Диссертация (1144049), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Уравнения одной и той же природы решаются одновременно в областяхпространства с существенно различными свойствами. Предполагается,что различие настолько велико, что конституирующие уравнениявыглядят по-разному, например, для сокращения времени счета.3. Дляописанияфизическогоявленияодновременноиспользуютсяразличные математические модели или схемы дискретизации. Например,при температурном анализе электрической машины можно сочетатьдвумерную конечно-элементную модель в поперечном сечении с28тепловой схемой замещения для тепловых потоков в осевом направлении.Другие примеры: сочетание конечно-элементной модели магнитного поляс уравнениями присоединенной электрической цепи, или совместноерешение МКЭ-модели поперечного сечения электрической машины склассической инженерной моделью динамики машины.4.
Особый случай имеет место, когда связанные между собой физическиепроцессы имеют существенно разные постоянные времени, что позволяетприменять разные схемы дискретизации по времени в разных подзадачах,либо использовать квази-переходный анализ [12], в котором длямедленного (термического) процесса используется нестационарныйанализ, а быстрый (электромагнитный) процесс моделируется как плавноменяющееся установившееся решение.По способу организации вычислительного процесса все перечисленные видысвязанных задач классифицируются на следующие типы связи:1. Сильная (прямая) связь между задачами состоит в том, что схемадискретизации приводит к объединению уравнений их разных доменов водну общую матрицу.
При этом, уравнения решаются одновременно.Например, при совместном расчете магнитного поля с присоединеннойэлектрическойцепью(цепно-полевойзадача),обыкновенныедифференциальные уравнения цепи объединяются в общую матрицу сдискретизованными в пространстве МКЭ-уравнениями магнитного поляи решаются совместно [13].2.
Слабая (непрямая или последовательная) вычислительная схема означаетотдельное рассмотрение разных частей задачи, например, уравнений поляи уравнений цепи. Связь между подзадачами осуществляется черезпеременные связи и, как правило, предусматривает дополнительныевычисления. Например, при решении цепно-полевой задачи переменнымисвязи являются матрица собственных и взаимных индуктивностейобмоток, вектор токов в них, и вектор индуктированных противо-ЭДС.29При связи электромагнитной и температурной задачи переменными связиявляются пространственно распределенная плотность потерь, а такжезависимость свойств электрических, магнитных и тепловых свойствматериалов от температуры. Вообще говоря, связи между подзадачамиимеютдвунаправленныйхарактер(потеризависятотэлектропроводности, температура зависит от потерь, электропроводностьзавит от температуры).
Это обстоятельство диктует необходимостьорганизации итерационных вычислительных схем, для которых требуетсяспециальное исследование сходимости и вычислительной устойчивости.1.3 Вычислительные особенности мультифизических задачБудучи сформулированными в полевой постановке, то есть в видедифференциальных уравнений в частных производных, большое количествофизических феноменов описывается уравнениями одной и той же математическойприроды, иногда тождественными с точностью до обозначений. Так, например,уравнение ПуассонаΔφ = f(1.1)описывает стационарное тепловое состояние, установившееся ламинарноетечение потока жидкости, электростатическое поле, магнитостатическое поле.Уравнение теплопроводностиΔφ -α·dφ/dt = 0(1.2)описывает не только процесс нестационарный процесс распространениятепла, но и процесс диффузии, задачу квазистационарного электромагнитногополя, либо задачу электрического поля в неидеальном проводнике с небольшойпроводимостью, расчет ламинарного течения потока жидкости и многие другиепроцессы.Внешнее сходство или совпадение уравнений поля наводит на мысль о том,что решение задач из разных областей физики в одной и той же геометрической30конфигурации выполняется одинаково.
Тем не менее, это не совсем так последующим причинам:1. Существенная разница в скорости протекания процессов разной природы.Так постоянные времени электромагнитных, механических и тепловыхпроцессов могут соотносится между собой как микросекунды, секунды ичасы.2. Значительная разница в величинах характерных констант материалов, врезультате чего расчетные области для уравнений из одной области физикимогут распадаться на части совсем иным образом, чем для уравнений другойфизической природы.3. Для достижения необходимой точности численного расчета требуетсясгущать сетку там, где градиент поля велик. И наоборот, для достиженияприемлемой производительности сетка в зонах высокой однородности полядолжна быть более разреженной.
При решении мультифизических задач(multiphysic analysis) в одной и той же геометрической области требования кгустоте сетки в разных доменах могут быть существенно различны в одной итой же области пространства. Эта проблема известна как разномасштабноемоделирование (multiscale simulation), в этой области ведутся обширныеисследования как математического, так и практического характера [1], [3],[4].4. Часто между полями разной физической природы возникают циклическиезависимости, например, когда температурное поле зависит от распределениявихревых токов, которое в свою очередь зависит от электропроводностиметалла, являющегося функцией температуры.В качестве особенностей мультифизических задач, которые требуютспециальных исследований, называют следующее:• Необходимость совместного либо последовательного решения уравненийразной природы;31• Необходимость учитывать в общей модели физические процессы, имеющиесильно (на несколько порядков) различающийся характерный размер иливремя протекания.• Особенность временного или пространственного протекания процесса,требующаяпоследовательногодифференциальныхуравнениярешениянесколькихчастныхпроизводныхвзадачввразныхпространственных областях, либо при разных значениях характерныхпараметров.Приэтомподразумеваетсяобменданнымимеждупоследовательно решаемыми задачами, как правило, с дополнительнымивычислениями или преобразованиями.Исследованиям в области мультифизических и разномасштабных уделяетсябольшое внимание примерно с начала 2000-х годов.
Так, в 2004 году в СШАопубликован отчет [1] по результатам серии из трех конференций по отдельнымаспектам мультифизических задач. В отчете подчеркивается важность иактуальность тематики многодисциплинарных разномасштабных задач, котораяопределяются как как наведение мостов между результатами математическогомоделирования в микромире и в масштабе космических процессов, с однойстороны и миром, в котором живет человек, с другой стороны. Сформулированазадача ускоренного развития математических методов и компьютерных программдля совместного моделирования физических процессов, разворачивающихся всущественно различных пространственных или временных масштабах. В качествепримера приводится задача моделирования процессов в горячей плазме при еемагнитном удержании, которая включает в себя процессы в диапазоне отэлектронногообмена,микротурбулентности,доклассическоймагнито-гидродинамики и транспортных процессов, характерные постоянные временикоторых различаются на 14 порядков.В отчете и последующих статьях тех же авторов [2] приводится переченьосновныхзадачразномасштабнойсреднесрочной перспективе:математики,требующихрешенияв321.
Сочетание моделей разных масштабов и разной физической природы, в томчисле:• Выбор формы и степени связи (strength of coupling) разных задач;• Представление информации, перетекающей из одной модели в другую,например, стохастическая в детерминистскую, дискретную в непрерывную,из одного масштабного диапазона в другой.• Решения проблемы несоответствия двух моделей2. Техника уменьшения размерности разномасштабных моделей, в том числе:• Определение необходимого числа степеней свободы;• Выяснение необходимых и достаточных условий замыкания (согласования)(properties of closure);• Использование подходящих аппроксимаций при переносе решения однойзадачи в другую/3. Оценка вычислительной погрешности и контроль ее распространения, в томчисле:• Количественная оценка степени близости между моделью и реальностью;• Измерение погрешности дискретизации, интегрирования и других базовыхалгоритмов;• Выяснение степени распространения погрешности и неопределенности припереходе через границы физических явлений и пространственно-временныхдиапазонов.• Выявление индикаторов для адаптивного выбора степени детализации идискретизации4.
Анализ устойчивости сложных моделей, который включает в себя выявлениеустойчивости вычислительных схем к редким и стохастическим выбросам.В качестве вычислительный сложностей, характеризующих численноерешение моделей всех трех видов указывается: недостаточная определенностьматрицы, высокая жесткость, нестабильность вычислительного процесса поотношению к накоплению ошибок округления, геометрическая сложность, наличие33точек сингулярности, динамически меняющаяся структура и дальнодействующиесвязи.1.4 Методы решения мультифизических задачОсобое внимание в отчете [1]] уделено развитию системы математическихметодов для мультифизических задач.
Подчеркнуто, что эволюция математическихметодов, применяемых для разных физических процессов на начальном этапе несетсильные черты, обусловленные происхождением метода, например, из механикисплошных сред, термодинамики или квантовой электроники. Семейство известныхчисленных процедур пока не образует единого математического аппарата,достаточно абстрагированного от своей прикладной первоосновы. Задача состоитв том, чтобы со временем построить единый аппарат численных методов дляпроцессов разной физической природы и масштаба, чтобы обеспечить болеегладкийипредсказуемыйпереносданныхмеждууровнямиединоймультифизической модели.Развитие аппарата численной математики в сторону мультифизическихмногомасштабных моделей должно привести к соответствующему развитиюпрограммного обеспечения.
Рассматриваются следующие виды мультифизическихпрограмм:1. Единая модель, однородный масштаб (Single Model, Uniformly Multiscale).Рассматривается единая модель (система уравнений) на единой дискретнойсетке для всех уровней масштабов.2. Единая модель, неоднородная по масштабу (Single Model, Non-UniformlyMultiscale). Для зон модели (пространственных или временных) сильноразличныхпомасштабуиспользуютсяотдельныемоделисразнойдискретизацией, но с одними и теми же уравнениями. Как правило, границымежду регионами с разной дискретизацией неизвестны заранее и определяютсядинамически.343.
Несколько моделей, неоднородных по масштабу (Multiple Models, NonUniformly Multiscale). Используются несколько моделей, отличающиеся нетолько дискретизацией, но и решаемыми уравнениями. Передачи данных междуотдельными моделями осуществляется через границы доменов или методомколлокации.Отчет [1] и ряд более специальных публикаций [3], [4] по темемультифизических задач, приводят классификацию численных методов длярешения мультифизических и разномасштабных задач:• Сочетание разных разрешений (multiresolution methods) внутри одной моделипутем настройки дискретизации как функции от координат, времени иданных.Примеры: multigrid, algebraic multigrid, multiresolution analysis and multiscalegeometric analysis.• Гибридные методы, то есть сочетание различных физических уравнений ичисленных методов в одной модели для преодоления серьезной разницымасштабов.• Методы замыкания (closure methods), рассматривают модель масштаба,представляющего основной интерес, и одну или несколько вспомогательныхмоделей процессов существенно более мелкого масштаба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
