Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения первого порядка (1989) (1135785), страница 2
Текст из файла (страница 2)
)зим тсс=лс»з В Стсцда у=уз ' „' нли Г И=.)/л . Возведем обе честв рззсксти.: кь»драк, тстда ДО~~ЧКМ 8 ="ЧД . Отсняв мсмно бс»с бч ч.гмк - „»тз, ло Врйб»»жрсвзнжя Но в дазпсм случае 7 удобпзс зы),'екзть в равенства (3,7) 8 "через т/Л .
Подавя, что с йбб, находам частное рзвекие М.(Гм ПОП(т/Л) З. (2. 8) Чтобы найти скорость лодки через 3 мвн восле остановки мотора, надо в Равенстве (3.8) пРвнать й 2 мзк: )7л Лосйй)'щмл,нм/м»». Прийв) 2»7, 8 резервуаре обьемом 100 л содержится 10 кг растворенной соле. 8 резервуар втекавт вода со скоростью 2 л/ызп,* омееь внтеказт из рсзврвуара с такой жз скоростью, прзчзм кокпзятрмпн поддарзкьается равиомерной путем постоянного поызыкзаивя. Сколько соли оетаявтся в резервуара по заточении БО кант Раызяиз, 8 начальный ьвмент ( к=0/ в сосуда имеется 10 кг соли. Обозначим количсство соли в рзэарвуарз в канхйлябо момспт вреыеки й чвреэ х .
Очввздно, что х есть Тпчосдя Х х у(т) „ в 1 л раствора содержится х/100 кг соли. следоватзльно, в 2 л ссдортптск Лх/100 кг соли. Скорость прироста количзства соли в едвнипу времани является производной ф-, а скорость умзньвеник количества соли будет равна †,~~ . ылздовзтэльно, з ыоьант времввв й будем иметь равенство 1х зк — — или — =- — Х- с(т МЮ с(Х Хб Это диф(ераноиеиьноа уравнание с раздзляющимися пвремаякыми. .а Нвходгч аго общее равенне х=СЮ эз . Для опрвделанвя С подставзы С=О,х за.
тогда тз ли~ с ю. Нзхо)гчы частное рехзние з к= юп ". Опредалим оставшееся количество соли в резервуаРе через 50 мин, полозив в последнем равенства с=эб: ж =тих -~ = дБВ ык 8тт ь»»лл.в„э ~ ~ ю» —. » -й Си' л потзнциалов яа обкладках конденсатора, 0 - емкость. Иак ызнлатся энергия конденсатора еэысстью С со временем„асли ок заряжен до разности потевцвалсв ва обкладках Ц, и разряжается через оовротивленвв Я . Ьййййй. По закову КираоФа, ы+М мд, где 3 - сила тока. Испсльзун ооотиованин а О»/а; 1= (Щ)4ЙЯ получаем;рЦерснпиальное уравнакиа дэя заряда ~ на койдеясаторз: у4+ -р4=0. (3.9) Обозначим ва)ал Ка обкладках конденсатора в начальный ыоывнт врмчвнк чзрзв ~,) т*в.
8 У ('О/- Ус. (2ДО) Находим рвиание уравнения (3.9), удовлатвсрюакее началькоэу уеловию (2.10): От=О,з ~с), Тогда яапрякеяие на обкладках ксяпзясатоРа Равно и и бз ", так как тз*ф/г в ав фс/с . нахо- (АМ днм энергию кондвнсатора: ' з лв С~~~ Сыл с Г г = г вр»»ьь 3 ~ » у О мип пвдавт со 100сС до 60оС. Твмпература окруквмпего воздуха ранка 15 С Чарва сколько В~юьюян от момвята начала охлзщнвяил о температура хлеба понизится хо 30оСТ Ревекка.
По закону Ньютона, скорость охлакпеиия тела пропорпионзльяа разности температур тела и окружающей среда. Такаю образом, с измвясявсм разности температур в данном процесса мвнязтся и скорость охглждения тела. Ппййервнскэльное узуавнапие в данном случае икает вид — = ы ('Т-3с/, гдз / - температура жлоба з момент Т ' со- температура окружающего воздуха: ы - козйрзпиеят пропстлпянзльноств;Ии/Ыг)- скорость изменения теыпературн; » - время. тогда, разделяя переменные.
пслучиыйт7//)-П,)= хм~с , или длк услспзн липкой задачвИ7~0:лэй=ы(Г. Интвгрируя, получавмА/)=»х7 ";: Т смс, .=лхыег . Пз начольяого условия определяем ю прв у п)0о, ы~д~~» гг»» с- тт» Палвчину 8» пслу чззы, исходя зз лаяногс дополкятелъного условия, при 3 »20 мин т~. Оа.
,уо тх ~8/аз и и» Узг~~т. ут Фас ( т !1 Тзкмс образок, урззнелюс в условиях навей задачи примет вид /, и ( т)~~то куем Нз псгс лсглс опрэдзлзть исксысз арсик С П)ю тсыпаратуРв клаба г::.т)о: „»; )(4р „~ ~. ~ т з/лз Сы~ КЧЫссг'~Ы Катализ -тз/" ту -гс л тою " ' »'.т ',~к -стигт Птэх, чср,з 1 ч Х( ызя хлсб охладится до теыпвратуря 30сС. щедр 2йя. Т ~ й 1 КОД СКОРОСТЬЮ ф мйОО Ы/С. СОПРОтВВДОНБС ИОЗ;Уха ВЩВЕДДЯСТ Ее двквеякв, сообщая ракете стрвпатедьнсе ускорение, рськое — квх (где Р - нгповепная скорость рахеты; к - аврсдвпааячесявй коврряпкент). Определвть Время Достнвенкя ракетой наивысшего полокеьпи. Ресщыке, Двякенке ракеты пркяпмаем условно за Дящанке ывтеркаяьюй точхя ЛУ.
Тогда общее усхсгекяе ракеты й прв двякеяяя вверх будет: Я -б-КВ С~где о - Усхореяяе свободно пядвощего тела; — к~ х- сопротявяеяке вовпуха). Твх квх 4=~~~)4гф уреьявяяе прпмет Внд(ссьсфуй/=-Я - ки.я .Раадеяяя переыевъе,псхучхы (с.'Я(д гкИ= — Йг, Бяя Йбм)тй «(к 'тгф3) = — уФй.йяя вытегре ровюия проводям кехсторьм преобрввоваяяя Урввпеявя 'ф~(+~ фй " "~ь ' нятегряруя, Вмееы пдс ф()у В~= — фк ~."' ~.б. й Э. ОЛ(ОРОВ(Н Щ4ФИ'Ыйй(ДДЪНЮ УРДНННОЩ Одяородяым дВФ(ереадальныы называется уразнекпе М(х, УМД+ Д((х, ВЫС=В, (3.Т) В хстсрсм 4ух,ы), Ф~Д,И- сднОрсдные ф(яхпкк сдвнаюсвсй с1 епеБВ СДВСРОДНССТВ . "ссппщя УАТ) называется одпсрсщюй ФУ1пс'Вей пвреыеннпх х,н стспзнк пь, еодк Выполняется тсяпсствс с'Фх М" г тук.ь) дйя лпбсгс Впаченяя ОВВСРсдное УРВВВВНВВ Всетдв ысжеТ быть прквсдепс Х ВВДУ д Я~ (3.3) где г(ф- однородная Фувкпвя нулевой стспевп Осдстеновха с ых прввсдгт сдяс)юдвсе Уравеоняе к дж-БСБяе с раздеяяхвщмвся гвреысяяыыя стпссятедьпс Вовой Ввясвествся 'дтвхппя и, Подставляя в (3.2) Р цх , ы' п х 'и , пссучвы Уйеввеяпе С 66ДЕ Ь ВВВГССЯ.
Пе)СВМВБВ- ЦВ М'Х ~а ТДС~ ЫВ1 ! Ф~' (д(4-п) =сь(х/х . Находвм сбщяй Впсегрвя сдпсрсщщгс УР~~Ввьък (3.2): ; .Ды в Р Вх вх~х: н~ ыэй . ВВЫ с ~Й Ъьюьвю ди В МРЮ А.янй(ФМ пййщййй, Нреобразуя- Р'*гвИ(ух)-('НФ~ дпзувмух) "И'щ ( В'х) ' гру ) ' .' получаем Однпрсднсб уравнение В (Рдх). б(ч д(ь умдх)д; нодптвнив 'НЙ" и' В'=.мх+ "' * Вод)спвх „й, уравн Раак94янмПВ Р йрв яч В(мгаь Разделяя пвременнне, получим ь В:, . ( "„:~ ~-".', Ийтегрнрук, находим А) Вкщ' м)-жь(ж(=гФВ, А(Фьщау-Мх! Нчб. Н ОЗМ Общий щГГЕГРЕЛ А Вма ( РУХ) бж ОДНОРОДНОГО ДИФФВРЕВПВ- азьяого уравненвя, е ыйхь а н ~ у ~ 4 ая ЗР (Р.'т-уйж НН +хппз'$ м.
(), удовяетворяющее начальнону условию х(4= мУВ Рйвйййе, Нрвведем уравнение к инду т е к Виду однородного ддФФервнпнвльксго уравщ~' СтаНОВКУр/Х В У "Лвм. ВМВВМ Ый' В И ЗдЬЗР -1(йсфы,у» — уравкение с рвздемвмщнвск. Вераменннмн вт -Фдх,сУ~щ) полУчим -Рф(иффМФйх)(пнадодим Об(йвй интеграл Д б бст ( — Д~~ЛУ~.ДД КЛН ЛФТ/ПВ~/м ВХОД~! ОДНОРОДНОГО урввненвя. Дойдем частное рещение, удсвлетворитщез ианальнову усдесяы тб/~д~з; УУаупввф Ап. огссдс с= ФФ . частный интеграл имеет нзд й4з4кщйгдхд( щхусйй/. гяя ' ДФСМуЯ)ых.. ,')РНЕР.З 3. Найти Форму зеркала, Отраиммщго ВОЕ ЛУчи, нн- ХСВКЩЕ ВЗ Задпяасй тОЧкн 0 наринщйьво',зздввмсщу нан)ЗВВЛЕННВ. Гсюевзе.
Нрвыеы за овь Ж Вадааве напрвихенве и за начало хосржщнзг ВОЛяняую точку 0'. Рзсоматрим сечвкие Байкала плоско- стью, прохсдсщвй через точку дт(хфзеркела н Ось дХ (рнс.й). ,Фссь ЯЯ -. Борюсщ к ..Риной, Опрадедкйщвй сечение 'зеркавк. тск ьвх угол падения равен углу Отранвнни„' то Нес Д,Н . Но Угол У рапеп углу В (накрест Лаиащвв при Параллельпнх). Следопа- ТТ тогда лс А/г'-,Ри-т~ -', А)'раях А и, ~~/~~-~4Я-4= Я~' ' ~'-' 26-6'=' Зознрмзаноь к переменным я „у .
находим общий интеграл ф~з~л-Р~у з3~ж-т)-(ж-.т)а Е денного уравнения. Црйщйр 4 2, Найти общий интеграл уранненкз (йж Ф,йу 4)хйя+~х+Д'~уф'~о Рзййййй. 3 этак 'уразнаянн й„-й, 8,:2, яма, 8=4, т.а. Д О. ПОЛЗГак И=яеу,' бУдаы Кнатз Фнфх(й) ~З-З~Н ~~. Разделим переменные -(й--")~йи я(к ж -и-3%й-и! збтг (л-з) Ф / 2х ~у в 3 яа(Щл-х.-р)). Падании общий интеграл сф-х -ф е ~Ля'РРЗ Даянстс УРаняакнк, линейным дмрйеренциакьннм уразнением перзого порядка называетск уравнение, линейное относительно неизвестной функции н ее прозападной: у'+ рЫ3у щ(х1, (5.1) йсли о(хМ, то уравнение ' р'~,с~юф =О (5„2) наапаатся линейным цчнорсдкмы.
Если (~ухфй то уракненне (6.1) назынается лазейкам яеоднороглнм. Общее ранение линейного однородного ураанекак (5.2) икает знд У РР.~" ' (5.3) гда с прсиззольнея постоянная, Мз (5Л) получим частное ранение уразкенкз (5.2), удовлетворющае Начальномг 1 слсзип х ХаМуа„п ззда у р Е-ХЯ )ох (5,4) Общее рапвнна линейного неоднородного уразпаззя (5,1) ясина найти сладуззпии матодаын 1. Иетод Лагразжа (зариацзн пронззольнкх постоянных). Рассмотрим линейное однородное уразнагла. соотватстпующаа (5,1): у'+рй)у=а . Общее ранение аго инат ззд у=ееФ~™(гла г - постоянная).
Будам наката рамзана линейного неоднородного уразяанна (5,1). с татаа Г фуазщивй х, т.е. созеркзя замену перемеяипс: 14 у ОЫ)е уе~~'ух, (5.5) где С(х)- новая неизвестная 4ункция. Длк опРеделенза еУх1 подстаззм псы~икании и (6.5) и У' в ураженив (5.1). получи еФх~е =ф~сткуда, интегрируя, находи е(х~=уу~',)е'~"'~~ ах е, где Š— постоянная, Подставляя найпанное С(х) в (6.5), находом общее решение: у е М™~ ~ ( ~еГ~ЪЯ(йхц (5.6) 2. Ьетод подстаяоаки. Бузине искать ранение в виде пронззеде- ння двух неизвестных 46чткпийг и и(лц) )г('х3, (5.7) одна из которых / Ий~нлин4я)/ жмат быть выбрана произлольно. Подставляя (5,7) в уралнение (6.1), получаем м)т+ин'+с(х)и~г- ууж/ или )гй',Фх)ы/ .нзт-'=у~я).
Нахсдпы какое-нибудь чаотнсе Рещение тсЩ) нз уравнения и' рФ~и = е . Затем - общее рещение )т=ьчхду из уравнения ив~-йх~, псдсталляз найденные фунщни ибщ) и тз Яхд и (5.7), звхсдзы общее резекне лннейвго кеоднородяо1о уреикеиин (5.1). Ы1иер 6 1. 1)айти общее резекне уравнения 7У'-Лр йз (' 0а Ря~ея:а. ! Л+т)у'-2~: Е ух+О)~, т.е. ,;~ ~з ~х,,ра еза(х,„)~ — линейное неоднорцнное уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
