Диссертация (1137378), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Выделенные точки имеют координаты: черные ромбы (H1/H3,H2/H3)=(9/26; 17/26), серые круги (H1/H3, H2/H3)≈(0.1703; 0.5717) и (H1/H3, H2/H3)≈(0.4283;0.8297).В рамках уравнения «2+4» КдВ легко доказывается возможностьсуществования уединенных волн при положительных значениях кубическойнелинейности (коэффициент нелинейности пятой степени отрицателен всегда).При небольших амплитудах реализуются солитоны уравнения мКдВ, которыепри приближении к предельной амплитуде неограниченно уширяются.
Врамках уравнения «2+4» КдВ численно основе неявной псевдоспектральной10схемы с контролем массы и энергии [1, 2] исследованы двухсолитонныевзаимодействия различных типов – обмен, обгон и взаимодействия с участиемсолитонов предельных амплитуд. В качестве примера на рис. 2 представленовзаимодействие разнополярных импульсов в безразмерных координатахθ=α 13α33/ 4(β )−1 / 2t, χ =α 133/ 4α3(β )−1 / 2x, q =α1α31/ 2ζ).Рис.
2 Взаимодействие разнополярных солитонов в рамках уравнения (10)с амплитудами 1.118 и -0.5 в безразмерных координатах§ 2.4 посвящен исследованиюдинамики внутренних волн второй моды,которые имеют меньшее значение фазовойскорости, чем у первой моды. Механизмомгенерации солитонов медленной модыможет быть интрузия жидкости встратифицированный бассейн [8], взрывывнутри слоистой акватории и др. Дляописания динамики таких волн втрехслойной жидкости при произвольномсоотношении толщин слоев и перепадовплотностей получено уравнение Гарднера,Рис.
3 Схема солитонных режимов длякоэффициенты которого определены черезволн медленной моды в трехслойнойпараметры среды и проанализированы.жидкости (∆ρ1 = ∆ρ2).Уточнениеслабонелинейнойтеории(классического уравнения КдВ) оказалось необходимым, так как коэффициентквадратичной нелинейности может вырождаться, при этом коэффициенткубической нелинейности всегда отрицателен. Построены схемы солитонныхрежимов для волн медленной моды в трехслойной жидкости (в качествепримера на рис. 3 представлена такая схема при ∆ρ1 = ∆ρ2).В § 2.5 показано, что коэффициенты эволюционных уравнений длявнутренних волн второй моды в частном случае симметричной трехслойнойжидкости совпадают с параметрами аналогичных слабонелинейных моделейдля волн в двухслойной жидкости, если перенести одну из границ в серединупотока.11Глава 3 посвящена исследованию эффектов сильной нелинейности, атакжесодержитнесколькопримеровмоделированиявнутреннихгравитационных волн в реалистичных условиях.
Основная цель этого раздела –продемонстрировать в каких случаях использование слабонелинейной теории(в том числе теоретических модели, полученные в главе 2) для предсказаниясвойств уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости оправдано, а вкаких необходим учет полной нелинейности. § 3.2 посвящен сравнениюсвойств уединенных внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости врамках уравнения мКдВ, «2+4» КдВ и полнонелинейной модели. В § 3.2.1показано, что слабонелинейная теория (уравнение мКдВ) переоцениваетколичество солитонов в составе решения начальной задачи и недооцениваетвремя формирования уединенной внутренней волны. При этом предсказанияслабонелинейнойтеорииотносительновозможностисуществованиясолитоноподобных волн оказываются достаточно точными.
В § 3.2.2исследуются свойства уединенных внутренних волн при фиксированномсоотношении толщин слоев в симметричной трехслойной жидкости в рамкахуравнений мКдВ, «2+4» КдВ и полнонелиненой модели. Показано, чтоуравнение «2+4» КдВ позволяет делать более точные, чем мКдВ, прогнозыотносительно параметров волн умеренных амплитуд и предсказываетвозможность существования платообразных уединенных волн в симметричнойтрехслойной жидкости.§3.3посвященисследованиювертикальнойструктуры волнового поля припрохожденииуединеннойвнутреннейволнывсимметричнойтрехслойнойжидкостиврамкахполнонелинейнойчисленноймодели и уравнения мКдВ.Доказано,чтосущественнаяРис.
4 Нормированные значения придонных (серый) нелинейность приводит не толькои приповерхностных (черный) скоростей длякколичественным,ноисолитонов мКдВ (сплошная линия) икачественнымизменениямполнонелинейных уединенных волн (точки)пространственнойструктурыуединенной волны в сравнении со слабонелинейным солитоном.
В частности,выявлены качественные (расположение максимума вертикальной скорости илинии нулевой горизонтальной скорости) и количественные различияструктуры профиля горизонтальной и вертикальной скоростей для уединенныхвнутренних волн и солитонов мКдВ умеренных амплитуд. Сделан вывод о том,что в трехслойной симметричной среде для волн быстрой моды положительнойполярностислабонелинейнаятеориянедооцениваетпридонныеипереоценивает приповерхностные скорости, а для волн отрицательнойполярности наоборот недооценивает приповерхностные и переоцениваетпридонные (рис. 4).12§ 3.4 содержит результаты моделирования динамики внутренних волн вшельфовой зоне о. Сахалин. Показана важнейшая роль бароклиннойкомпоненты волнового поля в формирование придонных скоростей (рис.
5).Рис.5 x-t диаграмма полной скорости в проекции на касательную к линии дна, скоростибаротропного прилива, вертикальной и горизонтальной бароклинных составляющих дляшельфовой зоны о. СахалинВ § 3.5 в рамках полнонелинейной модели продемонстрирован процесстрансформации бризера в солитон над наклонным дном при прохожденииточки смены знака коэффициента кубической нелинейности. При этом дляподбора трассы использовались полученные во второй главе диаграммызначений коэффициентов нелинейности.В заключении перечислены основные результаты диссертационнойработы.В Приложении приведены вычисленные коэффициенты уравненияГарднера для смещений верхнего и нижнего интерфесов при распространенииволн первой и второй моды в зависимости от параметров среды.ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ1.
Получено расширенное уравнение Кортевега – де Вриза (уравнениеГарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольномсоотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Продемонстрировано, чтодля медленной (второй моды) невозможно, чтобы оба нелинейныхкоэффициента (квадратичной и кубической нелинейности) одновременнообращались в нуль, в то время как для быстрой (первой) такое возможно, чтобыло известно ранее. Тем не менее, для медленной моды возможно обращениеквадратичной нелинейности в нуль, в то время как коэффициент кубическойнелинейности всегда отрицателен. Показано, что в частном случаесимметричной трехслойной стратификации коэффициенты нелинейногоэволюционного уравнения для медленной моды совпадают с аналогичными13коэффициентами двухслойной жидкости, если одну из границ переместить всередину потока.2. Выведено так называемое «2+4» уравнение Кортевега – де Вриза (сточностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн втрехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождениикоэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей.
Это уравнение неявляется полностью интегрируемым, но допускает существование солитона,форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды ккритической. Численно изучены процессы двух-солитонного взаимодействия,приводящие к образованию дисперсионных пакетов.3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивныхлокализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейномпределе описываются фундаментальными неизлучающими решениями(солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей –эволюционных уравнений типа Кортевега – де Вриза. Численныминтегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрированосуществование широких солитоноподобных волн в среде с нулевойквадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такойсреде,определенапредельнаяамплитуда.Сравнениерезультатовмоделирования с решениями уравнения модифицированного Кортевега – деВриза показывает, что область применимости последнего для количественныхоценок характеристик уединенных волн относительно узка.
Прогнозированиеколичества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощьюслабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн посравнению с полно нелинейной моделью.4. Выполнено исследование вертикальной структуры солитонов, полученныхпутем численного интегрирования начальной задачи для полной системыуравнений гидродинамики в сопоставлении с солитонами расширенногомодифицированного уравнения Кортевега – де Вриза для трехслойной среды.Выявлены количественные различия структуры профиля горизонтальной ивертикальной скорости течений в солитоне в рамках слабо и сильнонелинейных моделей.5.
Доказано, что солитон может трансформироваться в бризер в трехслойнойжидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутреннихволн (ранее этот процесс был известен только для слабонелинейных волн).6. Показано, что вклад внутренних волн в формирование придонных потоковсравним с вкладом приливных волн даже для областей, находящихся надостаточно большой глубине по сравнению с пикноклином, что доказываютрезультаты численных экспериментов для Охотского моря, а, значит,бароклинная составляющая придонных скоростей должна учитываться прирешении инженерных задач, связанных с обеспечением безопасности экосистемокеанов и морей.
Важно отметить, что коротковолновые цуги, наблюдаемые вовсех расчетах, вносят основной вклад в придонные и приповерхностныескорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.14СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Куркин, А.А. Численные эксперименты по распространению волн Россби вокеане/ А.А. Куркин, О.Е. Полухина // Известия Академии инженерных наукРФ. Прикладная математика и механика, 2003. – 4. – с. 99 – 116.2.
Fornberg, B. A Practical Guide to Pseudospectral Methods/ Cambridge UniversityPress, 1998. – 231 pp.3. Grimshaw, R. The modified Korteweg – de Vries equation in the theory of large –amplitude internal waves/ Grimshaw, R., Pelinovsky, E., and Talipova, T. //Nonlin. Processes Geophys, 1997. – 4. – p. 237–250, doi:10.5194/npg-4-237-19974.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
