Казанджан Г.П., Савин А.С., Филиновский А.В. Системы дифференциальных уравнений и элементы теории устойчивости (2002) (1135782), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если существует диФФеренпируемая функпия У(у«, ..., Р„), такая, что )г(0, ...,О) = О и для некоторого го > О: 1) У(у«, ...,Р„) > О при «О<)(«Ц < Я„' 2) — <О при (у«! < ео, ! = 1, ...,и, х>хо, «(х то нулевое решение системы (6.1) устойчиво по Ляпунову, Если, кроме того, 3) — «» — И«(у«, ...,Р„) < О при 0 <ф ((< ео, х > > хо, где Функпия И'(у«, ...,Р„) непрерывна при (у;( < ео, «=1,,„и, то нулевое решен!«Р,й1нддщ,(6 Ы иво. Прпмер. Исследовать на устойчивость точку покоя (0,0) системы У» = Уз, У Уз= Уг Решение. В качестве функции г выберем У(у»,уз) = у»я+узз.
Ее производнзл в силу системы <П' дT»»у» дУ йуз — — — + — — = 2У»уз - 2у»уз = О, »»ж ду» <Ь' дуз»»ж Следовательно, точка жжоя (О,О) лапкой системы устойчива. Асимптотической устойчивости нет (можно показать, что траек- тории решений системы являются окружностями н не стремятгя к точке покоя при я -» +со). Пример. Исследовать на устойчивость точку покоя системы у» -- -у» — 2уз, з уз = бу» — уз. з Решение.
Рассмотрим функцию $'(у», уз) = 5У~» + 2узз. Ее произвсщная в силу системы имеет вид а~ дубу, д бу, — = — — + — — = »)к ду» сЬ дуз г)я = 10У»(-2уз — уз») + 4уз(бу» — узз) = -10У~» — 4уз»<0. Итак, по теореме Ляпунова точка покоя данной системы асимптотически устойчива. 7. Исследование на устойчивость по первому приближению Рассмотрим систему дифференциальных уравнений ~Ь~ — =Л(у»~ "~уз), (7 1) Фа — = Л»(ум °" Уч) гл' У = О» -"- 1,2„...,п — точка покоя, т.е.
Л(О, ...,0) = О, !. 2...., О. Разложим функции Л до у» в окрестности начала координат по формуле Тейлора (предполагая, что Л(у», уз, ..:, У„) имеют достаточное число произвопнъ»х). Л(У»~ " ~ух) = ~~~,п»зуз + 11»(у», "-,ув)~ дЛ~ где об = —, а дуз 1»с,...,о>' з ~Я»(<С~~» Уз, ~у ~ <з, 7'=1, ...,л, с >О. зж» Тогда система (7,1) примет внд ОУ» =Х~',обуз+В»(У» - У~), 1=1,2 ",и. (7.2) Йт Рассмотрим также систему с)у» х зм! правая часть которой является линейной частью (первым прибли- жением) правой части системы (7.2). Теорема.
Если все собственные значения матрицы А = (аб), »,7' = 1, 2, ... „и, имеют отрицательные действительные части, то точка у» = О, » = 1, 2, ..., и, системы (7.1) асимптотически устой- чива, Теорема. Если хотя бы одно собственное значение матрицы А имеет положительную действителъную часть, то точка покоя у» = = О, » = 1,2, ...,а, системы (7.1) неустойчива.
Пример. Исследовать на устгйчивость по первому прибли- жению точку покоя системы у', = -5у, +бу, +Оуз', уз = бу» — Зуз — 2у»~. Системой первого приближения для исходной системы является У» = -ОУ»+51»з, уз' = 51»» -5уз, Собственные значения матрицы системы удовлетворяют уравне- нию Корни характеристического уравнения: Л! = -9, Л2.'= 3. Так как Л2 > О, точка у; = О, ! = 1,2, ...,п, неустойчива. Пример. Исследовать на устойчивость по первому приближению тОчку покоя системы У! = -бу! + 8У2 + 2 21пг! У! — ЗУ2~, у' = — 4У! + 2гйпу2+ Зег'уг, Система первого приближения имеет вид У! = — Оуг+8У2, У! = -4У! + 2У2 Характеристическое уравнение матрицы системы: б ! = Л2 + 4Л+ 20 = О, Лгд = -2 ~ 4!.
2-Л Оба корня имеют отрицательную действительную часть — точка у; = О, г = 1,2, ..., и, асимптогнческн устойчива. 8. 'Условия домашнего задания Задача 1. Найти Общее решение (общий нцтеграл) системы дифференциальных уравнений. Задачи 2. Решить скстемы дифференциелъных уравнений матричньпи мегодом.
Задача 3. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы с поьющъю функции Ляпунова или по первому приближению. Задача 1 у' = —.1п— У! У! ! х' ж' с 9х +У! У! у' = — 1п —, 2х х' У2 =У!. с у! Уг с У2+У2 2 У2 = У! ю У2с У2 = -2угУ2 3 У! = У2, Уз+ У!9! У!у! + У! 2 У!=в У'с с У2 У! с У2 = У2 т Угу!. 2 У 11.
у! = —, с ! х2 ' Уя = У! 12. У! = У2, с У2 ЗугУ'! с У2 ш У2 1+ у.," 2у! с 1. У,= с 2. у,= с гс. = с 3, у'г У! У! 2 сй, 2 У!Уз + — ' Уз 2У У2 3' У213+ У.) 13, У2 = 18. у! с У2 = -угсбх+з!П2х, Уг, уг+е х 11, 12. 13, 15. 18. 17 19 21 22 91 = -91+ 792, 92 = -Ус. 91 = ггг — 112, Уг = 91 + 92. 91 = 291+ 49»с 91 = 491 — 92+ е 91 291 + 492с 92 ю 4У1+ 892 9с 9 1 ~й = 91+ 39» 91 = 91 — 292+211!я, 92 = 91 + 492 Уг = 391 + 'У с, 92 = 91 + 392 + »с. 91 = Рг — 92, 92 = 91 + 392. 91 = 3191 + 492 + е *, 92 = 39! + 792.
91 = 891 + 492, 91 = У1+92 е Рг = -Рг — гу»с 92 = 1091+ 92. 91 = 39! — 92, 92 = 291+ СОВУ. 91 = 91+ 292, 92 = 891+ У» + ге, 91 = '191 + У»с 92 У1 + 392. 91 = Рг + 49 — еш х, 92 = 4уг + 92. 91 — 91 + 92 — е~, УР = 49! — 92, Уг+ 292 — ж, 291 + 92. У» = 27. 9!в 9»в 291 + 9»с 292 91 + 892, 291 -592+е-, с 91 с 92 91 Ус Уг 391 + 112, ЗО.
У', 92 с 91 = с Рг с Уг = 92 = с 91 = 91 ж с 92 ы 92 91 с В 91 — 92. 2 -ЗУ» — 2У1, 2 891 — ЗУ,". -2уг+ 9»+ У г, 2 -791 — 292 — 79292 92+ 919»с 2 2 91 9192. 2 2 4 92911 . 4 4 9192 2 У!92 91 -391 — У., Ь -91+ 92+ 919.„ 2 2У2 — 211192, 2 Оглавление 1. Нормальные системы днфференпиальных уравнеыий. Задача Коши, Обшее решение.....,.................... 2. Методы интегрирования нормальных систем........., . 3. Системы линейных дифференциальных уравнений 4. Матричный метод решения системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэфициентами....................,....................,........
5. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений....,,....................,.................,..... 6. Метод функций Ляпунова............,................. 7. Исследование на устойчивость по первому приближению 8. Условия домашнего задания .. Список рекомендуемой литературы .. 15 17 18 20 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
