Диссертация (1137378), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Лаврентьева(Новосибирск, 2010); X международной научно-практической конференции«Исследование, разработка и применение высоких технологий впромышленности» (Санкт-Петербург, 2010); XV – XVIII Международныхнаучно-технических конференциях «Информационные системы и технологии»(Нижний Новгород, 2009 – 2012); IX – XI Международной молодежной научнотехнической «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2010 – 2012);Конференции, посвященной 65-летию Института морской геологии игеофизики ДВО РАН «Геодинамические процессы и природные катастрофы вДальневосточном регионе» (Южно-Сахалинск, 2011).Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарахНижегородского государственного технического университета им.

Р.Е.Алексеева и НИУ ВШЭ – Нижний Новгород.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения исписка литературы. Общий объем диссертации – 164 страницы, включая 76рисунков.КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели,научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическаязначимость результатов работы, апробация, список публикаций по темедиссертации.Глава 1 является преимущественно вводной, в ней обсуждаютсяосновные подходы к изучению длинных внутренних гравитационных волн вслоистой жидкости.

Основной акцент делается на описание моделей,применимых для исследования внутренних волн в трехслойной среде. § 1.2посвящен рассмотрению линейной теории длинных внутренних волн в N6слойной жидкости, необходимой для последующего изучения нелинейныхэффектов. Для двухслойной (§ 1.2.1) и трехслойной (§ 1.2.2) среды получены ипроанализированы дисперсионные соотношения, построена вертикальнаяструктура функции тока. Разложение дисперсионного соотношения длялинейных длинных внутренних волн в ряды Тейлора по малому волновомучислу k позволяет определить коэффициенты дисперсионных членовпроизвольного порядка, что может быть использовано для верификациислабонелинейных моделей высокого порядка теории возмущений.

В § 1.3.1 данобзор известных слабонелинейных моделей и их уединенных стационарныхрешений, используемых для изучения динамики солитонов внутренних волн. В§ 1.3.2 приведено подробное описание асимптотической процедуры выводаобобщенного уравнения Кортевега – де Вриза для волн на границах раздела втрехслойной жидкости, усовершенствованной и автоматизированной приучастии автора. Рассмотрим модельную ситуацию потенциального движения втрехслойной невязкой жидкости несжимаемой жидкости с невозмущеннымположением верхнего и нижнего интерфейса на уровне z = H1,2 (H2 ≥ H1),ограниченную ровным дном (z = 0), для которого выполняется условиенепротекания, и поверхностью на уровне z = H3 (H3 ≥ H2), для которойвыполняется приближение «твердой крышки».

Величины плотности в нижнем,среднем и верхнем слоях определяются как ρ1 = ρ + ∆ρ1, ρ2 = ρ, ρ3 = ρ − ∆ρ2соответственно. Также используется приближение Буссинеска (∆ρ1,2/ρ <<1).Для того чтобы с помощью асимптотических методов получить эволюционныеуравнения, описывающие динамику внутренних волн относительно малойамплитуды в рассматриваемой среде, необходимо определить соотношениехарактерных масштабов среды и волновых процессов. Пусть глубина жидкостиH, характерный горизонтальный масштаб волновых движений L и характернаяамплитуда a. Следуя допущению о распространении длинных волн L >> H ,введем малый параметр дисперсии µ = H 2 L2 .

Долгоживущие волны обычноимеют малую по сравнению с глубиной жидкости амплитуду, иными словамиможно ввести малый параметр нелинейности ε = a H << 1 . Так как уединенныеволны могут существовать только при достижении баланса междунелинейными и дисперсионными членами, предположим, что ε ~ µ. Тогдауравнения Лапласа для каждого слоя и системы динамических икинематических граничных условий на интерфейсах в размерном виде, но сучетом малости параметров запишутся следующим образом:(1)Φ1 zz + εΦ1 xx = 0 , 0 < z < H 1 , Φ1 z ( z = 0) = 0 ,(2)H1 < z < H 2 ,Φ 2 zz + εΦ 2 xx = 0 ,(3)Φ3z (z = H3 ) = 0 .Φ 3 zz + εΦ 3 xx = 0 , H 2 < z < H 3 ,(4)ηt + εΦ1xη x − Φ1z = 0,ηt + εΦ 2 xη x − Φ 2 z = 0,1111 z = H1 + η ( x, t ) ,ρ1 Φ1t + ε (Φ1x )2 + (Φ1z )2 + gη  = ρ2  Φ 2t + ε (Φ 2 x )2 + (Φ 2 z )2 + gη 22227(5)ζ t + εΦ 2 xζ x − Φ 2 z = 0,ζ t + εΦ3 xζ x − Φ3 z = 0,1111 z = H 2 + ζ ( x, t ) .ρ2  Φ 2t + ε (Φ 2 x )2 + (Φ 2 z )2 + gζ  = ρ3  Φ3t + ε (Φ3 x )2 + (Φ3 z )2 + gζ .2222Здесь Фi, i = 1 – 3 – потенциалы скорости частиц жидкости в каждом из слоев,g – ускорение силы тяжести.В предположении малости амплитуд распространяющихся возмущенийграничные условия на интерфейсах могут быть сведены к более простому видупутем разложения всех неизвестных функций, в них входящих, в ряды Тейлорапо малым отклонениям от невозмущенного уровня:jj∞∞ηj ∂ fζj∂ ff (x, z = H 1 + η ( x, t ), t ) =, f ( x, z = H 2 + ζ ( x, t ), t ) =(6)j! ∂z jj! ∂z j∑∑j =0j =0z = H1z=H 2Разложим также в ряды по малому параметру ε = a H << 1 потенциалы вкаждом слое и отклонения интерфейсов:(7)η = ε η 0 + εη1 + ε 2η 2 + ...

,(8)ζ = ε ζ 0 + εζ 1 + ε 2ζ 2 + ... .(((Φ i = ε φ1(i ) + εφ 2 (i ) + ε 2φ3 (i )))+ ...) , i = 1,2,3,(9)Подстановка выражений (7)-(9) в исходную систему уравнений,позволяет перейти к асимптотическому рекурсивному алгоритму, которыйподробно описан в работе [Р6]. На каждом шаге алгоритма может бытьполучено эволюционное уравнение относительно соответствующей поправкиряда (7) или ряда (8), комбинируя которое с уравнениями для поправокпредыдущих порядков соответствующего ряда, можно получить эволюционнуюмодель для искомой функции η или ζ. Также на каждом шаге асимптотическогоалгоритма определяются соотношения между поправками одного порядкарядов (7) и (8), подстановка которых в выражение (7) или (8) позволяет найтиуравнения связи между смещениями интерфейсов.

Так, например,эволюционные уравнения второго порядка теории возмущений для внутреннихволн первой или второй моды, распространяющихся по нижнему интерфейсуимеют вид (в исходных координатах (x, t)):2(10)η ± t + c ±η ± x + α ±η ±η ± x + β ±η ± xxx + α 1±η ± η ± x + β1±η ± 5 x + γ 1±η ±η ± xxx + γ 2±η ± xη ± xx = 0где индекс «+» соответствует волновой функции первой моды, а индекс−» «используется для обозначения второй моды. Тогда уравнение связи смещенийверхнего и нижнего интерфейсов примут вид:(11)ζ ± = s ±η + s ± quadη 2 + s ± dispη xxМы не выписываем здесь коэффициенты в уравнениях (10) и (11), которыепредставляются весьма громоздкими выражениями.В работе получены системы уравнений, описывающих смещенияверхнего и нижнего интерфейсов до пятого порядка теории возмущений (всимметричной трехслойной среде).8В § 1.4 представлено описание программного комплекса IGW, которыйрешает систему уравнений, описывающих движение невязкой несжимаемойстратифицированной жидкости в вертикальной плоскости в приближенииБуссинеска.

IGW, разработанный первоначально профессором университетаВатерлоо К. Лэмбом [5], усовершенствован в научно-исследовательской группес участием диссертанта под руководством профессора А.А. Куркина длярешения широкого круга задач, к числу которых относится настоящееисследование.Глава 2 посвящена разработке слабонелинейных эволюционных моделейдля описания динамики внутренних волн в трехслойной жидкости. В такойсреде существуют две волновые моды. В § 2.2 получено расширенноеуравнение Кортевега – де Вриза (называемое уравнением Гарднера) длявнутренних волн быстрой (первой) моды в трехслойной жидкости припроизвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей.

Первыйпорядок теории возмущений оказался недостаточным, так как коэффициентквадратичной нелинейности может вырождаться. Чтобы получить уравнениеГарднера с помощью асимптотических разложений, необходимо заменитьстандартное масштабирование ε = µ на ε2 = μ для учета дисперсионных инелинейных эффектов в одном порядке, при этом должна возрастать рольследующих по нелинейности членов в асимптотическом разложении волновогополя.

Коэффициенты эволюционных моделей представляют собой сложныефункции, зависящие от параметров среды. При этом параметры дисперсии длявнутренних волн всегда положительны, а коэффициенты нелинейностей могутбыть положительными, отрицательными или обращаться в нуль. Поэтому дляпредсказания возможности существования уединенных волн, а такжеопределения их типов, необходим подробный анализ значений коэффициентовквадратичной и кубической нелинейности в зависимости от сочетания условийв жидкости. В качестве примера на рис. 1 представлена схема солитонныхрежимов для волн быстрой моды в трехслойной среде при ∆ρ1 = ∆ρ2.Верхняя половина плоскости параметров (выше диагонали H1 = H2)используется для отображения значений коэффициентов эволюционногоуравнения для верхнего интерфейса, а нижняя половина – для отображениязначений коэффициентов эволюционного уравнения для нижнего интерфейса.В выделенных точках на рис.

1 параметры квадратичной и кубическойнелинейности одновременно обращаются в нуль, поэтому при такихстратификациях плотности необходимо уточнение теории.В § 2.3 исследованы особенности динамики внутренних уединенных волнбыстрой моды в трехслойной жидкости с симметричной стратификациейплотности ( H 1 = H 3 − H 2 = h, ∆ρ1 = ∆ρ 2 ). Симметрия приводит к вырождениюкоэффициента квадратичной нелинейности, так что стартовой модельюявляется классическое модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза(мКдВ). Однако коэффициент кубической нелинейности и нелинейностичетвертой степени могут одновременно обращаться в нуль при некоторомсоотношении толщин слоев (hcr = 9H /26). В малой окрестности такой9критической точки необходима модификация асимптотической процедуры инами выведено для этого случая следующее уравнение(12)ζ t + cζ x + α 1ζ 2ζ x + βζ xxx + ε (α 2∗ζ 3ζ x + γ 2∗ζ x ζ xx ) +( )+ ε 2 (α 3ζ 4ζ x + γ 31 (ζ x )3 + γ 32ζζ x ζ xx + γ 33ζ 2ζ xxx + β1ζ 5 x ) + O ε 3 = 0,коэффициенты которого определены в [Р6].

Уравнение для η(x, t) отличается от(12) только противоположным знаком коэффициентов, помеченных индексом”*”. Раскладывая выражения для коэффициентов уравнения (12) в ряд Тейлорав окрестности точки hcr (∆ = (h −hcr)/H) (для учета дисперсионных и нелинейныхэффектов в одном порядке, соотношение между малыми параметрамиΔиε2должно быть следующим: Δ = ε ) и вновь изменяя масштабирование параметровдля баланса нелинейности и дисперсии, получаем расширенноемодифицированное уравнение Кортевега – де Вриза с комбинированнойнелинейностью («2+4» КдВ):(13)ζ t + cζ x + α 1ζ 2ζ x + α 3ζ 4ζ x + βζ xxx = 0,Рис. 1 Схема солитонных режимов для волн быстрой моды в трехслойной жидкости (∆ρ1= ∆ρ2). Черные контуры соответствуют вырождению квадратичной нелинейности,серые - кубической.

Характеристики

Список файлов диссертации