Диссертация (1144049), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Метод замыканияоснован на том, что для описания поведения процессов очень маленькогомасштаба используются аналитические или специальные численные методы.Примеры:разномасштабныеконечныеэлементы,вариационныйразномасштабный анализ, гетерогенные разномасштабные методы.• Адаптивные методы позволяют динамически применять технику сочетанияразных разрешений, различных моделей и численных аппроксимаций дляснижения вычислительных ошибок и неопределенности.• Методы оценки погрешности, вызванной использованной численнойпроцедурой, а именно: дискретизацией, численном интегрированием,использованными басисными функциями и т.п. Несмотря на то, что35длительная история развития вычислительной математики дала множествонадежныхоценокпогрешности,открытымиостаютсявопросыраспространения погрешности при переходы через границы разных областейфизики или существенно разных масштабов.• Количественная оценка неопределенности, то есть влияния неточного знанияпараметров модели на результат моделирования.
Особенный упор врассматриваемом мультидифизическом контексте делается на преодолениеграницмеждуПодчеркнуто,многомасштабнымичтоклассическийвычислительнымиметодМонте-Карломоделями.дляоценкинеопределенности часто оказывается слишком дорогим для применения, чтопорождает необходимость в разработке новых методов. Предлагается вчастности использовать суррогатные модели или модели уменьшеннойразмерности[17]дляоценкинеопределенности,втомчислеисамообучающиеся статистические подходы.• Решение обратных задач и задач оптимизации. Обратные задачи преследуютцель поиска значений исходных параметров модели, дающих необходимыйхарактер распределения поля и закон его изменения. Поскольку все методырешения инверсных задач предусматривают многократное решение сериипрямых задач, строящихся автоматически тем или иным способом, припереходе к мультифизическому и многомасштабному моделированиюоткрывается огромное поле для исследований, включающих тщательноерассмотрение много-модельной и многомасштабной структуры.
Особоевнимание следует уделять переносу данных между границами моделей.Многообещающимподходомявляетсяиспользованиеиерархическихмоделей, позволяющих динамически выбирать минимально приемлемыйуровень детализации.• Сокращение размерности (Dimensional reduction) – это направлениерассматривает возможность сокращения размерности решаемой задачи засчетсущественныхпараметровилиосновныхмод.36Примеры:правильнаяортогональнаядекомпозиция,использованиестатистических и суррогатных моделей.1.5 Программные средства для мультифизических расчетов методомконечных элементовЕщедоначалаиспользованиякомпьютеровдлярешениязадачматематической физики был разработан целый ряд численных методов,использующих замену континуального уравнения в частных производных тем илииным дискретным аналогом. Каждый из основных методов – метод конечныхразностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, методы,основанные на численном решении интегральных уравнений и многие другие.Большинство этих методов за десятилетия развились до зрелого уровня, и каждыйиз них обрел свою специфическую область применения.Среди семейства численных методов имеется один, сфера применениякоторого шире, чем у всех остальных – это метод конечных элементов (МКЭ).Несмотря на то, что есть ряд предметных областей, где МКЭ не занимаетпервостепенные позиции (например, задачи гидродинамики или высокочастотныхэлектромагнитных полей), во многих других областях МКЭ – метод номер один поколичеству решенных задач и по ассортименту имеющихся программных средств[10], [11].
Главными особенностями, определившими доминирующее положениеМКЭ являются:5. Консервативность, то есть соблюдение в дискретизованной системеуравнений законов сохранения энергии, заряда и т.д. присущих исходнойсистеме дифференциальных уравнений [9].6. Абсолютная устойчивость: непрерывная зависимость приближенногорешения от правой части при условии стремления шага дискретизации кнулю. Устойчивость МКЭ вытекает из его формулировки и не требуетотдельного доказательства [14]377. Возможность конструирования конечно- элементных аппроксимаций нанеструктурированных сетках [9], [11].8.
Относительная простота учета материальных уравнений, описывающихнелинейные свойства среды [15].Особенностьюметодаконечныхэлементовявляетсяотносительнаясложность его программной реализации. Строго говоря, сложность – это не столькохарактерное свойство численного метода, сколько особенность современнойзрелой стадии развития внутрикорпоративных, открытых (публичных) икоммерческих программных продуктов, реализующих МКЭ. Объективным фактомявляется относительно высокая «цена входа», то есть минимальный наборалгоритмов, которые должны быть реализованы для решения задачи. Этиалгоритмы и программные компоненты включают:• Геометрический редактор для описания геометрии расчетной области илиимпорта геометрической модели из CAD-системы.
В последнем случае, какправило, требуется ручное или автоматизированное геометрическоеупрощение модели (defeaturing) [18], поскольку полная конструкторскаямодель обычно содержит множество мелких несущественных с точки зрениямоделирования поля деталей, которые бесполезно усложняют модель иувеличивают время счета.• Генератор конечно-элементной сетки, состоящей из выбранного типаконечных элементов. Поскольку для генерации сетки в области размерностиN требуется сначала построить дискретизацию ее границы размерности N-1,речь идет о целом семействе генераторов сетки на линиях, поверхностях и вобъемах [23]. Современные сеточные генераторы допускают как ручное(априорное) управление густотой, так и адаптивное построение сетки наосновеоценкипогрешностирешениязадачи,полученногонапредварительной грубой сетке.• Инструмент для описания, хранения и поиска свойств материалов,граничных условий, начальных условий и источников поля.38• Генератор матрицы системы линейных алгебраических уравнений пометоду конечных элементов.
Особенностью МКЭ является большаяразмерность матрицы и ее разреженная структура [19]. Это делаетпрактически неосуществимым «наивную» схему хранения матрицы воперативной памяти целиком вместе с нулевыми элементами. Напротив,каждый алгоритм формирования и обращения матрицы для МКЭобязательно разрабатывается, изучается и оценивается совместно свыбранной схемой хранения разреженной матрицы.• Программа эффективного обращения разреженной матрицы (решатель),использующий прямую [21] или итерационную [22] вычислительную схему.• Программа визуализации решения, вычисления локальных и интегральныхрезультирующих полевых величин [32].• При решении мультифизических задач важным компонентом являютсяалгоритмы вычисления интерфейсных переменных и передачи их в связаннызадачи.
Если межзадачная связь состоит в совместном использованииуравнений поля с системным симулятором (на основе эквивалентныхэлектрических цепей или иных системных моделей), то к перечисленномудобавляются алгоритмы извлечения из полевой модели параметровэквивалентных схем.• Поскольку целью моделирования часто является не одиночный расчет, апоиск оптимальной точки в некотором пространстве параметров, развитыеМКЭ-системы оснащаются программой оптимизации, часто включающей всебя анализ чувствительности конечно-элементной модели [20].Метод конечных элементов появился как метод исследования упругогонапряженного состояния, поэтому первые и наиболее развитые программныекомплексы специализируются в этой области.
Например, маркетинговоеисследование [24] упоминает лишь пять крупнейших компаний производителейМКЭ-программ:399. Dassault Systems: программы Abacus CAE (задачи механики) Abacus CFD(задачигидродинамики),Abacus Electromagnetics(низко-частотныеэлектромагнитные задачи, прямая связь с температурными задачами).4. MSC Software Corp. (MKS Nastran – задачи механики, Marc – мультифизическийанализ: в основном задачи прочности, оснащенные также возможностьюрешения задач магнитостатики и электростатики для вычисления механическихнагрузок, а также задачи теплообмена, акустистики и др.).5.
ANSYS Inc.: множество программных продуктов для МКЭ-моделирования вразных областях физики. Это собственно пакет ANSYS Multiphysics (задачимеханики сплошной среды, теплопередачи, гидродинамики, низкочастотныеэлектромагнитные задачи), а также программные комплексы, приобретенные вразное время компанией ANSYS: Fluent и CFX (задачи гидродинамики),Maxwell (низкочастотные задачи электромагнетизма) и HFSS (высокочастотныеэлектромагнитные задачи).6. LMS International (c 2012 г. принадлежит корпорации Siemens). Эта компания,история которой восходит к католическому университету Лёвен (Бельгия) болеевсего известна продуктами в области вибро-акустики, но также в областимоделирования систем механотроники (LMS Imagine), и трехмерному МКЭанализу преимущественно в области задач механики (LMS Virtual Lab.
исемейство SAMCEF)7. Altair Engineering Inc.: различные виды механических задач, гидродинамика итеплопередача.К названным программным продуктам компаний-лидеров – ANSYSMultiphysicsиMaxwellследуетдобавитьещенесколькопрограмм,специализирующихся в области низко-частотного электромагнетизма:• Программы Flux-2D и Flux-3D французской компании Cedrat,• Пакет Opera [31] британской компании Cobham (ранее Vector Fields),• Семейство MagNet и ElecNet компании Infolytica (Канада) [31],40• Шведский программный комплекс Comsol Multiphysic [30], включающийширокий спектр задач в различных областях физики, и в частности в областиэлектромагнетизма,• Американская компания CST, предлагающая широкий набор инструментов впервую очередь для высокочастотных электромагнитных задач (CSTMicrowave Studio) с использованием методов конечных элементов,передающих линий, интегральных уравнений, но также и инструменты длярешения статических и низкочастотных электромагнитных задач (CST EMИмеютсяStudio).такжеинструментыдлярешениясвязанныхсэлектромагнитными процессами задач теплопроводности и упругости.• Программа JMAG японской компании JSol Corporation, ориентированнаяглавным образом на разработчиков электротехнических компонентов, такихкак электрические машины и трансформаторы.• Российскую программу ELCUT (на зарубежном рынке известную подименем QuickField).Выбор конкретной программы из списка имеющихся зависит от многихфакторов, как технических, так и экономических.
Стоимость большинствапрограмм может составлять до нескольких десятков тысяч долларов. Этообстоятельство способствует тому, что в каждой конкретной исследовательскойили конструкторской организации используется только одна, редко две, программыдля конечно-элементных расчетов. Поэтому, выбор программы делаетсяпредприятием надолго и обдуманно.Первостепенным фактором выбора являются особенности решаемых задач ифизических явлений, которые предполагается моделировать. Имеет значение такжесравнительнаясложностьосвоенияпрограммы,доступностьучебныхисправочных ресурсов, примеров, консультаций специалистов. Поскольку всепрограммные комплексы высокой сложности неизбежно содержат ошибки, а такжеипотому,чтоэтаобластьпрограммнойинженерииявляетсябыстроразвивающейся, имеет большое значение политика компании в области поставки41свежих версий и обновлений, а также то, насколько компания – производительдинамично реагирует на требования рынка.Решение мультифизических задач, особенно учет тех видов взаимосвязифизических явлений, который не был исчерпывающим образом рассмотренразработчикамипрограммы,требуетотпрограммыналичияразвитойинфраструктуры обмена данными между задачами, вычисления интерфейсныхпеременных.Необходимтакжемеханизмдлянаписанияскриптов–пользовательских программ, организующих автоматический полный циклопераций для решения задачи.
Статья [25], описывающая опыт взаимодействиямежду конечно-элементной моделью нестационарного магнитного поля исимулятором большой электрической цепи, подробно рассматривает вопросвыбора обоих компонентов и приходит к выводу, что требование свободногодоступа к внутренним механизмам программ делает использование готовыхпрограммных средств ненамного менее трудоемким делом, чем написаниеотдельной специальной программы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
