Диссертация (1145317), страница 8
Текст из файла (страница 8)
[155]. Позднее метод построения рекуррентных графиков(Recurrence Plot — RP) усовершенствовался и дополнялся [154; 156–159], появилась система количественного рекуррентного анализа — RQA [160; 161]. RP метод востребован в таких областях, как астрофизика и геофизика [92–98;162;163].Построение рекуррентного графика происходит в два этапа.
Из временного ряда ui = u(i∆t), i = 1,...,N по методу запаздывающих аргументов строитсяфазовая траектория xi = (ui, ui+1,..., ui+(m−1)τ ), где m размерность вложения иτ запаздывание по времени (рис. 1.3 a). Далее с помощью функции Хевисайда41(б)Время(а)ВремяРисунок 1.3 — a) Фазовая траектория системы Ресслера.
Две черные точки,попадающие в ε–окрестность, являются рекуррентными. Белая точка не является рекуррентной ни с одной из них. б) Рекуррентный график. Рисунок взятиз работы [154].Θ(·) строится рекуррентная матрица (рис. 1.3 б):Ri,j = Θ(εi − kxi − xj k),i,j = 1, . . . ,N,(1.3)где N — число рассматриваемых состояний xi, ε — пороговое расстояние (радиус выбранной окрестности с центром в точке xi ), k · k — норма.Если точка xi попадает в ε-окрестность точки xj (рис.
1.3 a), тогдаRi,j = 1, в противоположном случае Ri,j = 0. Графически такая матрица (рис. 1.3 б) изображается в виде квадрата N × N , заполненного черными(Ri,j = 1) и белыми точками (Ri,j = 0).Поскольку Ri,i = 1 (i = 1,..., N ) по определению, то на рекуррентномграфике всегда присутствует черная диагональная линия — линия тождественности — line of identity — LOI [154].
LOI всегда совпадет с главной диагональю,идущей из левого нижнего в правый верхний угол RP.Параметр ε выбирается либо жестко фиксированным, либо плавающим,в последнем случае фиксируется число точек, попадающих в ε-окрестность.Чем больше ε, тем больше точек будет рекуррентными. Форма ε-окрестностизадается через норму. Наиболее часто используемыми являются L1-норма, L2норма (Евклидова норма) и L∞-норма (максимальная норма). Последняя изних является предпочтительной из-за быстроты и легкости вычислений [154].42В данной работе используется пакет программ CRP Toolbox для среды Matlab,разработанный Норбертом Марваном. Поскольку входные величины должныбыть приведены к единому масштабу, то по умолчанию ряды нормируются нанулевое среднее и единичную дисперсию.
Все рекуррентные графики в данной работе построены по нормированным рядам с параметрами: размерностьвложения 1, запаздывание 1, порог ε 10%, фиксированное количество точек вокрестности радиуса ε.1.3.2Кросс-рекуррентные графикиКросс-рекуррентный график (Cross-Recurrence Plot — CRP) строится подвум временным рядам [154; 156; 164]. Кросс-рекуррентная матрица для системx и y считается следующим образом:CRi,j = Θ(εi − kxi − yj k),i = 1, . . . , Nx , j = 1, . .
. ,Ny .(1.4)Поскольку значения CRi,i(i = 1,...,N ), как правило, не равны единице,то линия тождественности искривляется, в ней появляются разрывы, или онаи вовсе исчезает (рис. 1.6 г). Если временные ряды различаются не сильно, тоLOI замещается линией синхронизации — line of synchronization — LOS [154].На рисунке 1.4 показан пример построения кросс-рекуррентной матрицы для двух тестовых функций f (t) (синяя кривая) и f1 (t) (красная кривая).Первую половину времени f (t) запаздывает относительно f1 (t), затем опережает.
На кросс-рекуррентном графике LOS (зеленая кривая) строится из левогонижнего угла в правый верхний (в направлении стрелы времени) по распределению рекуррентных точек. Алгоритм построения LOS есть алгоритм минимального натянутого дерева [99], то есть длина LOS должна быть минимальнойи без самопересечений.Положение LOS ниже главной диагонали означает запаздывание f (t) относительно f1 (t), выше — опережение. Величина сдвига LOS относительноглавной диагонали равна величине запаздывания или опережения между временными рядами в каждый момент времени. Иными словами, LOS есть мерафазовой асинхронизации.Время43ВремяРисунок 1.4 — Тестовые функции f (t) = sin(ϕ) и f1 (t) = sin(ϕ + asin(ψt)) дляa = 0,5 и кросс-рекуррентный график для них. Зеленым цветом показана LOS.Рисунок идентичен [154, рис.
13].1.3.3Вейвлет-анализСпектральный анализ, использующий ряды или интегралы Фурье, является предшественником и базой вейвлет-анализа. Условием применимости фурьеанализа является стационарность процессов по всей длине временно́й реализации [165–167]. По виду фурье-спектра нельзя сказать как частота сигналаменяется во времени.
Решению такой задачи служит вейвлет-преобразование(здесь мы рассматриваем непрерывное вейвлет-преобразование):1W (s,t0) = √sZ+∞−∞f (t)ψ0∗(t − t0)dt,s(1.5)где ψ0 (t) — вейвлетная базисная функция, t0 — сдвиг базисной функции, определяющий положение вейвлета на оси t, s — временной масштаб, отвечает заширину вейвлета, * означает комплексное сопряжение.44В данной работе в качестве комплексного базисного вейвлета будет использоваться вейвлет Морле (морле-вейвлет):ψ0 (η) = π−1/4−η 2),exp(jω0t)exp(2(1.6)где η — безразмерный временно́й параметр, ω0 — безразмерная доминантнаячастота (ω0 = 6).При анализе временных рядов необходимо также оценить достоверностьполученных пиков в вейвлетном спектре мощности по отношению к некоторомушумовому фону. Для этих целей обычно используется красный шум.
Если максимальное значение мгновенных распределений энергии E(s,t0) = |W (s,t0)|2 помасштабам значительно превышает фоновый спектр, то можно предполагать,что это достоверно с некоторой вероятностью. Обычно используют уровень значимости вейвлетного спектра равный 5%, что соответствует уровню достоверности 95%.Вейвлет-спектр может быть использован для одновременного анализадвух временных рядов xn и yn [168; 169]:W XY = W X W Y ,∗(1.7)где * означает комплексное сопряжение, а W XY именуется кросс-вейвлетнымпреобразованием. На кросс-вейвлетный спектр мощности |W XY | накладываетсясетка стрелок — arg(W XY ), наклон каждой из которых определяет отношениефаз xn и yn в данном месте частотно-временного пространства (рис. 1.8). Такжепри проведении вейвлет-анализа необходимо удостовериться, что анализируемые ряды распределены (по отсчетам) по нормальному закону или близко кнему.
Иными словами, необходимо убедиться в отсутствии резких скачков ифлуктуаций в данных [166].По определению (ур. 1.5) вейвлет-преобразование переводит пространствофункций одной переменной в двумерное вейвлетное пространство, а, следовательно, информация в вейвлет-коэффициентах избыточна. Значит, непрерывное вейвлет-преобразование случайного сигнала будет показывать наличие корреляции, которой нет в ряде, но которая присутствует в самом преобразовании [166].
Следовательно, стоит с особой осторожностью относиться к малым45по площади или редким пикам спектров, даже если их уровень достоверностидостигает 95% или более [170].В работе используется пакет программ Crosswavelet and waveletcoherence для среды Matlab, разработанный Аслаком Гринстедом. Данныйпакет программ хорошо зарекомендовал себя для решения задач астрофизикии геофизики [102; 103; 171; 172].1.4Сравнительный анализ N A и LOSДля демонстрации качественного различия N A и LOS был проведен тестдля трех гармонических функций f1(t) = sin(ω1t), f2 (t) = sin(ω1t + ϕ), f3 (t) =sin(ω2t) [101].
Для простоты взяты одинаковые по амплитуде сигналы. Первыйслучай соответствует фазовому сдвигу (рис. 1.5 а), второй — различию частот(рис. 1.5 б).Графики для индекса N A приведены на рисунках 1.5 (в) и 1.5 (г). Можнозаметить, что N A демонстрирует довольно сложное поведение во времени. Нарисунках 1.5 (д) и 1.5 (е) представлены кросс-рекуррентные графики для тестовых функций, на каждом из которых зеленым цветом отмечена линия синхронизации. Извлеченная LOS дает количественную оценку временны́х рассогласований.
Так в первом случае (рис. 1.5 ж) величина постоянного запаздыванияравна 20 единицам, LOS находится ниже нуля, следовательно, f2(t) опережаетf1(t). На рисунке 1.5 (з) величина запаздывания постепенно увеличивается. За300 единиц времени, сдвиг составил 150 единиц, значит, частота функции f3(t)в два раза больше частоты функции f1(t).Можно заключить, что меры N A и LOS качественно различны [100].N A — мера амплитудного доминирования одного сигнала над другим. Она неподходит для измерения временны́х рассогласований.
Для этой цели, в применении к анализу солнечной активности в полушариях, в работе будет использоваться LOS — мера фазовой асимметрии.(a)(б)(в)(г)(д)(е)Время (год)Время (год)46(ж)(з)Время (год)Время (год)Рисунок 1.5 — Тестовые функции f1(t) = sin(ω1t) — синяя кривая и f2 (t) =sin(ω1t + ϕ) — красная кривая. б) Графики функций f1(t) = sin(ω1t) — синяякривая и f3 (t) = sin(ω2t) — красная кривая. в) Индекс нормированной асимметрии N A для функций f1(t) и f2(t). г) То же для функций f1(t) и f3 (t). д)Кросс-рекуррентная матрица для f1 (t) и f2(t).
Зеленая линия — линия синхронизации. е) То же для f1(t) и f3(t). ж) Линия синхронизации LOS, извлеченнаяиз кросс-рекуррентного графика для f1(t) и f2(t). з) То же для f1 (t) и f3(t).471.5Фазовая асинхронизация пятнообразованияв полушарияхВ этой главе проведен анализ n–s асимметрии пятнообразования. На рисунке 1.6 (а) показаны сглаженные нормированные значения гринвичских рядовплощадей пятен для северного An (синим цветом) и южного As (красным цветом) полушарий. На рисунке 1.6 (б) изображена мера амплитудной асимметрииN A.
На рисунке 1.6 (в) показана LOS, извлеченная из кросс-рекуррентногографика (рис. 1.6 г). Поскольку N A и LOS качественно различны, то ожидаемо, что они не коррелируют (коэффициент корреляции — 0,1). Особеннопоказательно различие двух мер между циклами 19 и 20. В этот период N Aпринимает максимальные значения и всегда остается положительной, маркируя сильное доминирование северного полушария [101; 146; 173].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
