Russ Intro_сайт (1137346), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Aronson [Aro59] èëè [DM10] äëÿ îáîáùåíèÿ íà âûðîæäåííûéñëó÷àé. Ãëàâå 3 ìû èññëåäóåì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïàðàìåòðèêñà, êàêèì îáðàçîìáëèçîñòü êîýôôèöèåíòîâ âîçìóùåííîãî óðàâíåíèÿ (bε , σε ) ê êîýôôèöèåíòàì(b, σ) èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ îòðàæàåòñÿ íà ïîâåäåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé ïðîöåññîâ. Íàøè ðåçóëüòàòû îá óñòîé÷èâîñòè ïåðåõîäíûõïëîòíîñòåé ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì êîýôôèöèåíòîâ ïðèìåíèìû è äëÿ ñëó÷àÿäâóõ Ìàðêîâñêèõ öåïåé ñ ñîîòâåòñòóþùèìè äèíàìèêàìè:√Ytk+1 = Ytk + b(tk , Ytk )h + σ(tk , Ytk ) hξk+1 , Y0 = x,√(ε)(ε)(ε)(ε)(ε)Ytk+1 = Ytk + bε (tk , Ytk )h + σε (tk , Ytk ) hξk+1 , Y0 = x,(11)ãäå h > 0 - çàäàííûé øàã ïî âðåìåíè, äëÿ âñåõ k ≥ 0, tk := kh è (ξk )k≥1 - öåíòðèðîâàííûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,óäîáëåòâîðÿþùèå íåêîòîðûì óñëîâèÿì èíòåãðèðóåìîñòè. Êàê è ðàíåå, îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè àíàëèçà ÿâëÿþòñÿ òåõíèêà ïàðàìåòðèêñà è ãàóññîâñêèåïðåäåëüíûå òåîðåìû.Óòî÷íèì óñëîâèÿ (A), êîòîðûå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â Ãëàâå 3.
Çàôèêñèðóåì ïàðàìåòð ε > 0. Êîíñòàíòû, èñïîëüçîâàííûå äëÿ ïðåäïîëîæåíèé, íåáóäóò çàâèñåòü îò ε.(A1) (Îãðàíè÷åííîñòü êîýôôèöèåíòîâ). Êîìïîíåíòû âåêòîð-ôóíêöèéb(t, x), bε (t, x) è ìàòðèö σ(t, x), σε (t, x) - îãðàíè÷åíû. Òî åñòü, ñóùåñòâóþòêîíñòàíòû K1 , K2 > 0, òàêèå ÷òî,sup|b(t, x)| +(t,x)∈[0,T ]×Rdsup(t,x)∈[0,T ]×Rdsup|bε (t, x)| ≤ K1 ,(t,x)∈[0,T ]×Rd|σ(t, x)| +sup|σε (t, x)| ≤ K2 .(t,x)∈[0,T ]×Rd(A2) (Ðàâíîìåðíàÿ ýëëèïòè÷íîñòü). Ìàòðèöû a := σσ ∗ , aε := σε σε∗ ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷íû, òî åñòü, ñóùåñòâóåò Λ ≥ 1, ∀(t, x, ξ) ∈ [0, T ] × (Rd )2 ,Λ−1 |ξ|2 ≤ ha(t, x)ξ, ξi ≤ Λ|ξ|2 , Λ−1 |ξ|2 ≤ haε (t, x)ξ, ξi ≤ Λ|ξ|2 .5(A3) (Íåïðåðûâíîñòü ïî Ãåëüäåðó ïî ïðîñòðàíñòâó).
Äëÿ íåêîòîðûõ γ ∈(0, 1] , κ < ∞, äëÿ âñåõ t ∈ [0, T ],|σ(t, x) − σ(t, y)| + |σε (t, x) − σε (t, y)|γ≤ κ |x − y| .Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå óñëîâèå, â ñèëó îãðàíè÷åííîñòè σ, σε , äàåò òî, ÷òî a, aεòàê æå ðàâíîìåðíî γ íåïðåðûâíû ïî Ãåëüäåðó.Äëÿ çàäàííîãî ε > 0, áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óñëîâèÿ (A) âûïîëíåíû, åñëè âûïîëíåíû (A1)-(A3). Ââåäåì âåëè÷èíû, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì äëÿ îöåíêèáëèçîñòè ïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé. Ïîëîæèì äëÿ ε > 0:∆ε,b,∞ :={|b(t, x) − bε (t, x)|},sup(t,x)∈[0,T ]×Rd∀q ∈ (1, +∞], ∆ε,b,q := sup kb(t, .) − bε (t, .)kLq (Rd ) .t∈[0,T ]Òàê êàê σ, σε îáå γ - íåïðåðûâíû ïî Ãåëüäåðó, ñì. (A3), ìû òàê æå îïðåäåëèì∆ε,σ,γ := sup |σ(u, .) − σε (u, .)|γ ,u∈[0,T ]ãäå γ ∈ (0, 1], |.|γ îçíà÷àåò îáû÷íóþ íîðìó Ãåëüäåðà ïî ïðîñòðàíñòâó äëÿ ôóíêöèé êëàññà Cbγ (Rd , Rd ⊗ Rd ) ( ñì.
Krylov [Kry96]), òî÷íåå:|f |γ := sup |f (x)| + [f ]γ , [f ]γ :=supx6=y,(x,y)∈(Rd )2x∈Rd|f (x) − f (y)|.|x − y|γÏîëîæèì äëÿ q ∈ (1, +∞],∆ε,γ,q := ∆ε,σ,γ + ∆ε,b,q .Òåîðåìà (3.2.1). Çàôèêñèðóåì ε > 0 è êîíå÷íûé íåñëó÷àéíûé ãîðèçîíò ïîâðåìåíè T > 0.  ïðåäïîëîæåíèÿõ (A), îïðåäåëåííûõ âûøå, äëÿ q > d, ñóùåñòâóþò C := C(q) ≥ 1, c := c(q) ∈ (0, 1], òàêèå ÷òî äëÿ âñåõ 0 ≤ s < t ≤T, (x, y) ∈ (Rd )2 :pc (t − s, y − x)−1 |(p − pε )(s, t, x, y)| ≤ C∆ε,γ,q ,ãäå p(s, t, x, .), pε (s, t, x, .) - ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåõîäíûå ïëîòíîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t ðåøåíèé óðàâíåíèé (9), (10), èñõîäÿùèå èç x â ìîìåíò âðåìåíè s.
Êðîìå òîãî, äëÿ çàäàííîãî c > 0 è âñåõ (u, z) ∈ R+ × Rd , îïðåäåëèì|z|2cd/2pc (u, z) := (2πu)d/2 exp(−c 2u ). Åñëè q = ∞, êîíñòàíòû C, c íå çàâèñÿò îò q .Äàííàÿ è ñëåäóþùàÿ Òåîðåìû áóäóò ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â Ðàçäåëå 3.2.1.Ïåðåä òåì, êàê ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò äëÿ ñëó÷àÿ Ìàðêîâñêèõ öåïåé,ìû äîëæíû ââåñòè äâà òèïà ïðåäïîëîæåíèé íà èííîâàöèè â (11). À èìåííî:6(IG) Ïóñòü íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ξk )k≥1óäîâëåòâîðÿþò ãàóññîâñêîìó çàêîíó ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (0, Id ).  òàêîì ñëó÷àå, äèíàìèêà â (11) ñîîòâåòñòâóåò äèñêðåòèçàöèîííîé ñõåìå Ýéëåðà äëÿ óðàâíåíèÿ (9).(IP) Äëÿ çàäàííîãî öåëîãî M > 2d + 5 + γ , èííîâàöèè (ξk )k≥1 öåíòðèðîâàíû èèìåþò C 5 ãëàäêóþ ïëîòíîñòü fξ , êîòîðàÿ âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè äîïîðÿäêà 5 èìååò ïîëèíîìèàëüíûé ðîñò íå áîëåå, ÷åì ïîðÿäêà M .
Òî åñòü, äëÿz ∈ Rd è ìóëüòè-èíäåêñà ν, |ν| ≤ 5:|Dν fξ (z)| ≤ CQM (z),R1ãäå äëÿ âñåõ r > d, z ∈ Rd , Qr (z) := cr (1+|z|)dzQr (z) = 1.r,RdÒåîðåìà (3.2.2). Çàôèêñèðóåì ε > 0 è êîíå÷íûé èíòåðâàë âðåìåíè T > 0.Äëÿ h = T /N, N ∈ N∗ , ïîëîæèì äëÿ i ∈ N, ti := ih.  ïðåäïîëîæåíèÿõ (A),åñëè âûïîëíåíî (IG) èëè (IP), äëÿ q > d ñóùåñòâóþò C := C(q) ≥ 1, c :=c(q) ∈ (0, 1] òàêèå, ÷òî äëÿ âñåõ 0 ≤ ti < tj ≤ T, (x, y) ∈ (Rd )2 :χc (tj − ti , y − x)−1 |(ph − phε )(ti , tj , x, y)| ≤ C∆ε,γ,q ,ãäå ph (ti , tj , x, .), phε (ti , tj , x, .) - ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåõîäíûå ïëîòíîñòè âìîìåíò âðåìåíè tj Ìàðêîâñêèõ öåïåé Y è Y (ε) â (11), ñòàðòóþùèõ èç xâ ìîìåíò âðåìåíè ti .
 îöåíêå âûøå:- Åñëè âûïîëíåíî (IG):χc (tj − ti , y − x) := pc (tj − ti , y − x),ãäå pc îïðåäåëåíî â Òåîðåìå (3.2.1).- Åñëè âûïîëíåíî (IP):cdχc (tj − ti , y − x) :=QM −(d+5+γ)(tj − ti )d/2|y − x|(tj − ti )1/2 /c.Êàê è ðàíåå, â ñëó÷àå q = +∞ êîíñòàíòû C, c íå çàâèñÿò îò q .Ïðîäîëæàÿ èññëåäîâàíèÿ â äàííîé îáëàñòè, V. Konakov è S. Menozzi ïðèìåíèëè ðåçóëüòàòû îá óñòîé÷èâîñòè ïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé äëÿ èçó÷åíèÿ îöåíêè ñëàáîé îøèáêè ñõåìû Ýéëåðà â ñòàòüå [KM17]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòüóêàçàííóþ âûøå îöåíêó â ñëó÷àå íåãëàäêîãî äðèôòà, àâòîðû [KM17] ïðåäëàãàþò ïðèìåíèòü ìåòîä ñãëàæèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ. Îòëè÷èå ïåðåõîäíûõïëîòíîñòåé äèôôóçèé è Ìàðêîâñêèõ öåïåé îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåõîäíûõïëîòíîñòåé ïîñëå ïðîöåäóðû ñãëàæèâàíèÿ ìîæíî êîíòðîëèðîâàòü ñ ïîìîùüþîöåíîê, ïðèâåäåííûõ âûøå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êîíòðîëÿ ñëàáîé îøèáêè âñëó÷àå íåãëàäêèõ êîýôôèöèåíòîâ äîñòàòî÷íî îöåíèòü ðàçíèöó ìåæäó ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ ñãëàæåííîé äèôôóçèè è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ ñõåìû ñî7ñãëàæåííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Íåîáõîäèìûé ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí ðàíåå âñòàòüå [KM02].Çàìåòèì, ÷òî òåõíèêà, îïèñàííàÿ âûøå, òàêæå èñïîëüçîâàíà â ñòàòüå [KM17]äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ñëàáîé îøèáêè â ñëó÷àå íåãëàäêèõ íåïðåðûâíûõ ïîÃåëüäåðó êîýôôèöèåíòîâ äëÿ ìàññ Äèðàêà, âçÿòûõ â êà÷åñòâå òåñòîâûõ ôóíêöèé.  òàêîì ñëó÷àå ðåçóëüòàò [KM17] ìîæåò áûòü îáîáùåí ñ ïîìîùüþ ïîäõîäà, ïðåäñòàâëåííîãî â ðàáîòå [Fri18]. Ãëàâå 4 ìû ïðîäîëæèëè èçó÷åíèå ñëàáîé îøèáêè äëÿ ñëó÷àÿ íåãëàäêèõêîýôôèöèåíòîâ, íî óæå â óñëîâèè âûðîæäåííîñòè ÑÄÓ ïî Êîëìîãîðîâó.
Ââåäåì âûðîæäåííóþ ìîäåëü (1) ñ äèíàìèêîé ïðîöåññà Zt = (Xt , Yt ), çàäàâàåìîéóðàâíåíèåì:(dXt = b(Xt , Yt )dt + σ(Xt , Yt )dWt ,(12)dYt = Xt dt, t ∈ [0, T ],ãäå b : R2d → Rd , σ : R2d → Rd ⊗Rd - îãðàíè÷åííûå è íåïðåðûâíûå ïî Ãåëüäåðóïî ïðîñòðàíñòâó, è W - áðîóíîâñêîå äâèæåíèå íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîìïðîñòðàíñòâå (Ω, F, (Ft )t≥0 , P) ñ ôèëüòðàöèåé.  (12), T > 0 - ôèêñèðîâàííûéâðåìåííîé èíòåðâàë.
Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåì ìàòðèöó a(x, y) := σσ ∗ (x, y)ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷åñêîé.Çàìåòèì, ÷òî ïðåäïîëîæåíèÿ, ïåðå÷èñëåííûå âûøå, ïîçâîëÿþò ãàðàíòèðîâàòü ñëàáóþ åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (12).Òàêèå óðàâíåíèÿ áûëè âïåðâûå ââåäåíû â ðàáîòå À.Í. Êîëìîãîðîâà [Kol34]. óêàçàííîé ñòàòüå, îí ïîëó÷èë ÿâíîå âûðàæåíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè ïðîöåññà äëÿ ñëó÷àÿ ïîñòîÿííûõ êîýôôèöèåíòîâ.
Ïîäõîä ïàðàìåòðèêñà äëÿ äàííûõ ìîäåëåé áûë èçó÷åí ìíîãèìè àâòîðàìè. Òàê, íàïðèìåð, â äàííîì íàïðàâëåíèè ðàáîòàëè Weber [Web51], Sonin [Son67], òàêæå ñëåäóåò îòìåòèòü ñòàòüþ[KMM10]. Àäàïòèðóÿ ìåòîäèêó, ïðåäñòàâëåííóþ â ñòàòüå, óêàçàííîé âûøå,ìû ìîæåì èññëåäîâàòü ìîäåëè, âûðîæäåííûå ïî Êîëìîãîðîâó, ñ êîýôôèöèåíòàìè, íåïðåðûâíûìè ïî Ãåëüäåðó. Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè òàêæå ïðèìåíèì êðàñøèðåííîé âûðîæäåííîé ìîäåëè. Ïîäðîáíåå âñå àñïåêòû ðàññìîòðåííû âÃëàâå 4 (ñì. òàêæå ñòàòüþ [Koz16]).Ââåäåì ñõåìó Ýéëåðà äëÿ ÑÄÓ, çàäàâàåìîãî (12). Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî íàòóðàëüíîãî N è T > 0 îïðåäåëèì ñåòêó ïî âðåìåíè {0, t1 , .
. . , tN } ñ çàäàííûìøàãîì h := T /N , òî åñòü ti = ih, äëÿ i = 0, . . . , N è ñõåìó(RtRthhhhXth = x + 0 b(Xφ(s), Yφ(s))ds + 0 σ(Xφ(s), Yφ(s))dWs ,R(13)tYth = y + 0 Xsh ds.ãäå φ(t) = ti ∀t ∈ [ti , ti+1 ). Çàìåòèì, ÷òî ñõåìà, ïðåäëîæåííàÿ âûøå, êîððåêòíîîïðåäåëåíà, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî íåâûðîæäåííàÿ êîìïîíåíòà ñõåìû íàõîäèòñÿïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Íà êàæäîì øàãå ïðèðàùåíèÿ ñõåìû (Xth , Yth )t∈[ti ,ti+1 ] , i ≥0 - ãàóññîâñêèå âåëè÷èíû.8Êðîìå òîãî, äëÿ çàäàííîãî c > 0 è âñåõ (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ R2d ââåäåì ïëîòíîñòüïî òèïó Êîëìîãîðîâà 0|x − x|2|y 0 − y − (x + x0 )t/2|2cd 3d/2exp−c.
(14)+3pc,K (t, (x, y), (x0 , y 0 )) :=(2πt2 )d4tt3Îòìåòèì, ÷òî â Ãëàâå 4 ìû ðàññìàòðèâàåì îäíîðîäíûå ïî âðåìåíè êîýôôèöèåíòû b, σ è óñëîâèÿ, ñïåöèôè÷íûå äëÿ âûðîæäåííîãî ñëó÷àÿ.(AD1) (Îãðàíè÷åííîñòü êîýôôèöèåíòîâ).Êîìïîíåíòû âåêòîð-ôóíêöèè b(x, y) è ìàòðèöû σ(x, y) îãðàíè÷åíû. À èìåííî, ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà K , òàêàÿ, ÷òîsup(x,y)∈R2d|b(x, y)| +sup|σ(x, y)| ≤ K.(x,y)∈R2d(AD2) (Ðàâíîìåðíàÿ ýëëèïòè÷íîñòü).Ìàòðèöà a := σσ ∗ ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷íà, òî åñòü ñóùåñòâóåò Λ ≥ 1, ∀(x, y, ξ) ∈d 3(R ) ,Λ−1 |ξ|2 ≤ ha(x, y)ξ, ξi ≤ Λ|ξ|2 .(AD3) (Íåïðåðûâíîñòü ïî Ãåëüäåðó ïî ïðîñòðàíñòâó).Äëÿ íåêîòîðûõ γ ∈ (0, 1] , κ,γγ/3|b(x, y) − b(x0 , y 0 )| + |σ(x, y) − σ(x0 , y 0 )| ≤ κ |x − x0 | + |y − y 0 |.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (AD), åñëè âûïîëíåíû (AD1)-(AD3). óêàçàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ââåäåì âîçìóùåííûå âåðñèè ïðîöåññîâ (12)è (13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
