Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений (2002) (1135781), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если система вектор-функций Х,(г),Х,(г),...,Х„(г) линейно зависима на (а; Ь), то ее определитель Вронского равен нулю всюду на (а„Ь). 2, Если хотя бы в одной точке г, е (а; Ь) определитель Вронского И~(г0) ~ О, то система Функций Х,(г), Хг(г)...,, Х.(г) линейно независима на (а; Ь). Э. Если определитель Вронского из л частных решений системы дифФеренциальных уравнений (22) с непрерывными коэф-' фициентами не равен нулю, то решения линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений. 4. Если определитель Вронского из решений системы (22) равен нулю в одной точке, то он тождественно равен нулю при всех г из (а; Ь). 5.
Система л решений системы уравнений (22) яшшется фундаментальной тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского отличен от нуля в какой-либо точке г, 6. Если известна Фундаментальная система решений Х,(г), Х,(г), ..., Х„(г) системы уравнений (22), то его общее решение имеет вид где Сп Сз, ..., ф— произвольные постоянные. 7. Для определителя Вронского системы решений системы (22) справедлива Формула Лиувилля — Остроградского: Пример П.
Найти решение системы уравнений ~Ь ю у' й оу 2 — — х, ,(г г2 удовлетворяющее начальным условиям л(-1) = 1, у(-1) = -2. Решение, Дифференцируем первое уравнение и подставляем значение — из второго уравнения: гй ~2х,)у 2 х 1 Й сй (2х = -ух, й Последнее уравнение называется уравнением Эйлера. Ищем его решение в виде х г'. Тогда — = В -, —, = рг(д - 1)г з(х х ~ т(х Й ' 1г' Подставляя в уравнение Эйлера, находим Цй 1)гь 2гь. Д2 Д 2 О Отсюда л, ° 2, л, * -1, следовательно, х = С г' + — ~.; — = 2С,~ — -Зь; у = 2С,~— С, Ь С С *Й С учетом начальных условий получим тогда С, =1; С, О.
< 1=С,— С,*, -2 = 2С, -Сы Искомое чнгтное решение имеет аид х гт; у '" 2з Пример П. Известно одно решение х, -з(пд у, созт системы уравнений — хсоз т - (1 — з(пгсовг)у, т(х ф — 9+ в(п г,созг)х+ у зш' л срг Найти все решения системы. Ретлелле. 'Пусть х е(з), у = у(Π— решение данной системы, удовлетворяющее условию е(О) * О, ~р(О) = 1, Согласно формуле Луивилля — Остроградского, получим <р(г) соз г + ~р(О вш г е'. Так как е(г) и у(г) — решение исходной. системы, то с учетом последнего равенства — = асов з- у+ ц~зшгсозг созгОрсозг+ увшО- ц~ ар з й= -Ч~+ е'созг; — =(1+з(пгсозт)~р+уз(пзг е+зшг(есозг+~рз(п~) (г = =~р+е'вша После преобразований получим: — (в — е сои) -(у — е з(п г)1 о Й вЂ” (у — е з(п«) =е — е сова И Й Отсюда о(г) = е'соз р; и(з) е' зш д Фундаментальная система решений имеет вид е соЫ -з(пг Общее решение системы: х = С,е' сов « — С, гбп О у = С«е'а(пг+ С, сова Задача для самостоятельвого решения 10.
Решите систему линейных дифференциальных уравнений «(х 2 — +-х= 1; ««г — - ~1 + -~ х - у = -1. Й 7. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Линейной системой с постоянными коэффициентами называют систему вида (21), где ог («, / = 1,л) — постоянные числа. Если Р О, то система однородная: — = АХ. сХ (25) ««г Для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами примени«от следуюшие методы.
1. Метод пекла«чеиия — сведение систем (21), (25) к одному линейному уравнени«о более высокого порядка с постоянными коэффициентами (см. б4). Пример 13. Решить систему уравнений «(х — =х-у+я; ««'« Ыу — =х+у-а; ««« «1г — 2х — у. ««« Ревев««ие. Дифференцируем первое уравнение, подставляя Нх «гу вместо —, —, — 'нх значения из исходной системы, Получим: «Й ««г ' Й решая последнюю систему, находим: «('х «(х, у~- — +2 — ' Ф' ««г ' 12х — — +3 — -х. ««г' Й Подставляя у и и в третье уравнение исходной системы, получаем «('х «Рх «(х — -2 — - — +2х О.
«(г«Й' ««г Находим корни характеристического уравнению йЗ ага «+ 2 Р. (гз(Д 2) (й 2) Р. (й — 2)(й' -1) =О; ~с«1; А 2; Ж, ~-1, х С,в'+С,е" +С,в'. Неизвестные у и а определяем из уравнений (2б), подставляя «(х еРх в них —, — и полученное «с ««г ' с«г~ у С,е'-3С,е '; а =С,в'+Сзем — 5С,в ', 2, Метод гппегрируемых комбинаций (см, б5), 1Ррямвр 14, Найти общий интеграл системы е(х — =х-у+а «гг с«зх —, = 2х-3у+2д; «(х -у+а ~ — -х' Й (2 — 3у+ 2е = — -2х. (г2 27 « — у х-« у-х региелие. Воспользуемся свойством Равных пропорций: « — у 0 Функции (30) являются решением системы (25), если Х— собственные числа матрицы А, а а" — собственный вектор этой матрицы, соответствугащий числу Х. Если собственные значения Л„Л„„.,Х„матрицы А попарно различны и Х,,а„...,а„— соответствующие им собственные векторы, то общее решение системы уравнений (25) определяется формулой Ых + Иу + д« = 0; И(х + у + «) О; х+у+« =С, Получим; Ы(х'+у'+«') 0' х'+у'+«'-С,; С, »0.
(29) Первые интегралы (28), (29) образуют общий интеграл системы (27). 3. Метод Эйлера ивтегрировагпш адпорадвай системы Решение системы (25) будем искать в вгще Х ег»а, где а" (а„а„...,а„)~. (30) Уравнение а„— Л ап аг! гггг аь (31) а„ называется характеристическим урашгением системы (25). далее умножнм числителя и знаменатели дробей системы (27) на 2х, 2у, 2«и сложим их; 2хах 2у»гу 2 г(«г((хг + уг + «г) (« — у)2х (х — «)2у (у — «)2«0 Х = СДе" + Сгаге»я+ +С„Я„е»4, (32) где фф..., ф— произвольные числа, Если для кратного собственного числа Х кратности х матрицы А имеется к линейно независимых собственных векторов Я„8„..., Я», та ему соответствуют /с линейно независимых решений исходной системы а,е~,Хге~,...,а»е".
Если для собственного числа Л кратности й имеется только «г (аг к й) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие такому Х, следует искать в виде произведения векторного многочлена степени й — аг на е", т.е. в виде Х = ф»+Я,г+...+Я ~»- )е~ Для нахождения векторов Х„а„,.„а» „нужно подставить выражение (30) в систему (25). Приравняв коэФфициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим выражения для нахождения векторов У„Уа...,а» „.
Если среди собственных чисел матрицы А имеютсл комплексные числа, то указанным выше способом строят соответствующее такому собственному числу камплекснозначное решение системы (25). Чтобы выразить решение через действительные функции, нада воспользоваться тем„что вещественнал н мнимая части комплексного решения, соответствующего собственному числу Х сг а ~У (б ~ О), являются линейно независимыми решениями. Рассмотрим примеры. Случай дейетвизаеюьяых и уаэхичаых карасй Щюмер хЯ.
Решить систему уравнений ໠— = 2х+у; йг — Зх+ 4у. ау й Реиынив. Составим матрицу системы Случай кратных кореей Прамер 16. Решить систему ах — = 2х+у; й — -х+ 4у. ау Й Решеаие. Матрица системы Тогда характеристическое уравнение . ~=0; Х -бХ+5 О. ! 2-Х 1 ! 3 4-Х~ Корни уравнения Х~ 1; Хг 5 — собственные числа. Найдем собственные векторы матрицы А. При Х| ~ 1 (2-Ца,+а,=О; а,+аз* О;.а, 1; аз=-1, (11 следовательно, Я, При Хз- 5 (2-Яа, +а, -0; -За, +а, - О„'а, 1; а, 3, Ы следовательно, У, ц. Вектор решений: Х- С, е'+Сз е~', Рещение можно записать и в другом виде: х Се'+С,е"; у -Се'+ЗС,е".
Характеристическое уравнение Л' — 6Х+9 О; (Х-3)' ~0; Х, ~Х 3 Корни уравнения кратные, поэтому общее решение ищем в виде х а, +Р1» Переходим к скалярной форме записи и дифференцируем: х (а, + Рфг"; у-( +Рзг)е", — *Р,е" +З(а, +Р,г)еа; й — = Р,е" + 3(аз + Р,Ф)е", аг Подставляя (32) в первое уравнение системы, получаем Р,е" + 3(а, + Р,~)е ' = 2(а~ + Рф)е" + (аз + Рзг)»". Сокращая иа еи и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях б находим: с Р, +За, 2а, +а,„' ~аз =а, +Р„ ЗР~ =2Р +Рз* (Рз Р~ Величины а~ и О1 остаются произвольными. Обозначая ик через С1 и Сз соответственно, получим общее решение системы; х =(С, + С,г)зи; У = (С, + Сз +Сзг)е".
Легко проверить, что если (32) подставить во второе уравнение системы, то получим тот же результат. Вели (32) подставить в оба уравнения, то зто приведет лишь к увеличению выкладок при том же результате. Случив «омахе«сиых «орией Иример 17. Решить систему Их — =х — 5у; Й ф' — =2х-у.. су Раз»ение, Матрица системы Характеристическое уравнение «'+9= О; Хгл = ~ЗО Возьмем собственное число ),1 = 31 и определим соответствующий атому числу собственный вектор: при Х~ = 3! (1 — 31)а, + (-5)а„О; а, = 5; а, 1- Зй получим х, = 5егь = 5(созЗГ ь(зюга у, = (1 З~)(созЗг+1нп Зг) ю созЗг+ Зз1п Зз+1( ° 3 3 3 ) Воспользуемся формулой для общепз решен х = С~ не х~ + Сз 1ш хо у = С, Кеу + С где ие» и 1пз» обозначшот соответственно действительну и мую части комплексного числа», т,е.
если» = а+ (И, то ре = а; 1пз» = Ь. В результате получим < х = 5С, сов Зг+ 5С, зш Зй у = С (соз Зг+ 3 з(п Зг) + С, (з(п Зг - 3 соз Зг), Пример И Решить систему ~й =х — у-»; з) су — х+у; й И» — Зх+», су Реыеии» Матрица системы Характеристическое уравнение < А - «.с < = О; изь а~ з) Тогда частное решение можно ззлисать в виде и, (1 31)зм Воспользовавшись формулой Эйлера 1 — Х -1 — 1 1 1-2, О 3 О 1 — Х При Х, 1 При Х, =1+ 21 20.
г=2 а~ 0;аз 1)аз -1~ с О а -а -а ~0; 1'а1 +О*аз+О а3 Частные решения, соответству1опше корню Х = 1: 0; у~ = е'1 з~ =-Ф. а1 20 аз = 1„' аз 3; с -2(а — а -а =О; а,-21 ° а,+О аз=О; -8 Частный решения име1от зид ( х, 2(е""к = 2(еео' 21е'(соз 2з+(з(п 2г) = е'(-2з(п 21+ 21 сов 2г); у, = 1еа'"~' е'егв = е'(соз2~+1з)п 2з); Зео'ва Зе'ео' =е'(Зсоз2г+3(з1п2~), $! Тогда общее решение уравнения 1 х = е'(-2С, з(п 2г+ 2С, соз2з); у е'(С, +Сзсоз2г+С з)п21); з е'(-С, + ЗС, соз 2» + ЗС, з(п 2г), Задачи дяя самостоятельного решения Решить системы уравнений методом Эйлера.
Результат проверить методом исключения. 1 Й у +х — Зу О; 11. — -х-у = О. Й Их — 2х — у+ Й вЂ” =х+2у — щ еу Й й — = х-у+ 2г, Й вЂ” = х-у' Й ~уу — "- у — 4х, Й= ~(х *' х + у' 13 Й вЂ” = Зу — 2х. гу Й Йг — ~ Зх-у; Й еу — = 4х — у, Й Йг — = -Зх+ 4у — 2е; Й оу — =х+з; Й Из — бх — бу + 5г.. Й Их — ~фх у Й й оу — х+ 2у Й (ф — =х-у+2г, Й 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
