Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений (2002) (1135781), страница 4
Текст из файла (страница 4)
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим неоднородну»о систему уравнений (33) для нее справедлива теорема о структуре общего решения неоднородной системы. Теоуел»и, Общее решение Х(») неоднородной линейной системы равно сумме общего решения Хз(») соответствующей одно- Р родной системы и любого частного решения Х. (») неоднородной системы: Х(») = Х0(») + Х.(»).
Д-: х,. = Д'„(»)е"', » = 1,»» где Д„„~ — многочлены степени л»+3 с неизвестными коэффициентами; л»»пах л»о з — кратность собственного числа 7 (з = О, если у не является собственным числом матрицы А). Неизвестные коэффициенты многочленов (;»' „, определяются при подстановке вырюкения (34) в данную систему и сравнения коэффициентов подобных членов. Аналогично находят степени многочленов и в случае, когда Для нахождения частного решения используют в основном два метода, 1.
Метод подбора в случае специальной правой части Этот метод применяется в том случае, если функции 7»(») (» = 1,»») состоят из сумм н произведений функций Ь, +Ь»»+ Ь)»'+ ... + 6»"', е"; созб»; з(пб». В случае, когда Я(») = Р„„(»)е"', где Р„„(») — многочлен степени т», частное решение системы (33) ищем в в»де », О) Р, (»)е"' соз0» + Я (»)е" з(пр», з у = о +»б является собственным числом матрицы А. ПРимеР 19.
Решить систему уравнений Ах — = у-5соз»; »»» »»у — = 2х+ у. »»» Рея»е»»ие. Матрица системы Характеристическое уравнение Х вЂ” — 2=0' 1,д= ГД; Х =-' Х =2. »а 2 ! 1» Находим собственные векторы и составляем общее решение однородной системы: хз С»е + С»е уз С е + 2С е Частное решение неоднородной системы будем искать в виде х, = А, з(п»+ В, соз»; у„= А,»бп»+ В,соз», Дифференцируя и подставляя эти выражения в данную систему, получим уравнения ллл определе»»»и коэффициентов Ап Вц Ан Вз, А, соз» - 3, з(п» = А, »йп»+ В, соз» -5 соз»; А, соз» вЂ” В, з1п» = 2А, з(п» + 23, соз»+ А, з(п»+ 3, соз», Таким образом, А -3 =-5; 3,+А,=О; А,-23,— 3, О; 2А,+В,+А,=О.
Решая эти уравнения, находим 37 А,=-2„3,~-1; А =1; Зт=З. Общее решение исходной системы уравнений < х= Се '+Се" -2з(пг — созд у = -С,е ' + 2С,е" + зш г+ 3 соза Задачи для самостоятельного решения Решите системы методом подбора. с!х Нх — — у = созг; — +5х+у=е; 27,$ '2б.ф — =1-х, — +Зу -х = е". )г ' - тг еМ вЂ” 2х-У; ~й — =2У-х-5е впг. г(у пг 2. Метод вариации пропзвольпых постогпшых (метод Лагранжа) Если функции Яг) имеет вид, при котором нельзя применить метод подбора, то согласно методу Лагранжа поступгнот следующим образом: а) находят общее решение однородной системы; б) полагают произвольные постоянные равными некоторым ':;:;;::;::. фу ц г, т, С,(г), С,(г),..., С„(г)1 в) ищут решения неоднородной системы в виде Определитель атой системы М(г) -ю О (как определитель )Зр нского фундаментальной системы решений) тгозтоьгу система имеет единственное решение.
Решая систему, находим С;(г) = р,.(г) (1 Интегрируя, получаем гле С, сопи (г 1, 2, ..., Л). Пример 2О. Решить систему уравнений 4Й вЂ” =у' Ф Иу ! — = х+-у+1пг. (г Решение, Матрица системы л . <о ). Характеристическое уравнение Х1-1=0; Х„+1, Общее решение соответствующей однородной системы Х(г) = С,(г)Х, + Ст(г)Х,+" +С„(г)Х„, где С,(г) — неизвестные функции, производные которых опреде- ляются из системы С((г)хн + С((г)хп+„.+С„'(г)хм Л(г)1 С;(г)х„~ С,'(г)х„+...+С„'(г)хм Л(г)' с х = С,е' + С,е-~; 1 С2е Общее рещение неоднородной системы ищем в виде < х = С,(г)е' + С (г)е" у = С, (г)е' — Ст(г)е ', С~(,)е~ ., С,(!)е-' = О; 1 —,+1пд из которой определяем функции ОТВЕТЫ Е ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1, Да, 2, а) Да. б) Нет.
3, а) Да, б) Нет. 4. а) Нет. 6) Да. 5.Да 6, х = С е - Ст е " ! — 1! у = С1 г + Ст + ! 1 — + г = С1 Х Интегрируя их, находим; С,(!) = — ) е '~ —, +!и ! ' й = - - е ~- + 1п ! С, „. 2 !! С (!) = — — ~ е'~ — + 1п ~)г)! = — г'~- — 1п ! + С, где С! и С1 — произвольные постоянные, Подставляя найденные выражения в (35), находим общее рещение данной системы: 1 х = С,е'+ С,е — 1п Я у = С,г — С,е Задачи для самостоятельного решения Решить системы уравнений методом Лагранжа, Й: — = у+ тй' 1-1; — = Зх+ у+ — — 41пг; Зй. ~~ 31, )у ф = -х+ !йп — =-х+у+- ° Й С, а ~х = 2С ея -4С е-я. 12.
Х=С~е-'+С3га),3 (х=еа(с,соз,+С 81„), ! ! ! у = 2С,е ' — ~Сф', ! х е'(С, соз3!+ С з(пЗг); !х„-(2С С) у=ев(С а1п3!-С,согЗг). ' Ь=С С, 2г 16. х = (С~ + С~!)е'; !х = (С, + 2Сфе"', ! 1~ =(С1+С, +2Ф)е-. Гх = С,е' + С г-' 1х = (С, + ЗС,!)е"; ~х = Стем + С1е"; х =С, +Се'; 1у С,е'+С,е"; 21. 1х =С,е'+С,е'+Сэе .
е=-С +(С -С) ' х = С,е" + (С, + С,)е"; у = С,е" + С,е"; в = С1е +С3е . 1 1 х =С,е" + е'"(С,созз+ С„злг); 23 у = еп((С» + С~) сов 2 + (Сз — С,) з1п «~; т. = С,еп + е"~(2Сэ Сз) соз г + (2Сэ + Са) з(п 6 х =С, созг+(С, +2С,)гйпй у 2СЗе + ~3 сов г + (Са + 2~'3) згп й е ~ С,е~ + С3 соз г - (С + С„) з(п а ~ ~lх '~(у С 1 26 1(х С~а» ~4у - а = С,. (у = С,. созз + Св з!от + созг + 11 27. у =-С, з1пт+С,созг--з(п~ — -созп 2 2 х е "(С, +С,2)+ — е' — — е"'; 25 36 у = -е (С + С + Сф + — е + — е о с 7 и 25 36 ~х = С,е'+ С,е" + е'(2соз2 — з(п~); ,у = С,е' - С,е" + «'(3 соз1+ з(п 2). )'х С, сова+С з(п!+ 1аг1 (уж -С', 3!Пт ь С,сова+2. ) х (С, + С,(1 + г))еп + 1п П (у -(С, +С,~)еп+ 1па ОГЛА)3ЛКНИЕ Предположите 1, Общие положении и определении 2, Псивтие фасопого пространства и фазоаой траектории ....,.....
Х 3. Первый интеграл системы 1! 4. Метод исключении ......„,...„„.„..„.„,.„...„„,...,.....„.........., ...„.. 15 5, Метод интегрируемых комбинаций .......,...,„.....,....,....,.... „. 1К 6, Системы линейных дифференциальных уравнений .„......" -" 21 7. Линейные системы с постоянными коэффициентами .......... 26 3, рещение линейных неоднородных систем с постопнными коэффициентами „„„..„...„............ „.... 36 Ответы к вада гдм длд самостоптельного решении ....,..........", 41 Редакция заказной литературы Борис Тпз!озреавич Добрица Игорь Оз!епзвич Янов СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Заведуюцзал редакцней Н,Е Коецзееекце Редактор С.4, Серебрякова Корректор Г, С.
Баелеее Иза. лнц, 7Чт 020523 от 25.0437, Подписана а печать 10. 11.99, Формат 60з8а/16. Бумага тнп. 7чз 2. йеч. л. 2,75, Утл. печ л, 2,56. Уч.-нзд. л. 2,46. Иза. 1Чз !4!. Тиран!00 зкз. Заказу;6 Изаательечво МГТУ нм, Н,Э. Баума!!а. !07005, Москва, 2-л Бауманская, 5. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
