Russ Intro_сайт (1137346)
Текст из файла
Федеральное государственное автономное образовательноеучреждение высшего образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»»Ìåæäóíàðîäíàÿ Ëàáîðàòîðèÿ Ñòîõàñòè÷åñêîãî Àíàëèçà è åãîÏðèëîæåíèéÊîæèíà Àííà ÀëåêñàíäðîâíàÌåòîä ïàðàìåòðèêñàè åãî ïðèìåíåíèÿ â òåîðèèâåðîÿòíîñòåéÐåçþìå äèññåðòàöèèна соискание ученой степени кандидатаматематических наук НИУ ВШЭÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüÊîíàêîâ Âàëåíòèí Äìèòðèåâè÷ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîðÌîñêâà 2018Ìîäåëèðîâàíèå ìíîãèõ ïðèðîäíûõ ïðîöåññîâ äî ñèõ ïîð îñòàåòñÿ ñëîæíîéçàäà÷åé äëÿ èññëåäîâàòåëÿ.
Äàííûå è íàáëþäåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç îêðóæàþùåãî ìèðà, ÷àñòî ñîäåðæàò ìíîæåñòâî íåòî÷íîñòåé èëè øóì.Èñïîëüçóÿ òîëüêî ëèøü äåòåðìåíèðîâàííûå ìîäåëè, ìû äîñòàòî÷íî áûñòðîäîñòèãàåì ïðåäåëà òî÷íîñòè.  ñâÿçè ñ ýòèì, èññëåäîâàòåëè âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè áûëè âûíóæäåíû âíåäðÿòü ìîäåëè, îáëàäàþùèå äîïîëíèòåëüíîéñëó÷àéíîñòüþ â ñâîåé ñòðóêòóðå.Îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ ìîäåëèðîâàòü ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ïðîöåññà - âîñïîëüçîâàòüñÿ îïèñàíèåì åãî äèíàìèêè ÷åðåç ðåøåíèå ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ÑÄÓ äàëåå).
 ÷àñòîñòè, ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ óðàâíåíèÿìè, ñîäåðæàùèìè, òàê íàçûâàåìóþ, áðîóíîâñêóþ êîìïîíåíòó,à èìåííî, çàäàâàåìûìè ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:Z tZ tZt = z +b(s, Zs )ds +σ(s, Zs )dWs ,(1)00ãäå (Ws )s≥0 åñòü Rk -ìåðíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ôèëüòðàöèåé (Ω, F, (Ft )t≥0 , P), Zt - Rm ìåðíûé ïðîöåññ, ãäåm ∈ N ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò k .
Êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ b, σ - Rm è Rm ⊗ Rkçíà÷íûå ôóíêöèè ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå, ÷òî ñëàáîå ðåøåíèå (1) ñóùåñòâóåò.Óðàâíåíèÿ âèäà (1) èñïîëüçóþòñÿ âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ îò ôèçèêè äëôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè. Òàê, íàïðèìåð, ìû îòñûëàåì ÷èòàòåëÿ ê èññëåäîâàíèþ ìîäåëåé Ãàìèëüòîíîâîé ìåõàíèêè â ðàáîòå [Tal02], è ôèíàíñîâûì ìîäåëÿì, ðàññìîòðåííûì â ñòàòüå [JYC10], áèîëîãè÷åñêèì ïðèëîæåíèÿì, ïðèâåäåííûì â ([Bai17], [BY89]).Çà èñêëþ÷åíèåì íåêîòîðûõ âåñüìà ñïåöèôè÷åñêèõ ñëó÷àåâ, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà (1) íå ìîæåò áûòü íàéäåííî â ÿâíîì âèäå, à, çíà÷èò, ïåðåä íàìèñòîèò çàäà÷à ïîèñêà õîðîøåãî ïðèáëèæåíèÿ. Îäíèì èç íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ è ïðîñòûõ ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äî ñèõ ïîð ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ýéëåðà - Ìàðóÿìû, ïðåäëîæåííûéâ ðàìêàõ ðåøåíèÿ ñõîæåé çàäà÷è â ðàáîòå [Mar55]. Ïî ñâîåé ñóòè ìåòîä àíàëîãè÷åí òåõíèêå, ïðèìåíÿåìîé ê îáû÷íûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.Çàôèêñèðóåì âðåìåííîé èíòåðâàë T > 0, äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî N ,îçíà÷àþùåãî ÷èñëî øàãîâ ïî âðåìåíè â èíòåðâàëå [0, T ], ââåäåì øàã h = T /Nè äëÿ âñåõ t ∈ [0, T ]:Z tZ thhhZt = z +b(φ(s), Zφ(s) )ds +σ(φ(s), Zφ(s))dWs ,(2)00ãäå ti := ih, i ∈ [0, N ] è ôóíêöèÿ φ(s) = ti îïðåäåëåíà äëÿ s ∈ [ti , ti+1 [.
 ñèëóïðèâåäåííîãî âûøå îïèñàíèÿ, Z h âîçìîæíî ñèìóëèðîâàòü.Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçó÷àòü òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèîííîé ñõåìû, ïðèâåäåííîéâ (2) äëÿ èñõîäíîãî ÑÄÓ (1), îáû÷íî âûäåëÿþò äëÿ îñíîâíûõ òèïà îøèáêè.Ïåðâûé òèï (ñì. [Mar55], Ãèõìàí è Ñêîðîõîä [GS67], [GS82]), â ëèòåðàòóðåèçâåñòåí êàê ñèëüíàÿ îøèáêà. Äëÿ âñåõ p ∈ [1, +∞) â ñòàíäàðòíûõ ìàðêîâñêèõ1îáîçíà÷åíèÿõ äëÿ ïðîöåññîâ Zsh , Zs , ñòàðòóþùèõ èç òî÷êè z â ìîìåíò âðåìåíè0:1/pES (T, z, h, p) := Ez [ sup |Zsh,0,z − Zs0,z |p ].(3)s∈[0,T ]Äëÿ ñëó÷àÿ êîýôôèöèåíòîâ (1), íåïðåðûâíûõ ïî Ëèïøèöó ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì è, ïî êðàéíåé ìåðå, íåïðåðûâíûõ ïî Ãåëüäåðó ïî âðåìåíè ñ ïîêàçàòåëåì 1/2, ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ èíñòðóìåíòîâ ñòîõàñòè÷åñêîãîàíàëèçà, â ÷àñòíîñòè, ôîðìóëû Èòî, íåðàâåíñòâà Áóðêõåëüäåðà-Äýâèñà-Ãóíäèè ëåììû Ãðîíóîëëà, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî:∃Cp (T, b, σ), ES (T, z, h, p) ≤ Cp (T, b, σ)h1/2 .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ òàêèõ ïðèëîæåíèé, êàê îïðåäåëåíèå öåí äåðèâàòèâîâ â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå, íàì âàæíåå çíàòü, òàê íàçûâàåìóþ, ñëàáóþîøèáêó ìåæäó îáúåêòàìè, ââåäåííûìè â (1) è (2).
Äëÿ ïîäõîäÿùåãî êëàññàòåñòîâûõ ôóíêöèé f (ñòðîãîå îïðåäåëåíèå êëàññà ïðåäñòàâëåíî ïîäðîáíî âðàáîòå) ìîæíî îïðåäåëèòü:EW (T, z, h, f ) := Ez [f (ZTh,0,z )] − Ez [f (ZT0,z )].(4)Âûäåëèì äâà òèïà óñëîâèé, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò íàì, ÷òî ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè äëÿ EW (T, z, h, f ) íà ñàìîì äåëå ïîðÿäêà h.  ÷àñòíîñòè,(i) b, σ, f - ãëàäêèå è íåâûðîæäåííûåèëè(ii) b, σ îáëàäàþò íåêîòîðûìè ñòðóêòóðíûìè îñîáåííîñòÿìè (íàïðèìåð, ãåíåðàòîð, àññîöèèðîâàííûé ñ (1), ýëëèïòè÷åí èëè ãèïîýëëèïòè÷åí) è íåêîòîðîéãëàäêîñòüþ, à f óäîâëåòâîðÿåò íåêîòîðûì óñëîâèÿì íà ðîñò ôóíêöèè (â òîì÷èñëå, âåðíî äëÿ ñëó÷àÿ äåëüòà-ôóíêöèé). óêàçàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ,|EW (T, z, h, f )| = |Ez [f (ZTh,0,z )] − Ez [f (ZT0,z )]| ≤ C(T, f, σ, b)h.(5) îáîèõ ñëó÷àÿõ (i) è (ii) îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâèå ìåæäó Ez [f (ZTh )] è ðåøåíèåì ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ýòî ñîîòâåòñòâèå äàåò íàì ôîðìóëà Ôåéíìàíà- Êàöà.  ïðåäïîëîæåíèÿõ, óêàçàííûõ âûøå, èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûå ìàðêîâñêèå îáîçíà÷åíèÿ, v(t, z) := E[f (ZTt,z )] ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ:((∂t + Lt )v(t, z) = 0, (t, z) ∈ [0, T [×Rm ,(6)v(T, z) = f (z), z ∈ Rm ,ãäå1 Lt v(t, z) = hb(t, z), ∇z v(t, z)i + Tr a(t, z)Dz2 v(t, z) , a(t, z) := σσ ∗ (t, z),22- ãåíåðàòîð, àññîöèèðîâàííûé ñ (1). Ïðåäïîëàãàÿ íåêîòîðóþ ãëàäêîñòü íà v ,ìîæíî ïîëó÷èòüEW (T, z, h, f )= E[f (ZTh,0,z )] − E[f (ZT0,z )] =N−1XE[v(ti+1 , Zth,0,z) − v(ti , Zth,0,z)]i+1ii=0=N−1XhZEti+1tii=0n∂s v(s, Zsh,0,z ) + ∇z v(s, Zsh,0,z )b(ti , Zth,0,z)io i1Tr(Dz2 v(s, Zsh,0,z )a(ti , Zth,0,z))ds+i2N−1 h Z ti+1 noiX=E∂s v + Ls v (Zsh,0,z )dstii=0hZ+ Eti+1tin∇z v(s, Zsh,0,z ) · (b(ti , Zth,0,z) − b(s, Zsh,0,z ))io i1h,0,zTr(Dz2 v(s, Zsh,0,z )(a(ti , Zth,0,z)−a(s,Z)))ds+si2N−1 h Z ti+1 nXE∇z vε (s, Zsh,0,z ) · (b(ti , Zth,0,z) − b(s, Zsh,0,z ))=ii=0+tio i1h,0,zTr(Dz2 v(s, Zsh,0,z )(a(ti , Zth,0,z)−a(s,Z)))ds ,si2(7)èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî v ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äëÿ ïåðåõîäà â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå è ôîðìóëó Èòîäëÿ òðåòüåãî ðàâåíñòâà â öåïî÷êå.
Èç ðàçëîæåíèÿ, àíàëîãè÷íîãî ðàçëîæåíèþÒåéëîðà, â ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíåíî (i) èëè (ii), âîçìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ(7), ïîêàçûâàÿ, ÷òî êàæäàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ (7) èìååò ïîðÿäîê h2 . Ýòî ïðèâîäèòê òîìó, ÷òî îøèáêà â öåëîì èìååò ïîðÿäîê h, ïîëó÷àåìûé ïîñëå ñóììèðîâàíèÿîò 0 äî N − 1. ñëó÷àå (i), êîòîðûé áûë ðàññìîòðåí â ðàáîòå Talay è Tubaro [TT90], ãëàäêîñòü v âûâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ òåõíèêè ñòîõàñòè÷åñêèõ ïîòîêîâ.
Äëÿ ñëó÷àÿ (ii)çàìåòèì, ÷òî â óñëîâèÿõ ãèïîýëëèïòè÷íîñòè ñëàáîé èëè ñèëüíîé (ñì. ïîäðîáíîÐàçäåë 4.1.1.), Bally è Talay [BT96a], [BT96b] ïîëó÷èëè îöåíêó ñëàáîé îøèáêè (5) äëÿ îãðàíè÷åííûõ áîðåëåâñêèõ ôóíêöèé f è ìàññ Äèðàêà, ïðèìåíÿÿñîîòâåòñòâåííî ðåçóëüòàòû Kusuoka è Stroock [KS84], [KS85] äëÿ ïðîèçâîäíûõïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà. Îäíàêî äëÿ èñïîëüçîâàíèÿäàííîãî ìåòîäà, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü äàæå ìîäåëè, âêëþ÷àþùèåíåêîòîðîå âûðîæäåíèå, íàì íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæåíèå î ãëàäêîñòè êîýôôèöèåíòîâ.
 ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷íîì ñëó÷àå âîçìîæíî èñïîëüçîâàòü èíîé ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé â ðàáîòàõ Konakov è Mammen [KM00], [KM02], îñíîâàííûé íà ðàçëîæåíèè ïàðàìåòðèêñà. Àâòîðàì, â òîì ÷èñëå, óäàëîñü ðàññìîòðåòüè ñëó÷àé ìàññ Äèðàêà â (4). îáùèõ ÷åðòàõ, ðàçëîæåíèå ïàðàìåòðèêñà ñîñòîèò â àïïðîêñèìàöèè ïåðå3õîäíîé ïëîòíîñòè ïðîöåññà ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñ ïîìîùüþ ïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé ïðîöåññîâ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.  ÷àñòíîñòè,åñëè ìû ìîæåì ïîäîáðàòü õîðîøèé àïïðîêñèìèðóþùèé ïðîöåññ, (íàïðèìåð,äëÿ êîýôôèöèåíòîâ b è σ â (1) - íåâûðîæäåííûõ è îãðàíè÷åííûõ), òî ìåòîä ïàðàìåòðèêñà ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü àíàëèç ñëàáîé îøèáêè ïðèáëèæåíèÿâ äîñòàòî÷íî ñëàáûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ.
Ìû ìîæåì â êà÷åñòâå ïðèìåðà óïîìÿíóòü ðàáîòó Il'in et al. [IKO62], â êîòîðîé àâòîðû èñïîëüçîâàëè ïðèáëèæåíèÿ ãàóññîâñêèìè ÿäðàìè äëÿ ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ(1) äëÿ îãðàíè÷åííûõ êîýôôèöèåíòîâ, íåïðåðûâíûõ ïî Ãåëüäåðó â ñëó÷àå,êîãäà ìàòðèöà σσ ∗ íåâûðîæäåíà. Àíàëîãè÷íûå îöåíêè áûëè èñïîëüçîâàíûKonakov è Menozzi â ðàáîòå [KM17] äëÿ òîãî, ÷òîáû â ñëó÷àå íåâûðîæäåííûõíåïðåðûâíûõ ïî Ãåëüäåðó êîýôôèöèåíòîâ b, σ ∈ C γ/2,γ ([0, T ], Rk ), γ ∈ (0, 1] èf ∈ C β (Rk , R), β ∈ (0, 1] îöåíêó:|EW (T, z, h, f )| = |Ez [f (Zsh )] − Ez [f (Zs )]| ≤ C(T, f, σ, b)hγ/2 ,(8)óëó÷øàÿ ðåçóëüòàò Mikulevicius è Platen, ïîëó÷åííûé â ðàáîòå [MP91], ãäåàâòîðû âûâåëè ãðàíèöó äëÿ (8), ãäå f ∈ C 2+γ (Rk , R). Äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèåãëàäêîñòè, èñïîëüçîâàííîå âûøå, áûëî íåîáõîäèìî äëÿ ïðèìåíåíèÿ îöåíîêØàóäåðà (ñì. òàê æå [IKO62]).Èíòóèòèâíî, óêàçàííàÿ âûøå ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìîæåò áûòü îáúÿñíåíà òåì ôàêòîì, ÷òî â óñëîâèÿõ ìàëîé ãëàäêîñòè êîýôôèöèåíòîâ íåâîçìîæíîïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå â (7) áîëüøåãî ïîðÿäêà.
Êîíêðåòíåå, ìû ëèøü ìîæåìèñïîëüçîâàòü γ íåïðåðûâíîñòü ïî Ãåëüäåðó êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðàÿ âëå÷åòñëåäóþùèé êîíòðîëü ïðèðàùåíèéhhE[|b(s, Zsh ) − b(φ(s), Zφ(s))|] + E[|a(s, Zsh ) − a(φ(s), Zφ(s))|] ≤ C(b, σ)hγ/2 .Äðóãèìè ñëîâàìè, ñêîðîñòü ñõîäèìîñòü ñêîðåå áëèçêà ê ñõîäèìîñòè ñèëüíîéîøèáêè â (3).Íà äàííûé ìîìåíò äëÿ ìíîãèõ ïðèëîæåíèé, òàêèõ êàê íåéðîíàóêè èëèäèôôóçèè â ñëó÷àéíûõ ñðåäàõ, âàæíî ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé íåãëàäêèõ êîýôôèöèåíòîâ, íàïðèìåð, ñëó÷àé êóñî÷íî-ãëàäêîãî òðåíäà â ìîäåëå (1).  óêàçàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, ïðèâåäåííûå âûøå ìåòîäû è îöåíêè áîëåå íåïðèìåíèìû. Îòòàëêèâàÿñü îò ñëó÷àÿ îöåíêè ñëàáîé îøèáêè äëÿ òåñòîâûõ ôóíêöèéâèäà ìàññ Äèðàêà, â ñîàâòîðñòâå ñ V.
Konakov è S. Menozzi ìû ïðîäîëæèëèèçó÷àòü óñòîé÷èâîñòü ïëîòíîñòåé äëÿ óðàâíåíèé âèäà (1) ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì êîýôôèöèåíòîâ. Äàííûé ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëåí â Ãëàâå 3,è áûë îïóáëèêîâàí â ðàáîòå [KKM17].Ââåäåì óðàâíåíèå âèäà:dXt = b(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dWt , t ∈ [0, T ],(9)ãäå b : [0, T ] × Rd → Rd , σ : [0, T ] × Rd → Rd ⊗ Rd - îãðàíè÷åííûå êîýôôèöèåíòû, èçìåðèìûå ïî âðåìåíè è íåïðåðûâíûå ïî Ãåëüäåðó ïî ïðîñòðàíñòâåííîé4êîìïîíåíòå. Êðîìå òîãî, a(t, x) := σσ ∗ (t, x) ïðåäïîëàãàåòñÿ ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷åñêîé ìàòðèöåé. Äàííûå óñëîâèÿ ãàðàíòèðóþò, ÷òî (9) îáëàäàåò åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì, ñì. Bass è Perkins [BP09], [Men11], èç ÷åãî ñëåäóåò åäèíñòâåííîñòü ìàðòèíãàëüíîé ïðîáëåìû äëÿ àññîöèèðîâàííîãî ãåíåðàòîðà â óêàçàííûõâûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ. Ââåäåì äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ìàëîãî ïàðàìåòðà ε > 0âîçìóùåííóþ âåðñèþ óðàâíåíèÿ (9) âèäà:(ε)dXt(ε)(ε)= bε (t, Xt )dt + σε (t, Xt )dWt , t ∈ [0, T ],(10)ãäå bε : [0, T ] × Rd → Rd , σε : [0, T ] × Rd → Rd ⊗ Rd óäîâëåòâîðÿþò, ïî êðàéíåéìåðå, òåì æå ïðåäïîëîæåíèÿì, ÷òî è b, σ , è, â íåêîòîðîì ñìûñëå, ïðåäïîëàãàþòñÿ áëèçêèìè ê b, σ äëÿ ìàëûõ ε.Èçâåñòíî, ÷òî âî ââåäåííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ ïåðåõîäíûå ïëîòíîñòè(ε)ïðîöåññîâ (Xt )t≥0 , (Xt )t≥0 ñóùåñòâóþò è óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûì ãàóññîâñêèì îöåíêàì, ñì.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
