Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения первого порядка (1989) (1135785), страница 4
Текст из файла (страница 4)
г1 ~ах и-й способ. для интегрирования урагнения воспользуемся подстаназкой у = игл, у'= и'„, та и Подставим зна"ения и, у в данное ураляение хиух их а'и тип = и'1 ~ Са», С н х или у= тхаг ' или гг---Ж(Р тхаг )г т.е. его уравнение оемейстиа гипербол. хи'(л - и/хи' а)=и'М' 1ал Наберем функпию и- такой, чтобз хи'+г =а . тогда хЯ)гЯх)=-)л (г»н)/П= -гг(х(Гх .
))оотаточно найти одна отличаащ.соя от нуля решение, позтому»г»м=-)их, М.=д . Нолстзыяя найденное б значение щ з уразненве хи'=и'с.СН», получим и'=иг(Улх/хл) г)/и)/и»=ф~х/хл)гух, ((нтегрируегг: „= Х (а» Х г Г г-СЛ) НЛН и = - —, Гг~ » г с.е Так как у=ми., то находим общее резание 4п л Сл. Кроме тога, наше уравнение имеет еще очевидное решение: у=и Ппиюр 6 2. Найти уравнение кривой, у ко»оран отрезок, от- секаемнй касательной на оаи ордннат, пропорционален квадрату ординатн точки каоаккк, Рййедцй. Напишем уравнение кааательпой (рзс.н) как уравнение прямой с угаопам чазфйпзектом и=кхг6' плз у=ут ./. по усло- ищс задачи е тмул.
тогда у ух ~т~т'. Получаса уравнение нер- нулли у' х л зг Разделив его на уи, имеем т утт щ у л: Ж®ЛЕ назф3е некзиес нущ фуякцищ к=т/у, сагучат' а.носи»елька линейное ураинеине т л - — н — — =-а. х — х Решая.зто уравнение, полу 1ин Рис.о и 7. УРИНЕННП Н ПЮЛНПХ Н)!ймй' — Щ(ПП(лХ Назьюм диббаренцнальное уравнение Р/х, у)сбх ° 4'Й.. у)гну =П, (7.1) где )/х,у), Я/х,у) — непрерманне Фоснкнзи с нап(аранта частники произнодннмщ, причем 9))(х„уг)/) ду) =фИСл)у))/1ул) Оно назниается урвннвнием и палках днсйорегл(валях, т.е. пенза часть уравнения есть полннщ дн4аереющвл некатород гуу~жсии и/х, и) Его сбщнй интеграл навет Щчд и/х, ф=г.
Пблз1Д ИнтЕГРзл уразнения и полках диФ))зреньдалах молит бать найден следушшкм образом. мономан Шункадя и(х,у) далина удоилетиоркть диум соотносщнням р — „=)з/х,у), = =й.(х,у). ии ди Колк оне удовлетворяет первому из ~мк, то и/х, у)=/') (х, уИх ' Фу), (7.2) где интеграл справа - и предположении„чта у н прапессе йатегриразания постоянен (л/у)- произиальная дммренщируемач Функтгя у, Дий~ерендируем и/х,у) и (7.г) по у Отсюда ' (хч у)=)ух'еЫ' х'е"'у(у), „,> „! х'е" -у>(у), (7.5) ду >зу 1-(> ! ' У) и прзрязниввеы к ~7 д >>у (У(а(х у)>(!')+ Ч уу) >()(х у), 7>уу) = (>а(х,у) -'и†.
((('(х, у)г(х) Определяя у>(у) и подстввлвя в (7.2), всходим > (т у)-е - обтп>й пятегрвл урввнвния (7.1), Прпмеер7.1. Решить дяф>ф>ре>пл>вльное уравнение Л ХЛ Ещх > (Х Е т- «)О(у =д Ревепгв. ймееы дпт>фчреяц!«стьное уровне>п>в в полных двффврен- цивлех.
Обознвчвв)7(х,у). «хуе ° >т(х у)=>хе-«, легко убедимся, что д>7 М2 ду дх это в есть необходимее и дос«я.очлов условие того, что вырвяввив их'е">(х >(х'е'- «)>(у ес>ь "ол>>нй днфрорен>П>вл некоторой' Фун«св>и м(х. у). Тогда: — =« 'е> ды дх (7.3) (7.4) ду 1(нтвгрируя (7,3), получаем В процессе внтвгрировзния очи!ееы у постоянной.
произвольная посто>имея ннтег,ироввния мон(т быть функцией от у , тек квк пропзводнвя по х т техов ф)якпив Ража нуг . Оостсвп>! Урввявние для нехокпвяия 7(у). дпя этого нв)дев(ри(х.ур((ду) используя (7..3) и приревпясы 17 в) ! х>е"+уФу!-х'е"-«=«у(у)=-!> мчг(у)=-4у, >1у>= -у. 11одстввлвя нейлсонов значение >!>!у) в (7.5), буде>: пясть >>упк>мю и(х,у)=х'е"-у, потерян опрея леня с точностью ло произв;инной постоянной (ее взяли резной нум>). 11вхолим обшпй интеграл х е у =г лн>п«ого дп>> рея мягьнсго уревясяия. ф В. ВЛДЗО( ВИ ОЗЬВ)ОТООТЯЬНОГО Р))ИОЧ Отсутствие унииерсядьного метода сведения проблем естествознвякв в техн!нм к звдвче!в теорвв двффере!п»вальяых уревне!нвй не иокзючзвт отдельных, но все кв срввнительно общих приемов построении урнм«евий. Отметим некоторые из ых.
Прв решении геометрических звцвч няряду с двкзртовнми прикеннются в полярные координаты. Выбор свето>л! коордвяят определяется хврнктерам з!щачв. Аслан этот выбор, следует твердо помвить гесавтрвчесзий смысл производной первого порядкя, лв";фвренпикзв и определеквя подкесвтельяой и пота!орчвлп в декартовой системе координат. В некоторых звивчях дул!в> вкыо формулы для диф- ФВРЕВЦИВЛВ изныв ДУГв и крввизкы плоской привоя. 11риивнв>п!е полнрной сиотемы координат оснсвмввется на геометрическом о>свсле производной ркцвус-векторе По полярному углу.
Уксивп основныв соотношения (рвс.7)! же~ - — ЕПЗУ = >СНУ вЂ”,Зд > (Ч:-~(Г ..Г'>>((- >ттй й !ф~,>, . > В> >и)> з ь .»' Нрвыенение декартовой системы иллюстрирует слеьуюввя эн!!счя> нзйти кривую„для которой длине верпенди.~:;п>рв ))-"', оыущеяеого из точ!а >з вв квсательную, равна и, )« — пров>с.ия нз ось ()т топни кясвявя ~' (рис.а). Рис.7 Рис.8 1)усть (> имеет коордянвты Х , у И Угол 'ВА>с=а'. Тях квк (уа'=у( то Ат7= у/у( По условию задачи нывем » Й.й. = >дв>т =— у «71 у» Отсюда, счвтзя у>в,р, имеем у пуО;у,р. Решая относительно провввсднсй> ньмвм !)ут->ь> >тх >т Тез1им образом, под'п/лв уравнение с разделяащиьщоя перемегпи/ыв.
гио общее равенне имеет вид а у=сан» вЂ” в а. Жлл у' п, тор=а и р -аудовлетибряюг 'условии задачи. перейдем теперь к приыепенмс полярной системы координат, Пусть требуется найти кривую, касательная к готорой составляет с радиусом-вактороы полярна11 угол гг . йругиьщ словаьщ. угли 9 и 8 должки быть равны ыегытт собои'. используя соотяоиение — ' Щ-бур ° получаем искомое уравнено 1/,О ./г /7В =~'ыс~ или й „- ат.а' 41/,С~=А~У.~Я Аг-, Р=г;а*д. Общие реиениз ИРедставчяет очевидно ссыейстзо охрулигостей, касаиизткая полярной оси в полюсег укг+Иг -б г/ агу+Нг' и задачек ыеианики праде всего докю1О бить отчетливое понимание различия срсщгсй скорости дзито1пм и "скорости в данный 8/т-аг)-ч/// /;'г)=/.~ О .ь г Гдс ь'//1- ПрсйдЕНННС Путъ В 1ЗОЫЕНТ / Но ыногих задачах ьюла/1ИКВ УДобна пользоваться пс прсззводной з ///, а диКеренциалоы /Ут.
ууф/йи . предсталюпхзы1 По опРе- ДЕЛЕЗИЮ ГЛОВИУЮ,ЗМЕИНУЮ ЧаотЬ ПРИРЕЩС1ПИ1 11УПК1П/И. Сглг Ояа ЮатИН- ного приращения нсз""естпой фзипгии ес дгьг4Т, знгь1слсь1 Означаот позтщу линещризпцш пйоцесса. Слетуот упгтзвыт „ЫО В Равенстве 7 лгал/ — г/х/=Г/л/ат г-г1агъ г 4ункция 4 46ьфесть бесконечно мался ври ал-гс, пбзто/зу згорос слагзгмгое в правой чсоти реваггства есть бесконечно: ""з в/кгюго порядка пс срзинелпю с ь х. Поясним несколько детапкее щименевие погьчтпя лпа.'юре/ивг,ыа, АОПУСТИЫ, ЩУКО Найти фУ/ПП1И11 Р~Г/г ОППСЫВавчй'С 1"11сй-Г'1бс 11ЕХ ничвский прсщьсс, зсвися1ы/гй от заданной 1//1пазги - /,, прп сзыг.- ЯЕКИИ ВРЩааагз г .
РУПОВОДСТПУЯСЬ Ооиерпаг ПРИ ЬЗ1ПС:1:- "'З/гРЗ1СЗ1- 26 ЗЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНЛ/Я, Рассуждают следуюгв/Ы Образом. з/сли рассывтривать процесс на временном интервале от й до '- Г, где а/И=а/'-- произвольное прирщиеиие врюге/Щ, тО ПРи "бок щоы" бь задача не упрощается, так как .Щ будет ииеть разючси/е эяачения„например в моменты г и/ли .
г гола б,..., й г из ли. и-а / . упргщение задачи по.цчеют в случае, когда читмг/ прирещегпге аг "ОЕСКОВЕЯго МЕЛ/лг" Прняныасм а и Кастолзко ЫИЛЫЫ, Что йга1КПЫ 'зс/с/, от котовой зависит дагпьга1 процесс, са это вгсгя ыс/ьтется так малс, что ее можно приближенно считать постоянной, разной значению //1 В НачадЬНой тонга Интервала(;. Г га//, Г.е. Эпачс1щс 1/г/и/. Степень такого прибюжегсот Зависит Ог гаЛОСГП а/ . Указанная приблнжепиаз замена известной пер:ыегпкй, «",1 яа ее посто- ЯННОЕ Зваг/ЕНИЕ СУЩЕСТВЕННО УПРОЩаст ЭВЛ11ЧУ. Это ПРОИСХОДИТ Исто/З, Что УСЛОВИЯ Ззлази ПСЗВОЛЕЮТ ПРИ тмгщг ПО/ьнзпс ВЫО:КИГИ 1/гйсбта1- жеинс прирзщегп/е а4/ыС//с га//-СЩпепзвсст11ой су/псп/и чсроз эначе/п/е зада1ной фушапги /// з точке /' и арпртисп;п..гг .
З/а зсз- ЫОТВОСТЬ Всэгмяаат В ПРОСтайчмл С/ГГ/азя, Й ОС,КЕ ОЩИПЫ Слг ЬЫП1 аР в сищ/ условий зэдачи ыслст бьгь пыржаь краз 1///, г и неизвестное значение Ф в то пге Е . Втс сз11счссг, чго прзлодят К ПРнблзжоянкг соотноысяияы вада а//~/'=,-";' а/ арг/ы ~г/'Г, Ч/////'ас, где /. и 1сг - Нззсст/и/с:;.;..СССП1. /1РУГЫЬЩ СлоВЗЬЩ, ОПРЕДЕЛПЕТСЯ С~ЛЩТЧЯ СКОРОСТЬ Зэис/К Щз Ноз.ныытасй Ь/1П1- ива РФ . Ир — ыС®, — ' =С„/.- ат 1/О/ГЧсрЬВЕЬ1, Что В боасе Сдстгагг Сгт,аатк Средь в/ Ссорсстз,з ~/С ИЗЬЯНЕВНЯ НсаезссТясй фтпып1И /// озрся/1Ъ/атсз ггоссз ЗЗЗСОП/У/З $уьпгкгю двух арга1ентсв„иэ иоторыз втооой пьсдсгк: кт пзззвссгяую Йзаьсию ь///ф. Нредслыпгй перепоя и право"::т В;,;-:,ер з.з аььнм травке/гич*1 1кгс~асй чаыаш1 /Ы/1'// /а г 1 — / ~ '/ й1 чы У'1 .-/'Г.„Т„: АРггсгозт ~' ЫОХЗГ битЬ НЕ ГОЛЬКС ПС:-:ЫСГРСЫ ВРС1/с/СЫ И СС1тозраог ЗСОСГСйьь/И По.а:ЕС - пуго/о/тлясыго Ерс1, Сцо1З/С ГСЧ11И ЕДЗ/сыа/ой Ыасоо ЗДОЛЬ ОСП О/г- ПОД ДСИСТЗИЕП СИ/Ы, 11СТОРас ПО г11агчгс'"ь"гг' сч з' пр '.'1ы" еа-к*- гсч'с/:." к" г *:'1" н резить постачлегпсую задачу, Пожгая дх ггаюпщ будем считать, что задажея с)этааапс с)г в интервале ссх,хссах) имеет постоянное значение, равное фт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
