1 (x(T )) + [− 12 a1 E12 (t)(1 − s)2 x2 (t) + b1 E1 (t)(1 − s)x(t)]dt ,0J2 = g2 (x(T )) +RT0[− 21 a2 E22 (t)s2 x2 (t)(3.2)+ b2 E2 (t)sx(t)]dt .Для нахождения кооперативного равновесия необходимо решить следующую задачу оптимального управления:µ1 J1 (E1 , E2 ) + µ2 J2 (E1 , E2 ) → max ,E1 ,E2 ≥0где x(t) удовлетворяет (3.1) ,(3.3)µ1 , µ2 > 0 – весовые коэффициенты, которые отражают значимость игроков, µ1 + µ2 = 1.Решение поставленной задачи получено в следующей теореме.Теорема 3.1.
Кооперативное равновесие в задаче (3.1)–(3.3) имеет видE1c (t)b2 − µ−1b1 − µ−11 q1 λ(t)2 q2 λ(t)c, E2 (t) =,=a1 (1 − s)x(t)a2 sx(t)где λ(t) удовлетворяет следующей системе:³2rx(t) ´0, λ(T ) = µ1 g10 (x(T )) + µ2 g20 (x(T )) ,λ(t)=−λ(t)r−K2³x(t) ´ X qi0−(bi − µ−1 x (t) = rx(t) 1 −i qi λ(t)) , x(0) = x0 .Kai=1 iДоказательство.
Используем принцип максимума [57]. Гамильтониан имеет видH(E1 , E2 , s, x) = µ1 (− 12 a1 E12 (1 − s)2 x2 + b1 E1 (1 − s)x)+2+µ2 (− 21 a2 E22 s2 x2 + b2 E2 sx) + λ(rx − rxK − q1 E1 (1 − s)x − q2 E2 sx) .Максимизируя, получим оптимальные стратегии в видеE1c =b1 − µ−11 q1 λ,a1 (1 − s)xE2c =b2 − µ−12 q2 λ,a2 sx(3.4)105где λ(t) – сопряженная переменная, удовлетворяющая уравнению2X∂Hλ (t) = −, λ(T ) =µi gi0 (x(T )) .∂xi=10Условием допустимости (неотрицательности) полученных стратегий являетсяnb µ b µ o1 12 2λ(t) ≤ min,.q1q2Данная задача является квадратичной по управлению и динамике, поэтому необходимодоказать оптимальность полученных стратегий.
Подставив выражения для E1c (t) и E2c (t)∂H(3.4), заметим, что уравнение для сопряженной переменной примет вид∂x³2rx(t) ´0λ (t) = −λ(t) r −, λ(T ) = µ1 g10 (x(T )) + µ2 g20 (x(T )).KТогдаλ(t) =2XRT(r−2rx(τ )/K) dτ0µi gi (x(T ))e t> 0.i=1ОбозначимH 0 (x, λ, t) = max H(x, E1 , E2 , λ, t) .E1 ,E2 ≥0Подставив выражения (3.4) и упростив, получимH 0 (x, λ, t) = λF (x) +(µ2 b2 − λq2 )2 (µ1 b1 − λq1 )2+.2a2 µ22a1 µ10Hxx(x, λ, t) = −2rλ.KТак как λ(t) > 0, то H 0 – вогнута по x.Используя вогнутость и определение H 0 , можно записатьH(x, λ, t) ≤ H 0 (xc , λ, t) − λ0 (t)(x(t) − xc (t)) .Проинтегрируем это неравенство от 0 до TZ TZ TZ0 ccTH(x, λ, t) ≤H (x , λ, t) − λ(t)(x(t) − x (t))|0 +00Tλ(t)(x0 (t) − (xc (t))0 )dt .0Обозначим g(x(T )) = µ1 g1 (x(T )) + µ2 g2 (x(T )), J(E1 , E2 ) = µ1 J1 (E1 , E2 ) + µ2 J2 (E1 , E2 ) иJ c (E1c , E2c ) = µ1 J1 (E1c , E2c ) + µ2 J2 (E1c , E2c ).
Перепишем неравенство в видеRTJ(E1 , E2 ) − g(x(T )) + 0 λ(t)(F (x(t)) − q1 E1 (t)(1 − s)x(t) − q2 E2 (t)sx(t))dt ≤RT≤ J c (E1c , E2c ) + 0 λ(t)(F (xc (t)) − q1 E1c (t)(1 − s)xc (t) − q2 E2c (t)sxc (t))dt−RTRT−g(xc (T )) − λ(T )(x(T ) − xc (T )) + 0 λ(t)x0 (t)dt + 0 λ(t)(xc (t))0 dt106илиJ(E1 , E2 ) ≤ J c (E1c , E2c ) + g(x(T )) − g(xc (T )) − λ(T )(x(T ) − xc (T )) ≤≤ µ1 J c (E1c , E2c ) − λ(T )(x(T ) − xc (T )) + gx0 (xc (T ))(x(T ) − xc (T )) .Заметим, что λ(T ) = gx0 (xc (T )). Окончательно, получимJ(E1 , E2 ) ≤ J c (E1c , E2c )илиµ1 J1 (E1 (t), E2 (t)) + µ2 J2 (E1 (t), E2 (t)) ≤ µ1 J1 (E1c (t), E2c (t)) + µ2 J2 (E1c (t), E2c (t)) .Таким образом, мы доказали, что E1c (t) и E2c (t) – оптимальное решение задачи (3.3).Кооперативное регулируемое равновесиеКак и в предыдущем разделе построим две схемы регулируемого равновесия для представленной модели.Сначала предположим, что игроки наказывают друг друга за отклонение от кооперативного равновесия тем, что они изменяют свою стратегию на величину пропорциональнуювеличине отклонения Ei (t) − Eic (t) (см.
разделы 2.1 и 2.2). Тогда, следуя [103], нетруднодоказать следующее утверждение.Теорема 3.2. Кооперативное регулируемое равновесие в задаче (3.1)–(3.3) имеет видγ1 (E2 (t)) = E1c (t) + η1 (t)(E2 (t) − E2c (t)) , γ2 (E1 (t)) = E2c (t) + η2 (t)(E1 (t) − E1c (t)) ,гдеη1 (t) =q2 µ1 λ1 (t)s,q1 µ2 λ2 (t)(1 − s)η2 (t) =1,η1 (t)E1c (t), E2c (t) определены в (3.4) при λ = µ1 λ1 + µ2 λ2 , а сопряженные переменные λi (t),i = 1, 2, удовлетворяют следующей системе:³2rx(t) ´0+ λ1 (t)q2 s(E2c (t) − η2 E1c (t)) ,λ1 (t) = −λ1 (t) r −K ´³ λ0 (t) = −λ (t) r − 2rx(t) + λ (t)q (1 − s)(E c (t) − η E c (t)) ,2211 221K³´x(t)x0 (t) = rx(t) 1 −− q1 E1c (t)(1 − s)x(t) − q2 E2c (t)sx(t) ,Kλ1 (T ) = µ1 g10 (x(T )), λ2 (T ) = µ2 g20 (x(T )), x(0) = x0 .Теперь изменим схему наказания за отклонение от кооперативного поведения.
Будемсчитать, что за отклонения от кооперативного равновесия игроков наказывает центр. Обозначим sc – разделение территории при кооперативном поведении обоих игроков. Тогда,если отклоняется первый игрок, то центр увеличивает sc , а если второй – уменьшает sc .107Рассмотрим отклонение второго игрокаE2 (t) = E2c (t) + ∆ .Будем искать стратегию, которую использует центр в качестве наказания, в видеs∗ (t) = sc − η(t)(E2 (t) − E2c (t)) .Таким образом, центр наказывает отклоняющегося игрока изменением территории эксплуатации пропорционально величине отклонения.Тогда стратегия первого игрока согласно теореме 3.1 имеет видγ1 (E2 (t)) =b1 − µ−11 q1 λ(t).ca1 (1 − s + η(t)(E2 (t) − E2c (t)))x(t)Для определения коэффициента η(t) необходимо решить задачу максимизации прибыливторого игрока при использовании данной схемы наказания:J2 (γ1 (E2 ), E2 ) → max ,E2 ≥0x(t)x0 (t) = rx(t)(1 −) − q1 γ1 (E2 (t))(1 − sc + η(t)(E2 (t) − E2c (t)))x(t) −K−q2 E2 (t)(sc − η(t)(E2 (t) − E2c (t)))x(t) .(3.5)Пользуясь принципом максимума [57], запишем гамильтониан1H2 (E2 , s∗ , x) = b2 E2 (sc − η(E2 − E2c ))x − a2 E2c (sc − η(E2 − E2c ))2 x2 +2rx2+λ2 (rx −− q2 E2 (sc − η(E2 − E2c ))x − q1 γ1 (E2 )(1 − sc + η(E2 − E2c ))x) =K1= − a2 E22 (sc − η(E2 − E2c ))2 x2 + (b2 − q2 λ2 )E2 (sc − η(E2 − E2c ))x+2³´rx2b1 − µ−11 q1 λ.+λ2 rx −− q1Ka1Максимум данной функции достигается при выполнении условия∂H2= x(−a2 E2 (sc − η(E2 − E2c ))x + b2 − λ2 q2 ) (sc − η(E2 − E2c ) − ηE2 ) = 0 .∂E2(3.6)Для того, чтобы γ1 было кооперативным регулируемым равновесием, необходимо, чтобырешение задачи (3.5) достигалось на кооперативном равновесии.
Следовательно, уравнение(3.6) должно выполняться при E2 = E2c . При этом выражение в первых скобках отличноот нуля, а выражение во вторых скобках равно нулю приη(t) =sc.E2c (t)108Рассуждая аналогично при отклонении первого игрока, определим стратегию центраs∗ (t) = sc + θ(t)(E1 (t) − E1c (t)) ,а стратегию второго игрока в видеγ2 (E1 (t)) =b2 − µ−12 q2 λ(t).ca2 (s + θ(t)(E1 (t) − E1c (t)))x(t)Откуда получимθ(t) =1 − sc.E1c (t)Таким образом, мы доказали следующую теорему.Теорема 3.3. Кооперативное регулируемое равновесие в задаче (3.1)–(3.3) имеет видγ1 (E2 (t)) =b1 − µ−1b2 − µ−11 q1 λ(t)2 q2 λ(t),γ(E(t))=,21∗∗a1 (1 − s2 (t))x(t)a2 s1 (t)x(t)гдеs∗2 (t) = sc −1 − scscc∗c(E(t)−E(t)),s(t)=s+(E1 (t) − E1c (t)) ,221E2c (t)E1c (t)и E1c (t), E2c (t), x(t), λ(t) удовлетворяют теореме 3.1.Результаты моделированияМоделирование было проведено для следующего набора параметров:p1 = p2 = 6000 ,ρ = 0.02 ,q1 = q2 = 0.02 , K = 300000 ,µ1 = 0.505 ,µ2 = 0.495 ,sc = 0.5 ,r = 0.06 ,gi (x(T )) = 0.3pi x(T ) , T = 50 .Регулируемое равновесие в случае, когда игроки наказывают друг другаПриведем два примера.
В первом из них игрок, нарушивший свои кооперативные обязательства, наказывается до конца периода планирования. Во втором – он возвращается ккооперативному поведению сразу же после отклонения.1. Рассмотрим случай, когда после отклонения второго игрока не происходит возврата кначальному кооперативному поведению. Пусть k1 = k2 = 2 . Начальный размер популяцииx(0) = 100000.
Момент времени отклонения второго игрока t0 = 20 и размер отклонения∆ = 0.5.Далее на рисунках показаны переменные задачи в случае кооперативного поведенияи в случае отклонения второго игрока (пунктиром). На рис. 2.14 представлена динамика109популяции. На рис. 2.15 показаны промысловые усилия игроков (в данной модели параметры η1 и η2 и, соответственно, стратегии E1 и E2 примерно равны). На рис.
2.16 представлены выловы первого и второго игроков, соответственно (v1 (t) = q1 E1 (t)(1 − s(t))x(t),v2 (t) = q2 E2 (t)s(t)x(t)).Заметим, что как отклонившийся (второй) игрок, так и первый игрок, который наказывает второго, наращивают свои промысловые усилия и вылов. Это ведет к значительному уменьшению размера популяции (см. рис. 2.14). Таким образом, традиционная схемакооперативного регулирования равновесия ведет к неблагоприятному состоянию эксплуатируемой популяции.Выигрыши игроков при кооперативном поведении составляютJ1c = 248136465 , J2c = 248098365 ,выигрыши игроков при отклонении второго игрока –J1dev = 233726139 , J2dev = 234303666 .Ei (t)1.6x(t)180000vi (t)20001.416000018001.21400001600112000014000.810000001020304050 tРис 2.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
