Казанджан Г.П., Савин А.С., Филиновский А.В. Системы дифференциальных уравнений и элементы теории устойчивости (2002) (1135782)
Текст из файла
ь;; . "'"".;.,":;,, -'$',.;::;,'.;,' Н- -,":= Московский государственный технняесквй университет именя Н.Э. Баумана Г.П. Казандккан. А.С. Савин, А.В. Фвлнновскнй СИСТЕМЫ Лиф РЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Месиодическис рниоаиии к вькаоаиению домашнего задании ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ яу3, йо'т „О "„р ~я~ф)ц~$4$рного здесь срока Под редакцией А.В. Фи авивского и Зик. !52. Твр Москва Иудатевьство МГТУ именя Н.Э. Баумана ийа —.- ~— Рецензент Е.М.
Попова Казанджан Г.П., Савин А.С., Филиновский А.В. К14 Системы дифференпнапьных уравнений н элементы теории устойчивости: Методические указания к выпояненню домашнего задания / Под ред. А.В. Фипиновского. — Мх Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бауь«ана, 2002. — 28 с. В пособии рассмотрены системы обыкновенных дифференпиальных уравнений, Приведены краткие теоретические сведения, представлены решенные примеры, даны условия домашнего задания.
11пя студентов первого курса всех факультетов, Бибп««огр, 2 назв. УПК 517.9 ББК 22.174 Геворг Погосович Казанджан Александр Сергеевич Савин Алексей Владиславович Филиновский СИСТЕМЫ ЛИФФЕРЕНПИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ив И ЭЛЕМЕНТЬ| ТЕОРИИ УСТОЙхзИВОСТИ Редактор Е.К. Кои«еаееа Корректор Л.Л, Мааютина Изд. яип. Кз 020528 от 25.04.97. Подписано в печать 10.04.02.
Формат 60х84)'16. Бумага офсетная. Печ. и. 1,75. Усп. печ. л. 1,68. Уч.-изд, и. 1,48. Тираж 100 зкз. Изд. 7йз 89. Заказ бФ Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 107005, Москва, 2-я Бауманская., 5. 18ВХ 5-7038-2012-Х (с) МГТУ им, Н.Э. Баумана. 2002 (1.1) — = .7.(х,у«~ " " у-) 6уя 6х где х — независимая переменная; у«(х), ..., Уа(х) — неизвестные Функц«!«с Определение. Задача отыскания решения системы дифференциальных уравнений «1.1), удовлетворяюпхего начальным условиям у (ха) =у, уз( с) =уу.:у ('а) =у (12) называется задачей Коши.
Теорема (Коши). Пусть функции Л«, ....~'„н их частд~« ные производные —, «,у = 0,1,...,л, непрерывны в некотоду,' рой области П пространства Я"+«. Тогда дпя любой точки ( хо. У«, Уз,, уе ) 6 1) найдется число Ь > О, такое, что при хс — Ь < х < ха + Л сушествует единственное решение задачи Коши (1.1), (1.2). Определение. Решение у« — — у«(х), ... „у„= «з„(х) задачи Коши (1,1), (1.2) называется частным решением системы (1.1). Частное решение системы уравнений (1.1) может быть задано неявно; Ф«(х у«: . Уа) = 0 Фд(х,у«- . ~ уп) = 0- Определение. Совокупность равенств (1.3) называется частным интегралом системы (1.1). В области единственности решения задачи Коши образуют семе««ство у« = «(хсС«, ....
С )., 1. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Обп«ее решение Определение. Нормальной системой дифференпиапьных уравнений называется система йу« — =Л(х,у«,." у.): бх зависящее от п параметров: '-1 У1 *-3 Уя»» ' » У»» Определение. Семейство решений у> = -~(х.См ..., С„)> „„=;„( .. С„..., С.) называется общим решением системы (1.1). Если известно и независимых 'первых интегралой спстсмы (1,1). т. с. такпх, которые можно разрешить относ»тельно у1(т).... ..., У„(х), то общее решение системы может быть задано неявно; Ф>(х,ум,у ) = См (1.4) Ф„(х,у», ...,у„) = С,. Ус:ювпе независимости интегралов «1А) означает, что якобяан В(Ф>...., Ф„) не равен нулю тождественно.
11(у> " >у ) Определение. Совокупность равенств (1.4) называется общим интегралом системы (1.1), а каждое из равенств (1.2) — первым интегралом системы (1.1). 2. Методы интегрирования нормальных систем 1. Сведение к уравнению высшего порядка. Одним из методов интегрирования нормальных систем дифференпиальных уравнений является метод исключения неизвестных функпий, который сводит систему (1.1) к одному или нескольким уравнениям с однон неизвестной функпией в каждом.
Поясним зто иа примере. Пример. Найти общее решение системы Ф. у( йх у>' (2.1) ОУз» вЂ” = у> ° бв Решение. дифференцируя обе части второго уравнения пс> х» получаем уз = у',. Тогда из первого уравнения следует. что уз —— —, но из второго уравнения у1 — — у, поэтому система двух »» у> » у'» Одним из решений этого уравнения является р = О.
Таким образом, » у = О, уг = С„а из второго уравнения системы следует, что у1 = О. Получаем решение скстемы у> =О, уз = С. Лругое решение уравнения (2.3) является решением уравнения р'уз - р = О. (2 Разделяя переменные в (2.4), получаем с1р <Ьг р у"» Интегрируя (2.5), имеем 1п(р( = 1пуз + С> и р = С>уз. Поэтому оуз — = С>уз дх н 1п уз = С>х + Сз, Таким образом, С *Есг В силу второго уравнения (2.1) получаем йС ЕС>г+Сг (2.5) Следовательно, общее регдение системы: > С,*+С> » ,С*» г-~.ог Ответ.
Общее решение: ~.еС»г+Сг гС еС>гесг уравнений первого порядка (2.1) сводится к одному уравнению вто- РОго порядка УзУз' - (уз)' = О. (2.2) 5 равнение (2.2) не содержит явно независимой переменной, поэтому подстановка у»з — — р(уг) приводит его к уравнению первого ПОрялка 2.
Выделение интегрируемых комбинапий. 3апишесч систему (1.1) в виде с)ус «1112 71(х,ус,""у.) 72(х ус " .у ) с(у»» с(х ~'»(х ус -. - У») 1 Форма записи (2.6) назывкетс.я симметрической формои системы «1 1' Будем искать тВкие кОмбинапии членОВ рВВенств (2.6), линейные относительно дифференпиапов, чтобы в левой части стоял НОлный дифференпиал, В спраВ — нуль.
Интегрируя этОт полный дифференпиал и приравнивая результат постоянному, получаем первый интеграл. Если таким снос обсзы найденсз п — 1 первых ент«ГралОВ, мы по,1ь'1аем Ос)щей интеГрал (зкВНВВленгный Общему решенаю); если найдено и — 2 первых интегралов. Отысканае Обпк'ГО р«щения «ВОдится к интегрнроВаннк» дпфференпнВльнОГО уравнения первого порядка. При этом иногда полезным оказывает(я следующее свойство равных дробей: ес;и 01 О» О„ Ь1 12 Ь„ то при любых йс, ..., Ь„имеем йзас + йзпя Е .
+ Й„а„ 12,7) Й1 Ь; + 12»Ь2 + - + )«„Ь„ Числа Ь1..... 1.„подбирают обычно таким образом, чтобы числитель в (2.7) был дифференциалом знаменателя илп жс знаменатель был равен нулю. Пример. Наати общее решение системы с(У1 У. с(х (у» — у;)2 (2.б) оу Ус (у — ус)2 Решение Запишем систему (2.8) в симмстричск кой форма «1ус с1у ' «1х (2.0) уз ус (Уз — ус) 2 Лве первые дроби из (2.9» дакгг интегрцрусмук1 комбннвпшо усс1ус — у»йуз -= О. из которой следует первый интеграл 2 2 У1 — Уз=' 1 Лалее, приравнивая тре.гье отношение комбинаппи с(ус — буз «1х Уз — Ус (Уз — Уз) получаем первый интеграл 2Х+ (У2 — ус)' = Сз.
Ответ. Общий кнтегралс 2 2 У2 — уз = С1, 2х+ (рз — ус)2 = С . Пример. Найти общее решение системы с(ус ус С(Х Х (2.10) 4~а У1 с(х Решение. Запишем систему (2.10) в симметрической форме: 11 ус с)ря с(х У1У2 -ХУ1 Хуз Первая и последняя дроби даюГ интегрируемую комбинапи1О. с»О. крашая равенство д~~ д~ Рсрз Ху» 1 на — а интегрируя, получаем первый интеграл у» — '=Сс, Ус Лалее, используя (2.7), получаем ус«1х + хс(ус с)уз У1 Уз Г Хрсрз Хус о(хус) с1у 2Хусуз -ху1 ' и с)(ху1) = -2р»брз.
Слеповата»зьно» ху1 + у", = Сз. Ответ. Общий интеграл: х — =Си У1 з х((, + у,, = Сз. 3. Системы линейных дифференциальных уравнений Определение. Системой линейных дифференциальных уравнений называется система ЙД~ — = л(1у( + ' + азпуч + Л Йх ) с1дд =и 11~+' +о у +з г(х Система линейных дифференциальных уравнений может быть зашггаиа в матричном виде: Коэффициенты а; и функции,Г; в дальнейшем будем считать вешествениозначными и непрерывными на интервале, где ищется решение системы. Определение. Система линейных дифференциальных уравнений называется однородной, если у = 6, и неоднородной в противном случае. Однородная система вгггда имеет л линейно независимых решении У1 = - Уз =: ° У =: .
(3') Определение. Система (3.4) и линейно независимьпг решений системы (3.3) называется фундаментальной системой решений. Определитель Вронского фундаментальной системы решений (,„(ч „() (у( у( Иг = (Ц (а) ( отличен от нуля в любой точке интервала, где рассматривается система. Линейная комбинация С(у, + . +С у„с произвольными постоянными См ....
С, линейно независимых решений у,, ..., У„однс родной системы (3.3) является ее общим решением. Теорема. Общее решение системы линейных неоднородных дкфференпиальных уравнений (3.2) представляется в виде суммы общего решения у, (х) соответствующей однородной системы (3,3) и какого-либо частного решения у„„(.с) неоднородной системы (3.2) у(х) = у„(х) + у„„(х). Частное решение неоднородной системы (3.2) будем исхать методом вариации постоянных. Пусть ум ...,у„— фундаментальная система решений соответствующей олнородиой системы (3.3).
Частное решение неоднородной системы (3.2) ищем в виде и у = ~~, С (х) уь. (3.5) Подставив (3.5) в систему (3.2), получим Сьуь + ~~' Сь(уь — Ауь) = Л (3.6) я=1 ь~( Вторая сумма и (3.6) обрыцается в нуль, поскольку уь — решения однородной системы (3.3). В результате имеем К; Сьу ь=( нли в развернутом виде Р1 С1 + '''+уз Счуч = Л (1) , ( ) (3,2) у„")С(+ ". + У(")С„'у„= (.. Функции С(,...,С„' всегда могут быть найдены из системы линейных алгебраических уравнений (3лт) в силу того, что ее определитель совладает с определителем Вронского фундаментальной с~стены решений и, следовательно, отличен от нуля в любой то лсе антервала. на котором отыскивается решение. Функции С1 восстанавливаются интегрированием.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
