Автореферат (1137454), страница 3
Текст из файла (страница 3)
параметра ширины диапазонаm(T )12k0123456wkQ̂(k )0.9140.6870.3980.138-0.029-0.0861.00-0.950.90-0.850.80-0.750.70mПри этих значениях Sˆ = Qˆ (0 ) +∑ wkm (Qˆ (k ) + Qˆ ′(k )) ≈ −0.12 .k =1Возникает вопрос о построении таких весов wkm , которые бы обладалиодновременно тремя свойствами:1. гарантировали положительную полуопределённость оценки,2. содержали намного меньше ненулевых элементов, чем длина выборки,3. сходились к квадратическим спектральным весам при росте выборки.Доказано, что такое возможно.Второй теоретический результат диссертации говорит, что такие весаwkm = v km можно построить по формуле⎛ m⎞⎛ m⎞v km = ⎜ ∑ ξ j ξ j − k ⎟⎜ ∑ ξ j 2 ⎟⎜⎟⎜⎟⎝ j =k⎠⎝ j = 0⎠(1.16)−1, k = 1..m ,где числа ξ j определены какξj =(1.18)B ( m)m +1m ⎞⎞⎛ B ( m) ⎛⎜ j − ⎟ ⎟⎟ ,2 ⎠⎠⎝ m +1⎝ϕ ⎜⎜B (m) это какая-нибудь функция, монотонно возрастающая и принимающаяположительные значения, такая чтоlim B 2 ( m) / m = 0 ,lim B ( m) = ∞ ,(1.17)m→∞m→∞а ϕ ( x ) определяется через функцию Бесселя первого порядка какϕ ( x ) = 3π / 8 ⋅ J1 ( x ) / x .То,чтотакиевесасоднойстороныгарантируютположительнуюполуопределённость оценки, очевидно из теоремы 1.
Также в главе 1 доказана теоремао том, что они сходятся к квадратическим спектральным весам, описанным выше.13Теорема 3. Предположим, что1) функция B удовлетворяет приведенным выше условиям, в частности,условиям (1.17);2) веса q km рассчитаны по формулам (1.16), (1.18);3) веса wk рассчитаны по формулам (1.14) при A(m) = (m + 1) / B (m) , то естьwk = wkm = p(k / A(m) ) .Тогда max | q km − wkm |→ 01≤ k ≤ mприm → ∞.Визуально качество аппроксимации можно оценить по Рис. 2.Рис. 2. Пример качества аппроксимации весовwkmвесамиv kmКак оказалось во второй главе работы, при численном исследовании, такойукороченый набор весов приводит к более высокой точности оценок в случае короткихвыборок, а в случае же длинных выборок оценки оказываются настолько же точны, каки непосредственно с использованием квадратического спектрального ядра.Во второй главе работы проведено сравнение точности оценок ковариационнойматрицы.
Сравнение сделано по двум критериям, описание которых дается в разделах 4и 5. Одним из этих критериев является точность оценок коинтеграционного вектора(критерий взят из работы [Phillips, Ouliaris, 1988] 13 ), другим – точность оценоккоэффициентов регрессии для I(1) временных рядов (из работы [Phillips, Moon, 1999]).Были выбраны эти критерии, т.к. во многих прикладных задачах важна точность этихвекторов, а не самих элементов матрицы. Под словом «точность» мы понимаемвыборочное среднеквадратичное отклонение от значения оцениваемой величины, какэто сделано в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр.
239].13Phillips, P.C.B., Ouliaris, S. Testing for Cointegration Using Principal Components Method// Journal of Economic Dynamics and Control. 1988. Vol. 12. PР. 205-230.14В работе получена процедура выбора параметра ширины диапазона m на основеданных различной частотности. В литературе такие процедуры носят название“automatic bandwidth selection” или “automatic lag selection”, (см., например [Newey,West, 1994] 14 или [Christou, Pittis, 2002] 15 ).
Новизна же полученной процедурызаключается в том, что она рассчитана на данные различной частотности.Для сравнения точности в случае временных рядов одинаковой частотностибыло проведено сравнение с оценкой ковариационной матрицы из другого класса –упрощённой версией т.н. оценки VARHAC, подробно исследованной в [Den Haan,Levin, 2000] 16 . Она основана на многомерном расширении рекурсии ЛевинсонаДурбина, при помощи которого по ковариационной функции Q(k ) , k = 0..m строятсякоэффициенты VAR (m) процесса (n × n ) -матрицы Π (k ) , k = 1..m и ковариационнаяматрица инноваций Ω этого VAR ( m) процесса, такие, что ковариационная функцияэтого процесса совпадает с R (k ) для всех k = 0..m .
Обозначим за Π̂ m (k ) , k = 1..m иΩ̂ m такие (n × n ) -матрицы, которые получены этим способом из выборочных оценокковариационной функции R̂ (k ) , k = 0..m . Упрощённая оценка VARHAC имеет вид:⎞⎛ˆ m (k )⎟Σˆ var = ⎜ I − ∑ Π⎟⎜k =1⎠⎝m−1−1 ⎞ ′⎛⎛m⎞ˆ ⎜⎜ I − ∑ Πˆ m (k )⎟ ⎟ .Ωm ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜⎝k =1⎠ ⎠⎝(2.1)В случае одинаковой частотности произведено сравнение точности с оценками:ˆ (0 ) +Σˆ b = Ψˆ (0 ) +Σˆ q = Ψ14m∑ (Ψˆ (k ) + Ψˆ ′(k )),(2.2)∑ wkm (Ψˆ (k ) + Ψˆ ′(k )),(2.3)ˆ (0 ) +Σˆ r = Ψk =1mk =1m∑ q km (Ψˆ (k ) + Ψˆ ′(k )) ,(2.4)k =1Newey, W.K., West, K.D.
Automatic Lag Selection in Covariance Matrix Estimation // TheReview of Economic Studies. 1994. Vol. 61. No. 4. PР. 631-653.15Christou, C., Pittis, N. Kernel and Bandwidth Selection, Prewhitening and the Performanceof the Fully Modified Least Squares Estimation Method // Econometric Theory. 2002. Vol.18. PР. 948-961.16Den Haan, W.J., Levin, A.
Robust Covariance Matrix Estimation with Data-DependentVAR Prewhitening Order // Technical working paper 255, National Bureau of EconomicResearch, 2000 (оценка упоминается и в более ранних работах, первоисточник найти неудалось).15где веса wkm это так называемые «треугольные» веса, а веса q km это укороченноеприближение квадратических спектральных весов, описанное в главе 1.Численное сравнение оценок проведено на симулированных реализациях шестисемейств случайных временных рядов, предложенных в [Andrews, 1991]17.
Первые трисемейства основаны на процессах векторной авторегрессии с различными видамиусловно гетероскедастичных инноваций. Последние три из этих семейств былипроцессами векторного скользящего среднего с такими же видами инноваций.17Andrews, D. W. K. Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance MatrixEstimation // Econometrica. 1991. Vol. 59. PР.
817-858.16Таблица 1. Значения логарифма среднеквадратичного отклонения оценки коэффициентов регрессии для I(1) временных рядов (см. [Phillips, Moon, 1998]),получаемой из оценки матрицы для оценок (2.1), (2.2), (2.3) и (2.4) (обозначенных соответственно как var, nwr, nwb и qs). Чем ниже было значениесреднеквадратичного отклонения, тем более «точной» мы считали оценку.
Длина выборки во всех случаях в данной таблице составляла T = 2000 . Случай(е) подразумевает только одинаковую частотность, а случай (ж) только временные ряды различной частотности (оценка VARHAC быламодифицирована на этот случай путём линейной интерполяции временного ряда в точках с пропущенными данными).В таблице указано среднее арифметическое значений величин logMSE для оценок βˆ1 и βˆ 4 , усреднённое на реализациях набора случайных процессов.коэф.AR(1)MA(1)varnwbnwrqsvarnwbnwrqsvarnwbnwrqsvarnwbnwrqsvarnwbnwrqsvarnwbnwrqsvarnwbnwrqs-0.95-0.5-0.53.2-0.5-0.7-0.73.1-1.0-0.3-0.43.40.0-0.3-0.23.90.2-0.7-0.92.6-1.2-0.5-0.63.1-0.5-0.4-0.53.3-0.6-0.9-0.7-0.82.3-1.0-0.9-1.01.8-1.4-0.5-0.52.9-0.6-0.5-0.42.8-0.3-0.9-1.11.9-1.6-0.8-0.82.2-0.9-0.6-0.72.5-1.0-0.7-1.3-1.41.3-1.9-1.4-1.6-0.9-2.1-1.2-1.23.4-1.6-1.2-1.12.0-1.1-1.4-1.70.5-2.6-1.5-1.61.3-1.9-1.1-1.31.2-1.8-0.5-1.7-1.8-0.8-2.2-1.8-1.9-1.3-2.3-1.6-1.6-0.2-2.1-1.5-1.4-0.3-1.4-2.0-2.1-1.3-3.1-2.1-2.0-0.7-2.3-1.4-1.5-0.8-2.2-0.3-2.1-2.0-1.2-2.5-2.1-2.1-1.4-2.5-2.1-2.0-1.0-2.4-1.7-1.6-0.5-1.5-2.5-2.5-1.9-3.4-2.5-2.3-1.2-2.5-1.7-1.8-1.2-2.40.3-2.9-2.4-1.9-2.7-3.0-2.4-1.9-2.7-2.8-2.4-1.8-2.7-2.1-1.7-1.1-1.7-3.7-3.1-2.6-3.7-3.1-2.7-1.9-2.7-2.7-2.1-1.8-2.70.5-3.0-2.4-1.8-2.7-3.1-2.5-2.0-2.7-2.9-2.4-1.7-2.7-2.0-1.7-1.1-1.6-3.9-3.2-2.6-3.8-3.0-2.7-1.9-2.7-2.9-2.2-1.8-2.70.7-2.9-2.4-1.9-2.6-3.0-2.5-2.0-2.6-2.9-2.4-1.8-2.7-1.8-1.5-1.0-1.5-4.0-3.3-2.9-3.8-3.0-2.6-1.9-2.6-2.8-2.2-1.9-2.70.9-2.7-2.3-1.8-2.4-2.4-2.3-1.8-2.3-2.9-2.3-1.7-2.6-1.5-1.2-0.7-1.2-3.9-3.4-2.8-3.7-2.7-2.4-1.8-2.4-2.7-2.2-1.8-2.50.95-2.4-2.1-1.7-2.3-1.9-1.9-1.6-2.0-2.9-2.3-1.8-2.6-1.2-1.0-0.5-1.0-3.7-3.2-2.8-3.6-2.4-2.2-1.7-2.3-2.4-2.0-1.7-2.3(а) все случаи(источник: расчёты авторов)(б) только AR(1)-(в) только MA(1)-(г) только σ=1.00(д) только σ=0.05(е) только β1(ж) только β4Подобные таблицы были также построены и для оценки коэффициентовкоинтеграционного соотношения.
Также описанная выше процедура была повторенадля коротких временных рядов ( T = 250 ). Выводом из этой и других таблиц являетсято, что оценки (2.4) и (2.1) лидируют по точности, причём, чем более отрицательныавтокорреляции или, чем больше различие в частотностях между компонентамивекторного временного ряда, тем превосходит оценку (2.1) оценка (2.4), полученная вданной работе.Также в главе 2 производится численное сравнение различных процедуравтоматического выбора параметра ширины диапазона.
Показано, что процедуравыбора этого параметра, обобщённая на случай различных частотностей, оказываетсянаилучшей в рассматриваемом классе.В третьей главе диссертации идёт речь об оценке коэффициента «бета» дляакций «второго эшелона» РТС. При составлении портфелей ценных бумаг необходимоучитывать их ожидаемые доходности и риски. Одним из способов уменьшения рисковпортфеля ценных бумаг является диверсификация – создание портфеля из большогоколичества различных ценных бумаг так, чтобы каждая составляла малую долюстоимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
