Автореферат (1145367), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Oesterle (1980). Dimension de Hausdor des attracteurs. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A. (inFrench), 290(24):11351138.17 G.A. Leonov (1991). On estimations of Hausdor dimension of attractors, Vestnik St. Petersburg University:Mathematics, 24(3):38-41.18 A. Eden (1989a). An abstract theory of L-exponents with applications to dimension analysis (PhD thesis).Indiana University [p.98, Question 1].17 ðàáîòå ââåäåíû ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ.ëÿïóíîâñêèå ïîêàçàòåëè (nite-timetLyapunov exponents) äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû {ϕ }t≥0 â òî÷êå u ∈ U , îáîçíà÷àåtìûå LEi (t, u) = LEi (Dϕ (u)), i = 1, 2, .., n, îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Îïðåäåëåíèå1. Êîíå÷íî-âðåìåííûåLEi (t, u) =1ln σi (t, u),tt > 0.Çäåñü LE1 (t, u) ≥ · · · ≥ LEn (t, u) äëÿ âñåõ t > 0, òàê êàê ñèíãóëÿðíûå ÷èñëàóïîðÿäî÷åíû ïî óáûâàíèþ.Ôóíêöèÿ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ïîðÿäêà d ∈ [0, n] â òî÷êå u ∈ U äëÿ ìàòðèöûDϕt (u) îïðåäåëÿåòñÿ êàê1,d = 0,ωd (Dϕt (u)) = σ1 (t, u)σ2 (t, u) · · · σn (t, u),(18)d = n,σ1 (t, u) · · · σbdc (t, u)σbdc+1 (u)d−bdc , d ∈ (0, n),ãäå bdc íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå d.Îïðåäåëåíèå 2.
Ëîêàëüíàÿ ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòüϕtâ òî÷êåu∈UdL (ϕt , u)îòîáðàæåíèÿîïðåäåëÿåòñÿ êàêdL (ϕt , u) = inf{d ∈ [0, n] : ωd (Dϕt (u)) < 1}.Åñëè ìíîæåñòâî ïóñòî (ò.å.(19)ωn (Dϕt (u)) ≥ 1),òî èíôèìóì è ðàçìåðíîñòütïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè n. Ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü îòîáðàæåíèÿ ϕ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâàKîïðåäåëÿåòñÿ êàêdL (ϕt , K) = sup dL (ϕt , u) = sup inf{d ∈ [0, n] : ωd (Dϕt (u)) < 1}.u∈Ku∈K(20) òî âðåìÿ êàê â ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî êîíå÷íîåâðåìÿ t è îòîáðàæåíèå ϕt (u), ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ìîæíî ðàññìîòðåòüïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ïî t.ÎïðåäåëåíèåìíîæåñòâàKtðàçìåðíîñòü dL ({ϕ }t≥0 , K) èíâàðèàíòíîãîtäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû {ϕ }t≥0 îïðåäåëÿåòñÿ êàê3. ËÿïóíîâñêàÿdL ({ϕt }t≥0 , K) = inf dL (ϕt , K).t>0(21)Èçâåñòíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ëèïøåöåâûõ äèôôåîìîðôèçìîâ è íåöåëàÿ ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðè-18àíòíîé îòíîñèòåëüíî ãîìåîìîðôèçìîâ.
Òàê êàê ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè ðàçìåðíîñòè Õàóñäîðôà, òî âîçíèêàåò âîïðîñ î åå èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî äèôôåîìîðôèçìîâ.Ðàññìîòðèì â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå {ϕt }t≥0 , (U ⊆ Rn , || · ||) çàìåíó ïåðåìåííîé w = h(u), ãäå h : U ⊆ Rn → Rn äèôôåîìîðôèçì.  ýòîì ñëó÷àå ïîëóòðàåêòîðèÿ γ + (u) = {ϕt (u), t ≥ 0} îòîáðàæàåòñÿ â ïîëóòðàåêòîðèþϕth (w) = ϕth (h(u)) = h(ϕt (u)), äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà {ϕt }t≥0 , (U ⊆ Rn , || · ||)ïåðåõîäèò â äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó {ϕth }t≥0 , (h(U ) ⊆ Rn , || · ||) , èíâàðèàíòíîåîòíîñèòåëüíî {ϕt }t≥0 êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî K ⊂ U îòîáðàæàåòñÿ â èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî {ϕth }t≥0 êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî h(K) ⊂ h(U ).Äëÿ ëþáîãî d ∈ [0, n] ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c = c(d) ≥ 1, ÷òîmax ωd (Dh(u))−1 ≤ c.max ωd Dh(u) ≤ c,(22)u∈Ku∈K ðàáîòå äîêàçàíû ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèÿ:Ëåììà 1.
Åñëè äëÿRnèd ∈ [0, n],t>0ñóùåñòâóþò òàêèå äèôôåîìîðôèçì÷òî âåðíà îöåíêà−1max ωd Dϕth (w) = max ωd Dh(ϕt (u))Dϕt (u) Dh(u)u∈Kw∈h(K)òî äëÿh : U ⊆ Rn →u∈Klim inf ωd Dϕt (u) −t→+∞ωd Dϕth (h(u)) < 1,(23)=0èlim inf ωd Dϕth (h(u)) = lim inf ωd Dϕt (u) = 0.t→+∞Ñëåäñòâèå 2. Äëÿt→+∞u∈Kèìååìlimt→+∞ LEiDϕth (h(u)) − LEiDϕt (u) = 0,i = 1, 2, .., nè, ñëåäîâàòåëüíî,lim sup LEi Dϕth (h(u)) = lim sup LEi Dϕt (u) ,t→+∞i = 1, 2, .., n.t→+∞Òåîðåìà 2. Ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü êîìïàêòíîãî èíâàðèàíòíîãî ìíîæå-K äèíàìè÷åñêîéh : U ⊆ Rn → Rn , ò.å.ñòâàñèñòåìû èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî äèôôåîìîðôèçìàdL ({ϕt }t≥0 , K) = dL ({ϕth }t≥0 , h(K)).(24)19Äëÿ ñïåöèàëüíîãî êëàññà äèôôåîìîðôèçìîâ Dh(u) = p(u)S , ãäå p(u) : U ⊆Rn → R1 íåïðåðûâíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ è S íåîñîáàÿ n × n ìàòðèöà,ìíîæèòåëü Dh(u)(Dh(u))−1 = p(ϕt (u))(p(u))−1 â âûðàæåíèè (23) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ôóíêöèÿ ëÿïóíîâñêîãî òèïà â ìåòîäå Ëåîíîâà àíàëèòè÷åñêîé îöåíêè ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè.Ïðèìåíåíèå îïèñàííîãî âûøå ïîäõîäà ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü òî÷íóþ ôîðìóëóðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðîâ äëÿ ðÿäà èçâåñòíûõ ñèñòåì: ìîäåëü Shimizu-Morioka19[17], ìîäåëü Ãëóõîâñêîãî-Äîëæàíñêîãî20 [26], ñèñòåìû Tigan-Yang21 [27], è ðàñøèðèòü îáëàñòü ïàðàìåòðîâ äëÿ ìîäåëè Lorenz22 , ïðè êîòîðûõ âåðíà ôîðìóëàëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè [28].äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà ïîñòðîåíèþ ìîäåëåé ñèñòåì ôàçîâîéàâòîïîäñòðîéêè (ÔÀÏ, PLL) è ðàçðàáîòêå ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà äëÿ èõàíàëèçà.
Ðàçëè÷íûå ñèñòåìû ÔÀÏ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðíûõ àðõèòåêòóðàõ, ñèñòåìàõ íàâèãàöèè (òàêèõ, êàê GPS è ÃËÎÍÀÑÑ)è òåëåêîììóíèêàöèè. Îñíîâíîé çàäà÷åé ÔÀÏ ÿâëÿåòñÿ ïîäñòðîéêà ÷àñòîòû ñèãíàëà óïðàâëÿåìîãî ãåíåðàòîðà ïîä ÷àñòîòó âõîäíîãî ñèãíàëà. Îäíîé èç îñíîâíûõ çàäà÷ ïðîåêòèðîâàíèÿ è àíàëèçà ÔÀÏ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå äîïóñòèìûõðàçíîñòåé ÷àñòîò ñèãíàëîâ äëÿ êîòîðûé ÔÀÏ âòÿãèâàåòñÿ â ñèíõðîíèçì, à ïåðåõîäíîé ïðîöåññ îáëàäàåò íåîáõîäèìûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.Ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêóþ ñõåìó ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè (ÔÀÏ, ñì. Ðèñ.
3).Çäåñü Ýà (REF) è Ïà (VCO) ãåíåðàòîðû âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèéÒðåòüÿ ãëàâàЭГf1(θ1(t))φ(t)≈φ(θ1(t)-θ2(t))f2(θ2(t))ПГФильтрg(t)Ðèñ. 3: Áëîê-ñõåìà ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ íà óðîâíå ôèçè÷åñêîé ðåàëèçàöèèf1 θ1 (t) è f2 θ2 (t) (f1 (θ), f2 (θ) ôîðìû ñèãíàëîâ, θ1,2 (t) ôàçû ñèãíàëîâ),19 T.Shimizu, N. Morioka, On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model.Physics Letters A, 76(3-4), 1980, 201-204.20 À.Á. Ãëóõîâñêèé, Ô.Â. Äîëæàíñêèé, Òðåõìîäîâûå ãåîñòðîôè÷åñêèå ìîäåëè êîíâåêöèè âðàùàþùåéñÿæèäêîñòè.
Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ôèçèêà àòìîñôåðû è îêåàíà, 16(5), 1980, 451-462.21 G. Tigan, D. Opris, Analysis of a 3d chaotic system, Chaos, Solitons & Fractals, 36(5), 2008, 1315-1319;Q. Yang, G. Chen, A chaotic system with one saddle and two stable node-foci, International Journal ofBifurcation and Chaos, 18, 2008, 1393-1414.22 E.N. Lorenz, Deterministic nonperiodic ow, J. Atmos.
Sci., 20(2), 1963, 130-141.20⊗ ïåðåìíîæèòåëü, èñïîëüçóåìûé â êà÷åñòâå ôàçîâîãî äåòåêòîðà. Ïðîèçâåäå íèå ñèãíàëîâ f1 θ1 (t) f2 θ2 (t) ïîñòóïàåò íà âõîä ëèíåéíîãî ôèëüòðà (ôèëüòðíèçêèõ ÷àñòîò, LPF), g(t) âûõîä ôèëüòðà.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî f1 (θ) è f2 (θ) îãðàíè÷åííûå 2π -ïåðèîäè÷åñêèå êóñî÷íîäèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ðàçëîæåíèÿôóíêöèè f1,2 (θ) â ðÿä Ôóðüåfp (θ) =+∞Xn=−∞πF [fp ](n)einθ,1 ZF [fp ](n) =fp (θ)e−inθ dθ,2π −πp = 1, 2.(25)×àñòîòà ýòàëîííîãî ãåíåðàòîðà ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííîé: θ̇1 (t) = ω1 , à çàêîí èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà (ÏÃ) êîððåêòèðóþùèì ñèãíàëîìg(t) ïðèíèìàåòñÿ ëèíåéíûìθ̇2 (t) = ω2free + Lg(t),(26)ãäå ω2free ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà (free runningfrequency).freeÎáîçíà÷èì θ∆ (t) = θ1 (t) − θ2 (t), ω∆= ω1 − ω2free .Ôèëüòð îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:ẋ = Ax + bϕ(t), g(t) = c∗ x + hϕ(t).(27)Çäåñü A ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà; x(t) âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ôèëüòðà, x0 = x(0) åãî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå; b, c, h ïîñòîÿííûå âåêòîðû; ϕ(t), g(t) âõîä è âûõîäôèëüòðà ñîîòâåòñòâåííî.Èç óðàâíåíèé ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà (26) è ëèíåéíîãî ôèëüòðà (27)ïîëó÷èì íåàâòîíîìíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéẋ = Ax + bf1 (ω1 t)f2 (ω1 t − θ∆ ),freeθ̇∆ = ω∆− Lc∗ x − Lhf1 (ω1 t)f2 (ω1 t − θ∆ ),(28)êîòîðàÿ îïèñûâàåò ðàáîòó ñõåìû ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ (ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ).Ðàññìîòðèì ñõåìó ÔÀÏ (ñì.
Ðèñ. 4) â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ. Çäåñüïåðåìíîæèòåëü ñèãíàëîâ çàìåíÿåòñÿ íà íåëèíåéíûé ýëåìåíò ôàçîâûé äåòåêòîð (ÔÄ), íà âõîä êîòîðîãî ïîñòóïàþò ôàçû ñèãíàëîâ θ1,2 (t). Âûõîä ÔÄϕ(θ∆ (t)) = ϕ(θ1 (t) − θ2 (t)), íàçûâàåìûé õàðàêòåðèñòèêîé ÔÄ, çàâèñèò îò ðàçíîñòè ôàç ñèãíàëîâ, à âèä õàðàêòåðèñòèêè ÔÄ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìàìè ðàññìàò-21ЭГθ1(t)φ(θ1(t)-θ2(t))ФДθ2(t)ПГФильтрG(t)Ðèñ.
4: Áëîê-ñõåìà ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâðèâàåìûõ ñèãíàëîâ. Ñîîòíîøåíèå ìåæäó âõîäîì ϕ(θ∆ (t)) è âûõîäîì ôèëüòðàG(t) â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ èìååò âèäG(t) = c∗ x + hϕ(θ∆ (t)).ẋ = Ax + bϕ(θ∆ (t)),(29)Èç óðàâíåíèé ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà (26) è ëèíåéíîãî ôèëüòðà (29) ïîëó÷èì àâòîíîìíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñõåìû íà Ðèñ.
4(ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ):ẋ = Ax + bϕ(θ∆ ),freeθ̇∆ = ω∆− Lc∗ x − Lhϕ(θ∆ ).(30)Ñõåìû íà Ðèñ. 3 è Ðèñ. 4 íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñèãíàëû ïîäñòðàèâàåìûõ ãåíåðàòîðîâ äîñòàòî÷íî áëèçêè íà íåêîòîðîì äîñòàòî÷íî áîëüøîì èíòåðâàëå âðåìåíè (òî åñòü ðàçíîñòü óïðàâëÿþùèõ ñèãíàëîâ g(t) è G(t)äîñòàòî÷íî ìàëà).
 ðàáîòå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Òåîðåìà 3. Õàðàêòåðèñòèêàϕ(θ∆ )ôàçîâîãî äåòåêòîðà êëàññè÷åñêîé ñõåìûÔÀÏ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ñèãíàëîâ ãåíåðàòîðîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì:ϕ(θ∆ ) =+∞XF [ϕ](n)einθ∆ ,n=−∞(31)F [ϕ](n) = F [f1 ](n)F [f2 ](−n).Äëÿ ñèíóñîèäàëüíûõ è èìïóëüñíûõ ñèãíàëîâ ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ñîâïàäàåòñ èçâåñòíûìè ðàíåå âûðàæåíèÿìè.Ïðåäëîæåííûé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ïðèìåíåíèè ìåòîäà óñðåäíåíèÿ, ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü õàðàêòåðèñòèêó ôàçîâîãî äåòåêòîðà è ïîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ñõåì íà Ðèñ. 3 è Ðèñ.
4. Îòìåòèì, ÷òî àâòîíîìíàÿ íåëèíåéíàÿ ìîäåëü (30)øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ23 äëÿ èçó÷åíèÿ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ23 D. Abramovitch, Phase-locked loops: A control centric tutorial, in Proc. IEEE Amer. Control Conf., 2002, vol.1, pp. 115 [plenary lecture].22ðàçëè÷íûõ ñõåì ÔÀÏ. Ïðè ýòîì îáîñíîâàíèå äîïóñòèìîñòè åå èñïîëüçîâàíèÿ÷àñòî îïóñêàåòñÿ, ÷òî ìîæåò ïðèâîäèòü ê íåäîñòîâåðíûì ðåçóëüòàòàì (ñì., íàïðèìåð, [25, 29]).Ôîðìóëà (31) ëåãëà â îñíîâó ïðîãðàìì [35, 36] äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåìûôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ.Äëÿ ñëó÷àÿ íå÷åòíîé ôóíêöèè ϕ(θ∆ ) ìîæíî ïðîâîäèòü àíàëèç ñèñòåìû (30)free> 0 è ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ïîíÿòèå îòêëîíåíèÿ ÷àñòîòûòîëüêî äëÿ ω∆free| = |ω1 −ω2free |. Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé ÔÀÏ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî îòêëîíå|ω∆íèé ÷àñòîòû, ïðè êîòîðûõ ÔÀÏ âòÿãèâàåòñÿ â ñèíõðîíèçì, òî åñòü ïðîèñõîäèòïîäñòðîéêà ÷àñòîò ñèãíàëîâ è ïåðåõîä â ðàáî÷èé ðåæèì.
 êëàññè÷åñêèõ ìîíîãðàôèÿõ ïî ÔÀÏ24 áûëè ââåäåíû òàêèå ïîíÿòèÿ êàê ïîëîñà óäåðæàíèÿ (hold-in,õàðàêòåðèçóåò âîçìîæíîñòü âòÿãèâàíèÿ â ñèíõðîíèçì ïðè íåêîòîðûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ) è ïîëîñà çàõâàòà (pull-in, õàðàêòåðèçóåò îáÿçàòåëüíîå âòÿãèâàíèåâ ñèíõðîíèçì ïðè âñåõ íà÷àëüíûõ äàííûõ).Äðóãîå âàæíîå ïîíÿòèå ïîëîñà çàõâàòà áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (lock-inrange), êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò áûñòðîå âòÿãèâàíèå â ñèíõðîíèçì áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ öèêëîâ, áûëî ïðåäëîæåíî â 1966 ãîäó F.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
