Диссертация (1137447), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Поскольку 12 +1+−1 +3 < 21 + 32 + 12 2 + 6 + 7 при всехвыше ≥ 2,то в рассматриваемом случае абитуриент всегда будет делать выбор3 = + 2, 3 = .Сразу же можно сделать и следующий вывод: при 2 = + 3, 2 = − 1выбор будет таким же, т.к. первая ожидаемая полезность будет ещениже, а вторая не изменится.Рассмотрим теперь случай ≤ 12 +32+12√2 + 6 + 7, при которомпосле 3 = + 2 на 4-ом шаге будет сделан выбор 4 = + 1, 4 = .166Отметим, что 2 = − 2 невозможно, т.к. на первом этапе у абитуриента нет никаких причин выбирать какой-либо ВУЗ кроме лучшего влюбой категории: соответственно, на втором этапе могут быть выбраны либо лучшие, либо вторые ВУЗы в каждой категории.Ожидаемые полезности от двух возможных решений абитуриента вэтом случае равны1−1 27243 ( + 3, − 1) = ( + 3 +) + ( + 3)2 + ( + 1)2 , (A.14)832323313 ( + 2, ) = ( + 3)2 + ( + 2)2 + ( + 1)2 .(A.15)488Разница между полезностями равна Δ = − 18 (−4)2+(2+8)−1.21.
Очевидно, что при > 4 Δ < 0.2. При i=4 Δ = − 18 16−12 , что меньше 0 при всех ≥3. При i=3 Δ = − 81 −2+14−1.2При 2 ≥ ≥ 3 +12*116 .√34 (что соот-ветствует границам рассматриваемого случая) Δ < 04. При i=2 Δ = − 81 −22+12−1.2При 2 ≥ ≥ 3 +12*√34 (чтосоответствует границам рассматриваемого случая) Δ < 0Таким образом, при всех ≥ 2 оказывается, что более выгодным является выбор 3 = + 2, 3 = . Аналогично, этот результат можнорасширить и на случай 2 = + 3, 2 = − 1.1672 ≥ + 4Сравним выбор 3 = + 2 с выбором 3 = + , ≥ 3.
Сначала√рассмотрим первый случай, когда ≥ 21 + 23 + 12 2 + 6 + 7,13−1 2923 ( + 2, ) = ( + 3) + ( + 2 +) + ( + 1)2(A.16)41616133 ( + , ) = 2− ( + + 1)2 + (1 − 2− )( ( + 3)2 + ( + 1)2(A.17)44Исследуем зависимость второй ожидаемой полезности от k. Производная функции имеет два корня, которые при > 0 ограничены следующим образом: 1 < 0,1.9427 ≤ 2 ≤ 2.697, причем 2 является точкой максимума ожидаемой полезности. Следовательно, на луче ≥ 3функция убывает и максимум на этом луче достигается при k=3. Поэтому дальнейшие сравнения (для случаев больших и малых n) будутпроводиться между решениями 3 = + 2 и 3 = + 3.Исследуя разность между ожидаемыми полезностями в этом случае получаем, что при ≥ 2 выгоднее выбрать 3 = + 2, если≥√1 3+9+ 92 +48+87.2−1Теперь вспомним про ограничение на значениеn в рассматриваемом случае. Соотнеся правые части ограничений, получим следующие выводы:∙ = 2, 5 ≤ ≤ 14 ⇒ 3 = + 3, 3 = ,∙ = 3, 6 ≤ ≤ 8,∙ при других значениях i и n ⇒ 3 = + 2, 3 = .√Теперь рассмотрим второй случай, когда < 12 + 32 + 12 2 + 6 + 7.Сравним ожидаемые полезности от двух возможных решений (дляостальных решений выше уже доказано, что они будут менее эффек-168тивны)3313 ( + 2, ) = ( + 3)2 + ( + 2)2 + ( + 1)2 ,48817213 ( + 3, ) = ( + 4)2 + ( + 3)2 + ( + 1)2 .83232(A.18)(A.19)Данные выражения не зависят от n, поэтому выражения легко сравнить.
Получим, что первая полезность выше второй при < 4 и наилучшим выбором будет 3 = + 3, 3 = ; при = 4 абитуриент безразличен между двумя вариантами, а при > 4 оптимальным решениемна данном шаге будет 3 = + 2, 3 = .Шаг 2На шаге 2 необходимо рассматривать два случая каждый раз, взависимости от решения, которое последует на шаге 4. В общем случае задача отыскания оптимального решения на данном шаге будетвыглядеть следующим образом(2−2 (2 +2)+ (1 − 2−2 )((2−3 (3 +3)+ (1 − 2−3 )(2−4 * (4 ++(1 − 2−4 ) * ( + 1)2 )),1 +1≥ 2 +2+ 1 ,1 ≥ 2 ,2 ≥ 3 ,1 ≤ 2 ≤ ,2 , 2 .1 = + 1, 1 = В этом случае нет никаких алmтернатив, кроме выбора 2 = +1, 2 = − 1.1694)1 = + 2, 1 = Два возможных решения для абитуриента - 2 = +2, 2 = −1 или2 = +1, 2 = .
Поскольку на 4-ом шаге возможны различые варианты поведения абитуриента в зависимости от величины n, рассмотримотдельно два случая.Первый случай - ≥ + 3 +√2 + 6 + 7. Ожидаемые полезности вэтом случае выглядят так:13−1 222 ( + 2, − 1) = ( + 3) + ( + 2 +) +416 − 2 2 279) + ( + 1)2+ ( + 2 +64641−1 212) +2 ( + 1, ) = ( + 1) + ( + 1 +2411−2 8+ ( + 1 +) ( + 1)2 .8(A.20)(A.21)(A.22)(A.23)При сравнении оказывается, что первая полезность больше второй привсех ≥ 1, ≥ 1. Следовательно, абитуриент всегда будет выбирать2 = + 2, 2 = − 1 в данных условиях.
Кроме того, рассмотрениевторого случая, с меньшим n, не требуется, т.к. при малых n 2 ( +2, − 1) будет заведомо выше, чем 2 ( + 1, ).1 = + 3, 1 = Возможные решения абитуриента в этой ситуации - 2 = + 3, 2 =−1 или 2 = +2, 2 = . Решение 2 = +1 заведомо хуже, как былопоказано выше, и поэтому может не рассматриваться.
Здесь придетсярассмотреть три различных случая в зависимости от величины n.170Случай 1: ≥ + 3 +√2 + 6 + 7. В этом случае ожидаемые полезно-сти от двух различных решений будут выглядеть следующим образом1−172 ( + 3, − 1) = ( + 3 +) + ( + 3)2 +832−1 26321( + 2 +) +( + 1)2 ,+12812813−1 222 ( + 2, ) = ( + 3) + ( + 2 +) +4169−227+ ( + 2 +) + ( + 1)2 .6464(A.24)(A.25)(A.26)(A.27)Вычислив и проанализировав разницу между ожидаемыми полезностями получим, что 2 ( + 3, − 1) ≥ 2 ( + 2, ) при ≤ 10 и любыхn, а также при > 10 и 3 ≤ ≤√1 23+53+ 5292 +2202+5169.4−10Теперь нуж-но учесть границы рассматриваемого случая - ограничение на n. При ≥ 16 минимальное значение n, соответствующее рассматриваемомуслучаю, таково, что 2 ( + 3, − 1) < 2 ( + 2, ) при всех таких n.При 11 ≥ ≥ 15 решение будет разным в зависимости от величины n.√√Случай 2: 12 + 32 + 12 2 + 6 + 7 ≤ ≤ + 3 + 2 + 6 + 7.
В этомслучае на 4-ом шаге будет выгодно выбирать второй по предпочтительности ВУЗ из категории +2 , однако уже невыгодно выбиратьтретий по предпочтительности ВУЗ из той же категории. Снова сравним ожидаемые полезности в случае принятия разных решений1−172 ( + 3, − 1) = ( + 3 +) + ( + 3)2 +832221−163+( + 2 +) +( + 1)2 ,12812813−1 222 ( + 2, ) = ( + 3) + ( + 2 +) +41699+ ( + 2) + ( + 1)2 .3232171(A.28)(A.29)(A.30)(A.31)Разницамеждуожидаемыми1 13+(76−4)2 −(26+110).1282полезностямиΔ=Исследуя эту разницу получаем, что при∙ > 19, > 2 ⇒ Δ < 0, поэтому выбор абитуриента всегда будет2 = + 2, 2 = ,∙ 16 ≤ ≤ 19 и для n выполняются ограничения случая 2 ⇒ Δ >0, абитуриент выбирает 2 = + 3, 2 = − 1,∙ 12 ≤ ≤ 15 и ≥762 −110+13(13+2)⇒ Δ < 0, то есть абитуриентделает разный выбор в зависимости от соотношения i и n,∙ ≤ 11 и для n выполняются ограничения случая 2 ⇒ Δ > 02 = + 2, 2 = .Случай 3: ≤ 21 +32+12√2 + 6 + 7 При данном ограничении на nна четвертом шаге абитуриент всегда будет выбирать лучший ВУЗ изкатегории +1 вместо второго или третьего по предпочтительностииз категории +2 .Сравним ожидаемые полезности в этом случае1−172 ( + 3, − 1) = ( + 3 +) + ( + 3)2 +8322121+ ( + 2)2 + ( + 1)2646413−1 222 ( + 2, ) = ( + 3) + ( + 2 +) +41699+ ( + 2) + ( + 1)2 .3232Проанализируемразницумеждуэтимиполезностями:1 (17−2)2 +(8+8)−4642∙ при ≤ 8 ⇒ Δ > 0 ⇒ 2 = + 3, 2 = − 1,172(A.32)(A.33)(A.34)(A.35)Δ=∙ при 9 ≤ ≤ 12 при выполнении ограничений случая 3 на значенияn ⇒ Δ > 0 ⇒ 2 = + 3, 2 = − 1,∙ при ≥ 13 Δ > 0, если <√2(2+2+ 42 +6+21.2−171 ≥ + 4, 1 = Сравним два возможных варианта решения - 2 = + 3, 2 = и2 = + 2, 2 = .
Опять рассмотрим три случая в зависимости отвеличины n. В разных случаях абитуриент будет делать разный выборна 4-ом шаге при выборе ВУЗов из категории +2 .√Случай 1: ≥ + 3 + 2 + 6 + 7. Ожидаемые полезности имеют вид:1721−1 26322 ( + 3, ) = ( + 4)2 + ( + 3)2 +( + 2 +) +( + 1)(A.36),83212812813−1 29−2 22 ( + 2, ) = ( + 3)2 + ( + 2 +) + ( + 2 +) +41664272+ ( + 1)(A.37).64Разница между полезностями равна Δ =1 (40−4)2 +(78+234)−751282Насинтересуют интервалы, на которых эта функция принимает положительные и отрицательные значения, поэтому рассматривается толькочислитель второй дроби.
Он представлет собой квадратичную функцию относительно 2 . Тогда∙ При ≤ 10 и всех > 1 Δ > 0 ⇒ 2 = + 3, 2 = ∙ При 11 ≤ ≤ 19 функция меняет знак внутри множества допустимых n. При ≥√1 39+117+ 15212 +8826+166894−10Δ < 0 ⇒ 2 = +2, 2 =. При меньших n абитуриент выбирает другую альтернативу.∙ При ≥ 20 для любого n, удовлетворяющего условиям случая 1,Δ < 0 ⇒ 2 = + 2, 2 = 173Случай 2. 12 +32+12√2 + 6 + 7 ≤ ≤ + 3 +√2 + 6 + 7. Сравниможидаемые полезности:1721−1 263222 ( + 3, ) = ( + 4) + ( + 3) +( + 2 +) +( + (A.38)1)283212812823−1991) + ( + 2)2 + ( + (A.39)1)22 ( + 2, ) = ( + 3)2 + ( + 2 +4163232Разница между полезностями равна Δ =1 (76−4)2 +(6+18)−31282Ис-следуем интервалы значений i и n, на которых данная функция принимает положительные (отрицательные) значения.
Поскольку отрицательные значения может принимать только числительно второй дроби,представляющий собой квадратичную функцию относительно n, будемрассматривать только эту часть функции. Тогда∙ ≤, 19Δ > 0 при всех n, удовлетворяющих ограничениям случая⇒ 2 = + 3, 2 = ,∙ i = 20: при 23 ≤ ≤ 342 = + 3, 2 = , при 35 ≤ ≤ 462 = + 2, 2 = ,∙ ≥ 21Δ < 0при всех n, удовлетворяющих ограничениям случая⇒ 2 = + 2, 2 = .Случай 3: ≤ 21 +32+12√2 + 6 + 7.
Опять сравним ожидаемые по-лезности172 ( + 3, ) = ( + 4)2 + ( + 3)2 +83213−1 222 ( + 2, ) = ( + 3) + ( + 2 +) +416Разница между полезностями равна Δ =21( + 2)2 +649( + 2)2 +3221( + (A.40)1)2649( + (A.41)1)2321 (17−2)2 +(24+72)−12.642Рас-сматриваем числитель второй дроби - единственная составляющая,влияющая на знак. Тогда174∙ ≤ 8 - коэффициент при 2 положителен и при всех n > 1 Δ >0 ⇒ 2 = + 3, 2 = ,∙ 9 ≤ ≤ 20 - при всех n, удовлетворяющих ограничениям случая3, Δ > 0 ⇒ 2 = + 3, 2 = ,∙ ≥ 21 - при√2(6+18+ 362 +210+375)2−17≤ ≤ 21 +32+12√2 + 6 + 7абитуриент выбирает 2 = + 2, 2 = , при меньших n абитуриентвыбирает 2 = + 3, 2 = .Шаг 1Поскольку этот шаг - последний, нам необходимо для каждого сочетания значений параметров выбрать оптимальное решение с учетомоптимальных решений, уже найденных для последующих шагов. Поскольку решения на последующих шагах различаются в зависимостиот соотношения i и n, нам также придется рассмотреть несколько случаев.Сравнение решений 1 = + 3 и 1 = + 2Рассмотрим все возможные сочетания решений последующих шагов.
Мы не будем определять границы значений i,n при которых принимаются даные решения, т.к., как мы увидим, это не повлияет на результат. Итак, если на шаге 1 выбрано решение 1 = +2,то возможныдва варианта дальнейшего поведения. Приведем функции полезности,175соответствующие этим вариантам решения:13−1 29−2 221 ( + 2, ) = ( + 3)2 + ( + 2 +) + ( + 2 +) +4166427−3 2812+( + 2 +) +( + 1)(A.42),25610243−1 29−2 2121) + ( + 2 +) +1 ( + 2, ) = ( + 3) + ( + 2 +4166427272+( + 2)2 +( + 1)(A.43).128128Если же на шаге 1 абитуриент выберет решение 1 = + 3, то возможны четыре варианта дальнейшего поведения (при разных сочетанияхпараметров). Соответствующие функции полезности представлены ниже, причем для каждого i каждый следующий выбор является оптимальным при меньших значениях параметра n.1721−1 212 ( + 3, ) = ( + 4)2 + ( + 3)2 +( + 2 +) +83212863 − 2 2 189+( + 2 +) +( + 1)2 , (A.44)51251227−1491) +( + 3)2 +22 ( + 3, ) = ( + 4)2 + ( + 3 +8642562147−1441+( + 2 +) +( + 1)2 , (A.45)102410241721−1 22232 ( + 3, ) = ( + 4) + ( + 3) +( + 2 +) +8321286363+( + 2)2 +( + 1)2 , (A.46)25625624917−1) +( + 3)2 +42 ( + 3, ) = ( + 4)2 + ( + 3 +864256147147+( + 2)2 +( + 1)2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
