Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 117
Текст из файла (страница 117)
т-ос Дельта-функция возникает также и (3) нулю, то в результате такого предель- (За) при следующем предельном переходе: 1пп з!пЛ!/(оь/) =б(/). Х.о ~ (4) Свертка дельта-функции с любой ограниченной и непрерывной в точке Го функцией /(1) обладает следующим свойством: ь ! /(/о), а < 'о < Ь, / (1) б (/ — /о) 8/ = ~ / (/о) /2. Го = а или /о = Ь. (5) Если функция /(1) в точке 1=/о имеет разрыв (первого рода), то ь ) 1(/) б(/ — /о)г// = [/(!оо)+/(/о-) [/2, а( Го( Ь, а где /(/ео) и /(/, ) — значения /(1) справа и слева от точки разрыва. Свойство, выраженное формулой (5), может быть названо фильтрующнм. В самом деле, дельта-функция действует как фильтр; умножая произвольную 638 (5а) Строго говоря, дельта-функция получается как предельная функция одно- параметрического семейства непрерывных функций. Примеров таких семейств очень много.
Одним из них, как отмечалось в гл. 2, является семейство нормальных функций распределения при постоянном среднем значении а и при переменном среднеквадратическом а — о-О. Другим служит семейство функций ф(/, Л) =Л/[п(ЛЧз+1)), нз которого прн Л вЂ” ~со получаем дельта-функцию 5(1). Рассмотрим совокупность з(1, т) прямоугольных импульсов единичной площади, длительность которых т, а высота 1/т: функцию /(!) на 6(! — !а) и интегрируя по !, мы выделяем одно значение этой функции /(!е), т. е. значение, которое соответствует нулю аргумента б-функции (!=гз).
Доказательство формулы (5) получается, если под знак интеграла вместо 6(! — !з) подставить любую аппроксимирующую ее функцию и затем перейти к пределу. Отметим, что дльта-функция 6(х — ха) имеет размерность 1/х. Найдем преобразование Фурье дельта-функции. Используя фильтрующее свойство, получаем б (! — !ю) е яр ( — !ы 1) г/!= ехр ( — !и/а) . (б) Если !е=0, то из ~(б) следует, что спектр 6(!) равномерный на всех частотах, с интенсивностью, равной единице. В соответствии с (б) спектр полу- суммы двух дельта-функций (б(!+!о)+6(!-то))/2 [ехр(ка!о) ' ехр( — !го!ч))/2=сов ага.
(ба) Совершая теперь обратное преобразование Фурье, находим ! 1 — ехр (!оз/) йо = — 1 созы Ы ю= б (!), 2п о (7) ! ΠΠ— екр(но!) созе!/аНю= — ) сова!созе!аг/ю= 2 о 1 = — (б (!+ !,) + б (! — !з)1. 2 (7а) ДЛ / /2 6!"! (!) = )нп ~ — ехр — — ) а-+о ( о (ггйя,/ги ~ 2 ох (б) Как и сама дельта-функция, ее производные равны нулю при !ФО.
Поведение производных при !=0 сложное. Например, первая производная дельта- функции ! г !з б' (/) = — — 1нп о — зехр ( — — ~! )гйп о-ьо (, 2 ох / равна +со при подходе к началу координат слева (1=0 ) и — с~ при подходе справа (!=Ое). В окрестности !=0 поведение б'(!) сравнимо с поведением функциями 1/Д Фильтрующее свойство дельта-функции распространяется также и на ее производные. Свертка производной л-го порядка дельта-функции с любой функцией, имеющей непрерывную производную и-го порядка в точке !, В силу симметрии интеграла Фурье переменные ! и ю в формулах (6) н (7) могут ~меняться местами. Производные от дельта-функции определяются как пределы соответствующих производных от аппроксимирующих функций.
Например, если воспользоваться для такой аппроксимации нормальными функциями распределения прн о- О, то для и-й производной от дельта-функции получаем следующее определение:. ) )(!)6)л)(! — !о)Ж=( — 1) "1л(!о). (9) Если производная !)л)(!) терпит разрыв (первого рода), в точке )„то оо л 1 1(!) 6!л) (! — !.) 6! == — ( — 1)" ((!") (1,+)+ )Ч") (1,-)) 2 — Оо (9а) 6! "' (! — Со) ехр ( — )в!) М = ,!л = — ехр( — !в!)(! ) = ( — !в)л ехр ( — 1в!о) )((л (1О) Если !о=0, то из (!О) следует, что спектр 6)л)(!) равен ( — )в)".
Так как для корреляционной функции белого шума с единичной ннтенсявностью В(1, у) =6() — у), то нз (4.58) следует, что все собственные числа оди. наказы Хо=1 и в соответствии с (4.57) 6 (! — у) = ~, '9)ь(Е) ~ра(х), о=! где (9)о(!)) — любая счстема ортонормарованных функций.
Заметил, что не только дельта-функция обладает фильтрующнм свойством. Подобное с: йсгво присуще, например, функции (сйпх))х. Если )(х) непрсрывно в точке х=а, то Ул ( з)п пЬ(х — а)1 )! (а) , )х)— Ых = ,!л ~ пЬ(х — а) ~ Ь (12) причем ал Г юппЬ(х — а) 1 ) (!в)"/Ь (в((пЬ, ехр( — )вх) с(хлл ! (12а) — !хл ( пЬ(х — а) 0 )о)) > и Ь. 640 Найдем спектр (преобразование Фурье) пронзводной дельта-функции. Используя (9), получаем НРИЛОГКЕНИЕ 2. УРЕОГРАЗОБАЫИЕ ГИЛЬБЕРТА И АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ Пусть з(!) — действительная функция, принадлежащая к классу Ег( — сс, сю), т.
е. ) )з(!))тс!!(сю. Тогда при р~! можно определить функцию о(1), сопряженную з(.'), при помощи следующего интегрального преобразования Гильберта а (!) = — — ) сст, 1 5(т) и т — ! причем з(!) =— 1 о(т) (2) О (при (=т берутся главные (в смысле Коши) значения интегралов). Если Р,(в) — спектр (преобразование Фурье) функции з(1), то спектр сопряженной функции Р (со) = )г о (!) ехр ( — )со!) с(! = — — )г з (т) )г с(!с(т. 1 " ехр ( — !в!) — 0 Заменой ! на т — и переменные внтегрирования разделяются. Тогда Р (со) = Р, (в) — )г с!п = — Рз(а) — )г с(п. 1 ехр (1ви) 21 з!п ви и и о Так как зсп всс и сси = — зйп в, о " 2 где зпп со означает знак переменной в, то Ео (в) = — !с,(в) зйп а.
(3) Из (3) следует, что )Р (а) ! ~=!Р,(еэ)), а агпг (в) =агдР,(в)~п(2. На. пример, при з(1) =аз соз(вз1+ср) сопряженная функция и(!) =со Нп(ото!+ср). зададим на действительной асн ! комплексную функцию Я(!) =з(т)+!о(!). Для того чтобы зта функция была пределом аналитической функции Я(т+!и) при и — 1-0, необходимо и достаточно выполнения любого из следующих двух условии; функции з(!) и а(!) — сопряженные; преобразование Фурье Р,(в) от Я(!) тождественно равно нулю при в(0.
Выполнение одного условия влечет за собой выполнение другого. Комплексную функцию 2(!) действительного переменного й удовлетворяющую одному из указанных условий, называют аналитическим сигналом, соответстнующим з(!). Обозначим через а(!) и Ф(!) модуль и аргумент аналитического сигнала: 2(!) =а(!) ехр(сф(!) ), (4) 641 Тогда з(Г) =Кем(Г) =а(Г)созф(Г), о(Г) =1щ Е(Г) =а(г) з1п Ф(Г), (5) (6) откуда а(г) = (у(г)+оз(г)) ыз, Ф(Г)-агсгп(о(Г)/з(Г)). (у) (8) Функции а(Г) и Ф(Г) называют огибающей и фазой з(Г).
Так как заданной функции з(Г) соответствует однозначно аналитический сигнал 2(Г) и, следовательно, огибающая а(Г) =(Е(г)( и фаза Ф(г) =агцЯ(Г), то представление функции з(Г) в виде (5) с учетом (6) —,(8) однозначно. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1, Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники, Кн. 1-я.— Мл Сов. радио, !974.— 552 с. 2. Келли Т. Л. Статистические таблицы. — Мл ВЦ АН СССР, 1966, 194 с. 3. Гантмахер Ф. Р.
Теории матриц. — Мл Наука, 1968. — 576 с, 4. Таблицы распределения Ралея — Райса. — М.: ВЦ АН СССР, 1964.— 246 с. 5. Левин Б. Р. Теория случайных процессов н ее применение в радиотехнике. — Мл Сов, радио, 1957.— 496 с. 6. Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с англ./Под ред. А.
Н. Колмогорова. — Мл Мир, !976. — 632 с. 7. Каган А. М., Линмик Ю. В., Рао С. Р. Характеризациоиные задачи математической статистики. — М.: Наука, 1972. — 656 с. 8. Лаев М. Теория вероятностей: Пер. с англ./Под ред. Ю. В. Прохорова.— Мс ИЛ, 1962. — 720 с. 9. Возенкрафт Дж., Джекобс И. Теоретические основы техники связи: Пер. с англ./Под ред. Р. Л. Добрушина. — Мл Мир, 1969.
— 640 с. 10. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — Мл Наука, 1974. — ! !9 с. 11. Винер Н., Пали Р. Преобразование Фурье в номплексной области: Пер. с англ./Под ред. Ф. В. Широкова. — Мл Наука, 1964. — 267 с. 12. Хннчнн А. Я. Теория корреляции стационарных случайных фуикцнйДУспсхи математических наук. — 1938. — Вью. 5. — С. 42 — 51. 13. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые н стационарно связанные случайные величины. — Мл Наука, 1955. — 524 с. 14. Бнллингсли П. Сходимость вероятностных мер: Пер. с англ./Пад ред. А. В. Прохорова. — Мл Наука, 9977. — 35! с.
15, Боровков А, А. Теория вероятностей. — Мл Наука, 1976. — 352 с. 16. Левин Б. Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи н управления. — Мз Радио и связь, 1985. — 312 с. 17. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции. — Мл Физматгнз, 1961. — Вып. 4. — 472 с. 18. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн.3-я.— Мл Сов.
радио, 1976. — 288 с. 19. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2: Пер. с англ./Под ред. Ю. В. Прохорова. — Мл Мир. 1984. — 752 с. 20. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ./ Под ред. Ю. Н. Бака/гва и М. В. Капранова. — Мн Сов. радио, 1978.— 600 с. 21, Тихонов В, И., Миронов М. А. Марковские процессы. — Мн Сов. радио, !977. — 488 с. 22. Гнхман И, И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.— Мс Наука, 1965.
— 656 с. 23. Кори Г., Корм Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ./Под ред. И. Г. Арамоноаича. — Мл Наука, 1977.— 832 с. 24. Пупков К. А., Каналии В. И., Ющенко А. С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. — М.: Наука, 1976.— 448 с. 25. Рабинер Л., Гоулд Б.
Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ./Под ред. Ю. Н. Александрова. — Мл Мир, 1978. 848 с. 26. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем; Пер. с англ./Под ред. В Н. Бусленко. — Мл Мир, 1974. — 644 с. 27, Гоулд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ./Под ред.
А. М. Трахтмана. — Мл Сов. радио, 1973. — 368 с. 28. Хеннан Э. Многомерные временные ряды: Пер. с англ./Под ред. Ю. А. Розанова. — Мл Мир, 1974. — 576 с. 643 29. Гатти!а И. Г., Тза1 А. У. Т!зеоге1!са! апб Ехрепшеп1а1 Рези!1з !ог йе Р/з1- пбй/оп о! а Сег1а!п Ноп1!пеаг Гопс1юпа!Л!ЕЕЕ Тгапз., 1969. — Уо1. 1Т.15, № 5. — Р. 532 — 535. 30.
Раро1Ь А. 14агготч-Вапб 5уз1еш апб Оапзз!ап!!у. — 1ЕЕЕ Тгапз, 1972.— Уо1. 1Т-18, № 1. — Р. 20 — 26. 31. Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и нх преобразований, — Мл Сов. радио, 1978. — 376 с. 32. Ваши Я. Г, Т!зе Согге1а1юп Гппс11оп о1 Но!зс Разлей Т!тгопй Нопйпеаг Речюез. — 1ЕЕЕ Тгапз., 1969. — Уо!. 1Т-15, № 4. — Р. 448 — 456. ЗЗ. Фомин Я, А. Теория выбросов случайных процессов. — Мл Связь, 1980.— 216 с. 34. Слепян Д. Флукгуацнв мощности случайного сигнала//Определение параметров случайных процессов: Пер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
