Автореферат (1145367), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Sinica, 23,1980, 153-158.8 Â.È. Àðíîëüä, Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ìàòåìàòèêà. Ì.: Ôàçèñ. 2005.9 http://www.math.spbu.ru/user/leonov/publications/2009-PhysCon-Leonov-plenary-hiddenoscillations.pdf#page=216Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè, àíàëèçà èõ óñòîé÷èâîñòèè ïîèñêà ñêðûòûõ êîëåáàíèé èñïîëüçîâàëèñü ñïåöèàëüíûé ìåòîä óñðåäíåíèÿ èàíàëèç ôàçîâîé ïëîñêîñòè.Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó:1. Êîíöåïöèÿ ñêðûòûõ è ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ àòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêèõñèñòåì.2. Àíàëèòèêî-÷èñëåííûå ìåòîäû ëîêàëèçàöèè ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ â ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðîáëåìàõ è ôèçè÷åñêèõ ìîäåëÿõ.3.
Ìåòîäû îöåíêè è âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.4. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñèñòåì ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè â ïðîñòðàíñòâåôàç ñèãíàëîâ.5. Ðåøåíèå ïðîáëåìû Ãàðäíåðà îïðåäåëåíèÿ ïîëîñû çàõâàòà áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñèñòåì ôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè âïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ.6. Êîìïëåêñ ïðîãðàìì äëÿ àíàëèçà ñêðûòûõ è ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ àòòðàêòîðîâ.Ïóíêòû 16, ïåðå÷èñëåííûå â ïîëîæåíèÿõ, âûíîñèìûõíà çàùèòó, ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è ïîëó÷åíû àâòîðîì ñàìîñòîÿòåëüíî.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.
Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â ñîçäàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñèñòåìôàçîâîé àâòîïîäñòðîéêè â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ; â ðàçðàáîòêå àíàëèòèêî÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîçâîëÿþùèõ ýôôåêòèâíî èññëåäîâàòü ñêðûòûå êîëåáàíèÿêàê ïðè ðåøåíèè ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðîáëåì, òàê è ïðè àíàëèçå ïðèêëàäíûõäèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé.Äîñòîâåðíîñòü ïîëó÷åííûõ â ðàáîòå òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ îáåñïå÷èâàåòñÿ ñòðîãèì èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà è ïîäòâåðæäàåòñÿñðàâíåíèåì ñ ðàíåå èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè.Àïðîáàöèÿ ðàáîòû. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü íà ïðèãëàøåííûõ ïëåíàðíûõ è îáçîðíûõ äîêëàäàõ ðîññèéñêèõ è ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèé: X Int. Workshop on Stability and Oscillations of Nonlinear ControlSystems (Russia, 2008), Physics and Control (Italy, 2009), 3rd Int.
Conference onDynamics, Vibration and Control (China, 2010), IFAC 18th World Congress (Italy,2011), IEEE 5th Int. Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications (China,2012), Int. Conference on Dynamical Systems and Applications (Ukraine, 2012),Íàó÷íàÿ íîâèçíà.7Nostradamus (Czech Republic, 2013), 19th IFAC World Congress (South Africa,2014), 2nd Int. Conference on Advanced Engineering Theory and Applications(Vietnam, 2015) è äðóãèå.Ìåòîäû, ïðåäëîæåííûå àâòîðîì â íàñòîÿùåé ðàáîòå, áûëè èñïîëüçîâàíûäëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðèêëàäíûõ çàäà÷ â äèññåðòàöèÿõÅ. Êóäðÿøîâîé, Â. Âàãàéöåâà, Â.
Áðàãèíà, Ì. Þëäàøåâà, Ð. Þëäàøåâà, Ì. Êèñåëåâîé, Ò. Ìîêàåâà, Ê. Àëåêñàíäðîâà, íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì êîòîðûõ áûëàâòîð è êîòîðûå çàùèùàëèñü â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå è University of Jyvaskyla, Ôèíëÿíäèÿ (20092016 ãã). Òàêæå ïî òåìàòèêåñêðûòûõ êîëåáàíèé â ìíîãîìåðíûõ ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ â 2016 ãîäó çàùèòèëäèññåðòàöèþ Íãóåí Íãîí Õèåí â Òóëüñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå (ñïåöèàëüíîñòü 05.13.18, íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü È.Ì. Áóðêèí).Ðåçóëüòàòàì ðàáîòû àâòîðà ïî ñêðûòûì àòòðàêòîðàì â öåïè ×óà áûëà äàíàïîëîæèòåëüíàÿ îöåíêà Ëåîíîì ×óà (Leon Chua, University of California); íà ðåçóëüòàòû ïî ïîñòðîåíèþ êîíòðïðèìåðîâ ñî ñêðûòûìè êîëåáàíèÿìè ê ãèïîòåçåÊàëìàíà îá àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ áûë ïîëó÷åí ïîëîæèòåëüíûé îòêëèê îò Ðóäîëüôà Êàëìàíà (Rudolf Kalman, Swiss Federal Instituteof Technology), ïî ñêðûòûì àòòðàêòîðàì â ñèñòåìå Ãëóõîâñêîãî-Äîëæàíñêîãî ïîëîæèòåëüíûé îòçûâ îò ïðîôåññîðà Àëåêñàíäðà Äîëæàíñêîãî (PurdueUniversity).
 2012 ãîäó ïî ïðèãëàøåíèþ àêàäåìèêà ÐÀÍ Â.Ã. Ïåøåõîíîâà ðåçóëüòàòû ðàáîòû áûëè ïðåäñòàâëåíû àâòîðîì â äîêëàäå Àíàëèç è ñèíòåç ñêðûòûõ êîëåáàíèé íà XXXIV Îáùåì ñîáðàíèè Àêàäåìèè íàâèãàöèè è óïðàâëåíèÿäâèæåíèåì.Ðàáîòà íàä äèññåðòàöèåé áûëà ïîääåðæàíà ñëåäóþùèìè ãðàíòàìè:postdoctoral researcher's project Max-Planck-Institut fur Physik komplexer Systeme(2004); ãðàíò ÌÊ-162.2007.1 Ñîâåòà ïî ãðàíòàì Ïðåçèäåíòà Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè äëÿ ïîääåðæêè ìîëîäûõ ðîññèéñêèõ ó÷åíûõ (20072008, ðóêîâîäèòåëü); postdoctoral researcher's project 138488 Academy of Finland (20112013); ïðîåêò 6.38.72.2012 Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, ìåðîïðèÿòèå 2 (20122014, ðóêîâîäèòåëü); ïðîåêò 12-01-31335 ÐÔÔÈ,ìîë_à (20122013, ðóêîâîäèòåëü); ïðîåêòû 8218 (20122013, ðóêîâîäèòåëü),14.740.11.0998 (20112013, ðóêîâîäèòåëü), 14.740.11.0589 (20102012, ðóêîâîäèòåëü) ÔÖÏ Íàó÷íûå è íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêèå êàäðû èííîâàöèîííîé Ðîññèèíà 20092013 ãîäû, ìåðîïðèÿòèå 1.2.2; ãðàíòû Ïðàâèòåëüñòâà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãàäëÿ ìîëîäûõ ó÷åíûõ (2007, 2008, 2010, 2011, 2012, ïåðñîíàëüíûå ãðàíòû); ãðàíò14-21-00041 Ðîññèéñêîãî Íàó÷íîãî Ôîíäà äëÿ ïîääåðæêè ñóùåñòâóþùèõ êàôåäð (20142016, îñíîâíîé èñïîëíèòåëü).8Âñåãî ïî òåìå äèññåðòàöèè àâòîðîì îïóáëèêîâàíî áîëåå 100ñòàòåé â èçäàíèÿõ, èíäåêñèðóåìûõ Scopus10 , 2 ìîíîãðàôèè [30, 31], ïîëó÷åíî 3ñâèäåòåëüñòâà îá èíòåëëåêòóàëüíîé ñîáñòâåííîñòè (ïàòåíòû) [3234] è 2 ñâèäåòåëüñòâà î ãîñóäàðñòâåííîé ðåãèñòðàöèè ïðîãðàììû äëÿ ÝÂÌ [35,36].
Îñíîâíûåðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòàõ [1, 4, 6, 9, 10, 13, 15], [2, 3, 12, 17]è [5, 1925, 29].Îáúåì è ñòðóêòóðà ðàáîòû. Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òðåõ ãëàâ,çàêëþ÷åíèÿ è ïðèëîæåíèÿ. Ïîëíûé îáúåì äèññåðòàöèè 187 ñòðàíèö òåêñòà.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 301 íàèìåíîâàíèå.Ïóáëèêàöèè.ÎÑÍÎÂÍÎÅ ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛÂî ââåäåíèè îáîñíîâàíà àêòóàëüíîñòü èññëåäîâàíèé, ïðîâîäèìûõ â ðàìêàõäàííîé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû, ïðèâåäåí îáçîð íàó÷íîé ëèòåðàòóðû ïî èçó÷àåìîé ïðîáëåìå, ñôîðìóëèðîâàíà öåëü, ïîñòàâëåíû çàäà÷è, ïîêàçàíà íàó÷íàÿíîâèçíà è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ïðåäñòàâëÿåìîé ðàáîòû.ïîñâÿùåíà êîíöåïöèè ñêðûòûõ è ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ àòòðàêòîðîâ.
Ïîíÿòèÿ ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ è ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ ïî îòíîøåíèþ ê ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûìè äëÿ àâòîíîìíûõ ñèñòåì.Îäíàêî, àíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è ïî îòíîøåíèþ êäðóãèì îáúåêòàì (íå ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ), êîòîðûå ìîãóò áûòü ýôôåêòèâíîíàéäåíû è èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà è âèçóàëèçàöèèàòòðàêòîðà. Ïðè ýòîì òàêèå îáúåêòû ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê äëÿ èçó÷àåìîéñèñòåìû, òàê è äëÿ åå ìîäèôèêàöèé. ðàáîòå ðàññìîòðåíû ïðèìåðû êëàññè÷åñêîé âèçóàëèçàöèè ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ àòòðàêòîðîâ Ëîðåíöà è Óåäà, êîòîðûå ìîãóò áûòü âèçóàëèçèðîâàíû ïðèïîìîùè ñòàíäàðòíîé âû÷èñëèòåëüíîé ïðîöåäóðû: ÷èñëåííî ñòðîèòñÿ òðàåêòîðèÿ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè èç îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîòîðàÿ ïðèòÿãèâàåòñÿ ê àòòðàêòîðó è òåì ñàìûì åãî âèçóàëèçèðóåò.Ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ äëÿ 16-îé ïðîáëåìû Ãèëüáåðòà, â êîíòðïðèìåðàõ ê ïðîáëåìàì Àéçåðìàíà è Êàëìàíà, â ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ áåç ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â ìîäåëÿõ áóðîâûõ óñòàíîâîê, â ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ ëåòàòåëüíûìè àïïàðàòàìè, â ìîäåëè Ðàáèíîâè÷à, â ìîäåëèÃëóõîâñêîãî-Äîëæàíñêîãî, â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ×óà è â ìîäåëè Ðàáèíîâè÷àÔàáðèêàíòà.Ïåðâàÿ ãëàâà10 http://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=138056757009Èçëîæåíû àíàëèòèêî-÷èñëåííûå ìåòîäû ñèíòåçà è ëîêàëèçàöèè ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ñèñòåì.Ñèíòåç ñêðûòûõ êîëåáàíèé â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ.
Äëÿ ñèñòåìûẋ = −y + f (x, y),(1)ẏ = x + g(x, y)ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â îêðåñòíîñòè U òî÷êè (x, y) = (0, 0) ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìûèìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå n-ãî ïîðÿäêà è âûïîëíåíî ïðåäñòàâëåíèåf (x, y) =g(x, y) =nXk+j=2nXfkj xk y j + o (|x| + |y|)n = fn (x, y) + o (|x| + |y|)n ,k jngkj x y + o (|x| + |y|)n(2)= gn (x, y) + o (|x| + |y|) .k+j=2Ïóñòü x(t, x(0), y(0)), y(t, x(0), y(0)) ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè x(0) = 0, y(0) = h.
Îáîçíà÷èì x(t, h) = x(t, 0, h), y(t, h) = y(t, 0, h).Ðàññìîòðèì âðåìÿ T (h) ïåðâîãî ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèÿ x(t, h), y(t, h) ñ ïîëóîñüþ {x = 0, y > 0} è äîîïðåäåëèì (ïî íåïðåðûâíîñòè) åãî â íóëå: T (0) = 2π .Èç óñëîâèÿ ãëàäêîñòè äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h ñëåäóåò, ÷òî âðåìÿ îáîðîòà T (h)ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåT (h) = 2π + ∆T (h) = 2π +nXTek hkn+ o(h ),k=1Tek1 dk T (h)=,k! dhk(3)à ðåøåíèå ñèñòåìû ïðåäñòàâèìî â âèäåx(t, h) = xhn (t, h) + o(hn ) =ny(t, h) = yhn (t, h) + o(h ) =nXk=1nXk=1xe hk (t)hk + o(hn ),knyehk (t)h + o(h ),1 ∂ k x(t, h),k! ∂hk1 ∂ k y(t, h)eyhk (t) =.k! ∂hkxe hk (t) =(4)Çäåñü t ∈ [0, T (h)] è íå ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå çàâèñèìîñòü îñòàòî÷íîãî÷ëåíà o(hn ) îò t (ýòî ñïðàâåäëèâî, íàïðèìåð, êîãäà x(t, h) − xhn (t, h) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé ïî t íàðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå).Äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàññìîòðåííîãî ðåøåíèÿ èìååìxh1 (t, h) = xe h1 (t)h = −h sin(t), yh1 (t, h) = yeh1 (t)h = h cos(t),(5)10à ïîñëåäóþùèå ïðèáëèæåíèÿ (xhk (t, h), yhk (t, h)) îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåêóððåíòíîéïðîöåäóðû.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ k -ãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ èñïîëüçóåì, ÷òî ïðèïîäñòàíîâêå x(t, h) = xhk (t, h)+o(hk ) è y(t, h) = xhk (t, h)+o(hk ) â f (x, y) è g(x, y)ïîëó÷èâøèåñÿ âûðàæåíèÿ ïðè hk (îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç ufhk è ughk , ñîîòâåòñòâåííî) çàâèñÿò òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé {xhm (t, h), yhm (t, h)}m<k (ò.å. âðàìêàõ ðåêóððåíòíîé ïðîöåäóðû ÿâëÿþòñÿ èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè) èíå çàâèñÿò îò íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé xe hk (t) è yehk (t)f xhk (t, h) + o(hk ), yhk (t, h) + o(hk ) = ufhk (t)hk + o(hk ),g xhk (t, h) + o(hk ), yhk (t, h) + o(hk ) = ughk (t)hk + o(hk ).(6)Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (4) â (1) äëÿ îïðåäåëåíèÿ xe hk (t) è yehk (t) ïîëó÷èì ñèñòåìóxė hk (t) = −yehk (t) + ufhk (t),yėhk (t) = xe hk (t) + ughk (t).(7)Äëÿ t = 2π + ∆T (h) ïðåäñòàâèì, ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ãëàäêîñòè, íàéäåííûåêîýôôèöèåíòû â âèäåxe hk (2π+ ∆T (h)) =xe hk (2π)+nXm=1xe(∆T (h))m(m)hk (2π)m!+ o((∆T (h))n ), k = 1, ..., n.Ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå x(T (h), h) ïî ñòåïåíÿì h, ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ñ ó÷åòîì (3) â ïåðâîå óðàâíåíèå (4) è îáîçíà÷àÿ êîýôôèöèåíòû ïðè hk÷åðåç xe k :x(T (h), h) =nXxe k hk + o(hn ).(8)k=1Èç ðàâåíñòâà x(T (h), h) = 0 äëÿ êîýôôèöèåíòîâ {xe k } ïîëó÷èìh:0 = xe 1 = xe h1 (2π),h2 : 0 = xe 2 = xe h2 (2π) + xe 0h1 (2π)Te1 ,11h3 : 0 = xe 3 = xe h3 (2π) + xe 0h1 (2π)Te2 + xe 0h2 (2π)Te1 + xe 00h1 (2π)Te12 ,22···hn : 0 = xe n = xe hn (2π) + xe 0h1 (2π)Ten−1 + .
. .Îòñþäà ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû Tek=1,...,n−1 ÷åðåç êîýôôèöèåíòû fij è gij , òàê êàê â âûðàæåíèå äëÿ xe k âõîäÿò êîýôôèöèåíòûTe16m<k−1 è ñëàãàåìîå xe 0h1 (2π)Tek−1 = −Tek−1 (çäåñü 0 îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïîâðåìåíè t).11Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó äëÿ y(T (h), h), ïîëó÷èì èç ðàâåíñòâày(T (h), h) =nXyek hk + o(hn )k=1ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:h:ye1 = yeh1 (2π),h2 : ye2 = yeh2 (2π) + yeh0 1 (2π)Te1 ,11h3 : ye3 = yeh3 (2π) + yeh0 1 (2π)Te2 , + yeh0 2 (2π)Te1 + yeh001 (2π)Te12 ,22···hn : yen = yehn (2π) + yeh0 1 (2π)Ten−1 + . . .äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ yek=1,...,n . Çäåñü yeh1 (2π) = 1, çíà÷åíèÿTek=1,..,n−1 è ôóíêöèè yehk=1,..,n (t) îïðåäåëåíû âûøå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
