Казанджан Г.П., Савин А.С., Филиновский А.В. Системы дифференциальных уравнений и элементы теории устойчивости (2002) (1135782), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поскольку речь идет о подборе частного решенкя. постоянные интегрирования могут быть взяты произвольно. 4. Матричный метод решения системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными кавфицнентами Решение однородной системы с постоянными козффипиен.тами Ц1 = а11У1 + о»грг, (4.1) У» = ашрс + а»гуг ищем в виде "я'='Ос . 2»= где и — вектор-столбец с компонентами„не зависящими от т. П хле попс:тановки такого решения в с'истему полу*псм задачу о с~бственньсс значениях и собственных векторах матрипы системы А Собственные значения )с находят как корни характеристического уравнения где 1 .- единичная матрица.
Характеристическое уравнение имеет вид ) = йг — Тй + В = О, (4.3) о.„озг — й( где Т = а~1 + ет — сумма диагональных элементов матрицы системы Л (след матрицы .4); 1) — определитель матрицы А. сслн )с — - корень характеристического уравнения (4.3), то компоненты с1, с соответствукзшего собственного вектора е определяются из системы линейных алгебраических уравнений (4.2), которую в данном случае можно записать в виде Поскольку опрелелитель атой системы равен нулю, одно из уравнений есть следствие другого, а связь между компонентами собственного вектора е может быть найдена с помощью одного из соотношений (аы — )с)и1 + аыег = О, ог»с1+ (агг — й)сг = О.
(4.4) Насюмним, что озбственный вектор опрелеляется с точностью до ненулевого числового множителя. Квалратное уравнение (4.3) может иметь корни 13»с йг только следуюппсх трех типов: 1) Й1 и йг вещественны и различны„тогда им отвечают два линейно независимых собственных вектора и», е», компоненты которых удовлетворяют соотношениям (4.4).
Тогда фундаментальная система решений системы (4.1) имеет аид м ы р» = с»»е, рг = юге Пример, Найти общее решение системы я'! = Р1+ 2яг, у' = 4р1 + 3уг. Решение. Характеристическое уравнение (4.3) = )с~ — 4й — 5 =-О 4 3 — я имеет корни )сз = -1, яг = 5, Компоненты с», ег вектора е»„ (1) 11) соответствуюп»его корню Й1, удовлетворяют, например, первому соотношению (4.4) 2с» + 2сг = О.
Полагая и = — 1, наядем 11) = 1, откуда Р»=П»Е" Аналогично получаем дг = иге Имеем общее решение р = С)у1 + Сглаз, или покомпонентно у1 = С»е **С»ее уг Ссе + 2Сге Ответ. Общее решение: у» = С»е™ + Сге', уг = -С»е ' + 2Сгез . 2) й1 и йз комплексно сопряжены: й1 = р+1д, йз = р-1д. Корню й1 отвечает собственный вектор е1 с комплекснымн компонентамн, удовлетворяющими условиям (4:4), и поэтому и1;— 1" +1я, где т, в — векторы с лействительными компонентами.
Соответствующее комплекснозначное решение системы (3.3) имеет вид у = е1ев" =с" ((тсовдх — вв)пдх) +1(твшдх+ всовдх)), его действительная и мнимая части являются вещественнозначны- ми решениями этой системы. Нетрудно проверить, что Вар) и 1шу линейно независимы, поэтому фундаментальная веществен- нозначная система решений в данном случае имеет вид и11 = Еер1 = е' (тсовдх — ввшдх), шз = 1шр1 = еэ*(тв1пдх+ всовдх). Корень йз не дает никаких новых линейно независимых решений, Пример. Найти общее решение системы у', = У1 — 5рз, уз = 2У1 — уз.
Решение. Характеристическое уравнение = йз + о = () 11) имеет коряк й1 = 31, йз = -31 (р = О, д = 3). Компоненты с1 сз ) вектоРа е), соответствУюшего коРню й1, найдем из пеРвого соотношения (4.4): (1 — 31)е1 — без = О. Имеем 11) 11) 1 — 31' ' 1 ' -3 Отсюда находим Фундаментальную систему решений сов Зх + вш Зх, -3 Общее решение имеет вид р = Сгр + Сзрз, нлн покомпонеитно У1 = 5С1 сов Зх + 5Сз вш Зх, уз = С1(сов Зх+ ЗсйпЗх) + Сз(вшЗх — ЗсовЗх). Ответ.
Общее решение: У1 — — 5С1 сов Зх + 5Сз в1п Зх, Уз = С1(совЗх+ ЗвшЗх) + Сз(в1пЗх — Зсов Зх). 3 ) й1 = йз = й — вещественный кратный корень. Одним нз решений. является У1 = ее, гле й и е опрелеляют из сооткоше- М ккй (4.3), (4,4). Второе линейно независимое решение ншем в виде уз — — (и+ ге)е~'. Полставив рз в систему (З.З) с учетом того, что е — собственный вектор матрицы системы А, отвечающий собственному значению й, получим (4 — йХ)и = е. (4.5) Заметим, что векторы е и и линейно независимы.
Действительно, в противном случае и = ои к кз (4.5) следовало бы, что и = О, а зто невозможно, поскольку и — собственный вехтор. Соотношение (4.5) представляет собой систему ликейньпс алгебраических уравнений для нахождения коьшокенг и), из вектора и с определителем, равным нулю. Легко проверить, что в случае кратного корня й = (а11+ авз)/2, поэтому матрица системы (4.5) имеет нулевой след. Отсюда и нз определения вектора о следует, что одно из уравнений системы (4.5) есть следствие лругого (проверьте)). Таким образом, компоненты вектора и находят с помощью любого из уравненнй системы (4.5) ам — аю азз — а11 2 и1+аюиз = и1 кли аз1и1+ — из = ез, (4.6) 2 Вехтор и, как и вектор в, определяется неоднозначно: одной из его компонент может быть придано произвольное значение.
Линейная независимость решений У1, уз следует из того, что нх определитель Вронского при х = 0 отличен от куля в силу линейной независимости векторов е и и. Пример. Найти общее решение системы У1 У1 5рз / уз = 2У1 уз. Решение. Характеристическое уравнение ) 1 3-й~ имеет кратный корень й = 2. Одно частное решение у1 = еевв находим, как к выше: Второе линейно независимое решение уг = (и+ го)е~'.
Первое уравнение (4.6) -и1 — иг = 1 допускает и1 = 6, пг = -1, поэтому Уг = Общее решение мест внд у = С1у1 + Сгуг, или покомпонентно у1 ю (С1 + Сгх)е Уг = (-С1 — Сг — Сгх)ег*. Ответ, Общее решение: у1 = (С1+Сгх)ег, уг = (-С вЂ” Сг — Сгх)ег*. Если требуется решить неоднородную систему двух линейных дифференциальных уравнений У1 = аыу1+ аггуг+ 71, (4.7) Уг а21У1 + а22уг + Ь1 то, найдя фундаментальную систему решений у<1) „Сг) "-(:)) "-(,"») соответствующей однородной системы, получим частное решение неоднородной системы методом вариапии постоянных. Из системы линейных алгебраических уравнений (3.6), которая в данном случае имеет вид Сг + У1 Сг = Л 11) ~ 12) У2 С1+У2 С2 Ь 11) 2 12) по правилу Крамера находим функпин С~1 и Сг. Восстановив С1 к Сг интегрированием (с произвольно выбранными настоянными), найдем частное решение системы (4.7) С1(х)У1 + Сг(х)уг, которое в сумме с общим решением соответствующей однородной системы даст общее решение неоднородной системы (4.7).
Пример, Найти обиде решенно системы у1 = У1+2уг+е*, Уг = 4У1+ ЗУ2 — х. Решение. Фундаментальная система решений соответству- ющей однородной системы найдена ранее в одном нз примеров: У1= е 1 Уг= Ве определитель Вронского И~ = Зе11. Имеем Сг егх + ек х 3 3 ю~ 1 -4м 2 -Бк Сг= -е — — е 3 3 Интегрируя (с нулевыми постоянными), получим 1 г* С1 = -е *+ — е~, 3 3 -1 1, 5х+1 Сг= — е '+ — е 12 75 Частное решение С1(х)у, + Сг(,г)уг запишем в анде е' 2 8 у, ж — +-х —— 4 5 25' е' х 9 Уг=- — --+— 2 5 25 Прибелив его к общему решению соответствующей однородной сис- темы, найденному в примере„рассмотренном в первом случае, по- дучим общее решение неолнородной системы е* 2 8 У1 = — + -х — — +С1е +С2е 4 5 25 6 Уг = — — — — + — -С1е '+2Сге *. 2 5 25 Ответ. Общее решение: е' 2 8 у1 = — + -а — — +С1Е а+ Сгс х, 4 5 26 е' х 9 Уг = — — — — + — — С1 е ~ + 2Сге '.
2 5 25 5. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уранненнй — =Я Ун " У-), бх 4/л — = У (х уы ". у.), х с начальнынн условиями у1(хо) = у1, у (хо) = уг, ..., у„(хо) = у„, о, о о Определение. Решение Ро(х), ! =- 1,2, ...,и, системы (5.1) называется устойчивым по Ляпунову при:с -+ +со, еспи для любого е > О существует 5 = Б(е) > О, такое, что для любого решения у;(х), ! = 1,2, и, системы (5.1), удовлетворяющего условиям (У«(хо) — Уо(хо)1 < 5, ! = 1, 2, ..., и, для всех х>хо выполня«отея неравенства (у!(х) — у;(х)( < е, ! = 1,2, ...,и. Таким образом, решение устойчиво, если близкие в момент хо решения остаются близи!!ми для Всех х)~хо.
Определение. Если решение уо(х), 1 = 1, 2,, и, устойчиво и, кроме того, 1ип (у!(х) — РР(х)( = О, !' = 1,2, ...,и, то решение уо(х), ! = 1,2,,и, называется асимптотически ус- тойчивым. Определение, Если для некоторого е > О такого Б > 0 не существует, то решение уо(х), ! = 1, 2, ..., и, называется неустойПример. Рассмотрим уравнение «1у — = Йу, Й = сопзп «1х Решение этого уравнения имеет вид у'( ) = у'( о) " "'. (5.2) Непосредственно убеждаемся, что (5.2) устойчиво по Ляпунову при Й<0: (у(хо)еь(* по) — уо(хо)ен и ) ~— '" Ыхо) — у'(хо)~<Ъ(хо) — у"(хо)~ < е при !Р(хо) — уо(хо) ~ < Ь = е. Кроме того, если Й < О, то 11п! еэ«' *"1)у(хо) — уо(хо)( = 0 и, следователыю, решение (5.2) асимптотически устойчюю. Если Й = О и у(хо) Ф уо(хо), то Ига (у(х) — уо(х)( у! О, т.е, решение устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво. При Й > 0 и у(хо) И уо(хо) 1пп (у(х) — уо(х)(еь(* "1 = +со, и поэтому решение неустойчиво.
Нетрудно показать, что устойчивость решения уо(х), 1, 2, ..., и, системы (5.1) эквивалентна устойчивости тривиального (тождественно равного нулю) решения системы й~ — = 1«(х, х«,...,х„), «Ь„ — = ~„(х,х«, ...,х„), где з!(х) =' Р*(х) — у!'(х), У«(х,я«,.-,хч) = У«(х,э«+ у«, ",хн+ Ро) — Их Р! " Р~) и Л(х 0) = О ! = 1,2, ...,и. Поэтому можно считать, что система (5,1) имеет решение у;(х) не О, ! = 1, 2, ..., и, т.е. Л(х,0) = О, ! = 1,2,...,и. В этом случае точка у; = О, ! = 1, ...,и, называе'гся точкой покоя. 6. Метод Функций Ляпунова Производной от фун!«пии У(у«, ум..., Р„) в силу системы «1у! «(х — = Их У«* ",Р ), ъ„ (б,Ц «(уэ — „=У (х,у! ",у ) называется Функция О)г дУ«(у! " дУ Теорема (Ляпунов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
