Автореферат (1137454), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

После этого в разделах 1.4-1.5 предлагается новаяоценка ковариационной матрицы, в некотором смысле улучшающая наиболее точнуюиз описанных в литературе оценок из этого же класса.Вопрос о выборе наилучшей оценки из данного класса (как и об определениинаилучшего класса оценок) далек от своего окончательного решения. Но во многихслучаях при использовании оценок из рассматриваемого в данной работе классапреимущество отдается оценке с весами, соответствующими квадратическомуспектральному окну, которая иногда более коротко называется оценкой с QS (QuadraticSpectral) весами. Данная оценка строится как приближенно удовлетворяющаянекоторому условию оптимальности и во многих практических ситуациях обладаетхорошей точностью.Оценка асимптотической ковариационной матрицы, предлагаемая в разделах1.1-1.3, определена для временных рядов различной частотности, однако в случаеданных одинаковой частотности она вырождается в хорошо известную оценку Ньюи иВеста.

Предлагаемая оценка обладает всеми свойства оценки Ньюи и Веста:положительной полуопределённостью и состоятельностью при тех же условиях наслучайный процесс, сопоставляемый данным. Поэтому мы будем называть эту оценкуобобщением оценки Ньюи и Веста.Оценка,предлагаемаявразделах1.4-1.5,во-первых,асимптотическиприближается к оценке с QS весами при росте размера выборки, во-вторых, включает всебя значительно меньше слагаемых, чем оценка с QS весами и, в-третьих, как и оценкас QS весами, является положительно полуопределённой для любого наборанаблюдений (даже для очень коротких временных рядов). В численном исследовании7такая оценка оказалась эффективнее, чем оценка с QS весами, в случае короткихвременных рядов.5Одна из первых работ, где рассматривается и оценивается асимптотическаяковариационная матрица многомерного случайного процесса с дискретным временем –[Levine, 1983]6.

Но из-за имеющейся связи асимптотической ковариационной матрицыиспектральнойплотностислучайногопроцессадляпостроенияоценокасимптотической ковариационной матрицы могут быть использованы и существующиеоценки спектральной плотности. Таким оценкам за последние шестьдесят лет былоуделено значительное внимание в работах Бартлетта, Парзена, Пристли и др.Отметим, что кроме термина asymptotic covariance matrix (см., например, [Ledoit,Wolf, 2003]7) для обозначения асимптотической ковариационной матрицы используетсятермин long-run average covariance matrix (см., например, [Phillips, Moon, 1999] 8 ).Различные оценки асимптотической ковариационной матрицы рассмотрены в работахЭндрюса и Монахана, Ден Хаана и Левина, Ньюи и Веста, Филлипса и др.Рассмотрим последовательность случайных векторов X 1 , X 2 ,..., X T ,...

. Для неё(′)определим ковариационные матрицы Ω t = E ( X t − EX t )( X t − EX t ) . В общем случаеэти матрицы могут быть различными для различных моментов времени, поэтому вомногих прикладных задачах оказывается более интересной оценка некоторого среднегозначения этих матриц. Асимптотическая ковариационная матрица, о которой пойдётречь в данной работе, в некотором смысле является таким средним значением9.Для этой последовательности можно определить спектральную плотность как′⎞⎛⎛ TT⎞⎛⎞⎜⎜⎟1g (λ ) = limE ⎜ ∑ ( X t − E ( X t )) e − itλ ⎟⎜ ∑ ( X t − E ( X t )) e itλ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎜T → ∞ 2πT ⎜ ⎜⎝ t =1⎠ ⎠⎠⎝ t =1⎝при тех λ ∈ R , для которых указанный предел существует и конечен (штрих означаеттранспонирование).Еслиопределенозначениеg ( 0) ,тоасимптотическаяковариационная матрица определяется как5В случае же длинных временных рядов обе оценки дают схожие результаты, т.к.различия весов этих оценок в некотором смысле сходятся нулю при росте размеравыборки.6Levine, D.K.

A Remark on Serial Correlation in Maximum Likelihood // Journal ofEconometrics. 1983. Vol. 23. PР. 337–342.7Ledoit, O., Wolf, M. Improved Estimation of the Covariance Matrix of Stock Returns //Journal of Empirical Finance. 2003. Vol.10 (December). PР. 603-621.8Phillips, P.C.B., Moon, H.R. Linear Regression Limit Theory for Nonstationary Panel Data// Econometrica. 1999. Vol.

67. PР. 1057-1111.9в некотором смысле «поправленным» на значения ковариаций между случайнымивекторами X t при различных t8Σ = 2π ⋅ g (0)(см. [Phillips, Moon, 1999]).Можно пользоваться и другим определением. Рассмотрим частичные суммыпоследовательности X t : Z T =T∑ X t , T = 1,2... и определим матрицуt =1(⎛1Σ = lim ⎜ E (Z T − EZ T )(Z T − EZ T )′T → ∞⎝ T)⎞⎟⎠ ,если указанный предел существует.Когда случайный процесс X 1 , X 2 ,..., X T ,... является стационарным в широкомсмысле, асимптотическая ковариационная матрица этого случайного процесса тесносвязана с его ковариационной функцией.

Напомним, что ковариационной функциейназывается матричнозначная функция R (k ) целого аргумента k , действующая поправилу)(R (k ) = E ( X s + k − E ( X s + k ))( X s − E ( X s ))′ ,(предположение о существовании такой функции включается в определениестационарного в широком смысле случайного процесса).∞Если ряд∑ R(k ) сходится, тоk =1Σ = R (0 ) +∞∑ (R(k ) + R ′(k )) .k =1Продолжая ряд исследований, Ньюи и Вест [Newey, West, 1987] строят оценкуматрицы Σ для рядов одинаковой частотности следующим образом:SˆT = Qˆ 0 +m1 Tˆˆˆ′wQQ,гдеQ+=∑ km k k∑ X t X t′ − k .kTk =1t = k +1()В первой главе даётся более общая формулировка, такая, что в выборочных{ }Tавтоковариациях присутствуют не элементы выборки X t t =0 , а некоторые функцииих и некоторого случайного параметра.При некоторых условиях, в частности, на веса wkm (точные формулировкиприведенывразделе1.4),Ŝ Tматрицапринимаетполуопределённые значения иPSˆT − ST ⎯⎯→ 0 при T → ∞ .9толькоположительноОтметим, что если последовательность случайных векторов X t такова, чтоковариационные матрицы ST векторов ΡT =1Z T имеют предел 10TS = lim ST –T →∞некоторую (q × q ) действительную матрицу11, то только в этом случае можно говоритьо состоятельности оценки при T → ∞ в обычном смысле.

Если этот предел несуществует, то под состоятельностью оценки, следуя, например, работе [Newey, West,P1987], мы понимаем условие SˆT − ST ⎯⎯→ 0 при T → ∞ .Оказывается, можно сконструировать оценку для матрицы Σ на основевременного ряда частичных сумм Z T =T∑ Xt, даже если некоторые его значенияt =1«пропущены» (недоступны).Предлагаемая в работе оценка имеет следующий вид:ˆ +Σˆ T = Ψ0m1 Tˆˆˆ′wΨ+Ψ,Ψ=∑ km k k k T ∑ (diag (α t )Yt )(diag (α t − k )Yt − k )′ ,k =1t = k +1()гдеα t – вектор из нулей и единиц, его i-я компонента равна нулю тогда, когда(i ) пропущена,компонента наблюдения X tdiag (α t ) – диагональная матрица с элементами этого вектора на диагонали,i)Yt(i ) = Z t(i ) − Z (prev(i, t ) ,τ = prev(i, t ) – наибольший из моментов времени τ < t , когда Zτ(i ) «доступна».Полученрезультатотом,чтооценкаΣ̂ Tявляетсяположительнополуопределенной для любого m , при условии (Условие 1), что веса wkm для этого mмогут быть представлены в виде:⎛ m⎞2⎟⎜wkm = ∑ ξ j⎜⎟⎠⎝ j =010⎛ m⎞⎜ ξ ξ⎟,⎜ ∑ j j −k ⎟⎝ j =k⎠l⎛⎞2⎜ k ∈ (0..l ), ξ ∈ R, ∀j ∈ (0..m),∑ ξ j > 0 ⎟⎟j⎜j =0⎝⎠Речь, для определённости, идёт о пределе (q × q ) матриц, в метрикеd (M , L ) =q∑ M iji , j =111−1− LijМатрица S является в этом случае симметричной и положительнополуопределённой.10Теорема 1.

При выполнении Условия 1 на веса wkm матрица Σ̂T являетсяположительно полуопределённой.Далее доказано, что данная оценка является состоятельной оценкой матрицы Σ(или матриц Σ T в вышеуказанном смысле), если (будем называть это Условием 2)1. веса wkl для любых m ∈ N , k = 1..m удовлетворяют ограничению wkm ≤ Cдля некоторого конечного C , а также ∀k : lim wkm = 1 ,m→∞2. m = m(T ) такова, что lim m(T ) = +∞ и lim m(T )T −1 / 4 = 0 .T →∞T →∞Теорема 2.

Предположим, что выполнены следующие условия:(i) При любом ( j , t ) ∈ M ρρ t( j ) (ω , θ ) = Φ ( j ) ( X t (ω , θ ), X t −1 (ω , θ ),... X t −τ (ω , θ ))как сложная функция Ω × Θ → R q измерима на Ω при любом θ ∈ Θ и свероятностью 1 непрерывно дифференцируема по θ в некоторой окрестности Bточки θ ∗ – внутренней точки множества Θ .(ii)(a) Существует измеримая функция Ξ(ω ) , такая, что для любого θ ∈ Θ ,для любого целого t и любого ω ∈ Ω верно что sup ρ t (ω , θ ) < Ξ (ω ) иθ ∈B()∂ρ t < Ξ(ω ) , причём для некоторой константы DΞ выполнено E Ξ(ω ) 2 < DΞ .θ ∈B ∂θsup(б) Существуют конечные константы D > 0 , δ > 0 и r > 1 , такие, что длялюбого натурального t и любого i = 1..q таких, что (i, t ) ∈M ρ выполняется4( r +δ ) ⎞⎛ (i )⎟⎟ < D .E ⎜⎜ ρ t (ω , θ ∗ )⎠⎝(iii) Для любого θ ∈ Θ последовательность xt (θ ) обладает свойством φ перемешивания с коэффициентами перемешивания φ (k ) размера 2r /( 2r − 1) , либообладает свойствомα -перемешивания с коэффициентами перемешивания α (k )размера 2r /( r − 1) для некоторого r > 1 .(iv) Случайная величина θˆT : Ω → Θ такова, что(распределению к некоторой случайной величине при T → ∞ .Тогда при выполнении Условия 2 на веса wkm11)T θˆT − θ ∗ сходится по( ){ ( )}TPΣˆ T ⎛⎜ ρ t θˆT 1 ⎞⎟ − Σ T θ * ⎯⎯→ 0 при T → ∞⎝⎠Кпримеру,всемусловиям,удовлетворять набор весов wkm = 1 −приведённымвыше,одновременнобудетk(в этом случае ξ j = 1 для любогоm +1j ∈ (0..m) и любого m = 0,1,2...

).Открытым в некоторой степени остаётся вопрос о выборе вектора весов wkm .Второй теоретический результат работы отностится именно к этой области.Наименьшее среднеквадратичное отклонение12 элементов оценки от истинногозначенияасимптотическойковариационнойматрицыдаёттакназываемоеквадратическое спектральное ядро:⎛k⎞⎝ A⎠(1.14) wkm = q km = p⎜ ⎟ , для некоторого A > 0 , где p( y ) =⎞3 ⎛ sin y⎜⎜− cos y ⎟⎟ .⎠y2 ⎝ yЕдинственным его недостатком является то, что m = T − 1 для положительнойполуопределённости оценки.

Иными словами в оценку войдёт огромное количествоавтоковариаций очень высокого порядка. В такую оценку входит столько жеслагаемых, сколько имеется наблюдений, что неудобно на длинных выборках иприводит к низкой точности на коротких выборках.Более того, оказывается, что простое отбрасывание слагаемых высокого порядкаприводит к потере положительной полуопределённости, как показывает следующийпример. Рассмотрим выборку ω одномерных наблюдений xt = X t (ω ) , t = 1..20 , гдеxt = 1 при нечетном t и xt = −1 при четном t . Возьмем m = 6 и A =10. Веса3π1 T −k⎛k⎞wkm = p⎜ ⎟ и значения выборочных автоковариаций Qˆ (k ) = ∑ xt xt + k приT t =1⎝ A⎠k = 1,2,...,6 приведены в следующей таблице.12при наилучшем – в некотором смысле – выборе т.н.

Характеристики

Список файлов диссертации