Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений (2002) (1135781), страница 2
Текст из файла (страница 2)
! «2 ф',нация !В(» хн х2, „., х„) зависит только от выбранного решения х (О Х2(»), ..., х„(»), НО не от Персы!'Нгн»й». Первым интегралом нормальной системы называется равенст„,(», х,, х... х„)= С, где !у(», х!, хп ..., х„) — интеграл систе- ~ сопз! — ПроизВОльная постОянная. Иными слОВами, вь»й интеграл системы — зто непрерывно днфференцируемая в области определения системы (2) Функция !Р(».
хн хн " ха) „ая, что ее производная, составленная в силу системы (2), т.е, + ~ — »;(», х„х„..., х„), равна нулю. »»фу д!у с «д«!« »(» д» ,, дх И,»те»рады Ч!, Ч!2, ..., «В„системы (2) называются независвмы„ш относителыю искомых функций х!«хз, ..., х~ если между Функ„иями не существует соотношения вила»'(!г! ч!2« „., «г„) = О ни при каком выборе функции г", явно не зависящей от х!, х2, ..., х„. Если известны л независимых первых интегралов системы (2)' !!!!(» Х!«Х2« "«2»а)«!!!2(»«Х! Х2«"" ° «Ха)« "°, ЧУ««(»«Х!, Х2, ..., Ха», ТО совокупность равенств где С» (» »,л) — произвольные постоянные, называют общим интегралом системы (2), Разрешая равенства (9) относительно неизвестных х», х2, ..., х„, из общего интеграла системы (2) можно найти практически любое решение системы.
Если известен один первый интеграл системы, отличный от постоянной, то, разрешал уравнение у(й хн хз, ..., х„) С относительно одной из переменных хн хм ..., х„, например, относительно х„; х„= г(О хм хз,.„, х„н С), и подставляя выражение (10) в первые л-1 уравнений системы (2), получаем систему уравнений, в которой число неизвестных функций на единицу меньше, чем в исходной системе. Если известны х (й < л) независимых первых интегралов системы (2), то ее порядок можно понизить.
Теорема. Для того чтобы функции щ, уз, ..., ч~„, имшощие частные производные —, где ~', Й: 1, 2, ..., л, были независимы дч~, ха ' относительно хн хз, ..., х„в некоторой области Ю, необходимо и достаточно, чтобы якобиан этих функций был отличен от нуля в области Рл др, дф, фр дх~ дх1 дх дч' 2 ~1 ~з дх1 дх2 дх„ иб дуь Ь дх, дх, " др~„ ПримеР Х Проверить, являются ли первыми интегралами системы уравнений Е- х.
~йс а1 Нх хз-г ог саедуюшие функции; 1) г гз + 2х х ° 2) х с„~з Решелие. Функции 1 и 2 непрерывно дифференцируемы. Вы- ф числим елим производную — составленную в силу данной системы дг' уравнений. Имеем: Нх Их, (х2-г') 1) ~~ = 2! + 2х, — 4 + 2х, — ' = 2г + 2х,~ — + 2(- х,) = О, 1 Щ 2 д 3~ т = — ' — х' — 2гх — ' = -х — х, — 2гх,~ — в О, —,'„-у-: а*- Таким образом, функция л = Р + 2х,х, 'является первым ин- 2 тегралом исходной системы, а функция х х, — гх, не является первым интегралом системы.
2 ПРимеР б. Убедиться, что функции у, гг, у, 1у+ х являются первыми интегралами системы уравнений сх х Ж= 7' ф~ 2х'-ф а и проверить независимость этих интегралов, Реглеаяе. Найдем производные по О составленные в силу данной системы: М' йх (' х~ — ~=х+г — =х+~- — ~ х-х О; лг лг ~ г.) ~уу лхх 2х~ - гу ( х) х у+1 — т2х — у+г — ч — — +2х(--~ = ,уг дг з'г ГЛ 2х' -2хз у+ =О. Найденные производные тождественно равны нулю, следов»- тельно, функции и у1 и рз являются первыми интегралами дан- 12 !(г х+ у 4 МЕТОД ИСЕЛ10~1Е11ИЯ (( у!) — ! Узах — — ! б.
,й~ з1 Жь х' ~5. ! 2 х2 (г 2 3~ Фх — ° Цг,х,>х„...,х„). !5 ной системы. Чтобы выяснить„независимы ли зги интегралы, составим определитель Якобиан отличен от нуля, следовательно, Ч!! и Ч!з независимы. Х(ризгеу 7, Найти первый интеграл системы уравнений !зх — "-у +3!Пх; й !зу — = -у сов х. (г Регаеяиа. Умножнм почленно первое уравнение на усозх, а второе — на -у'+ зш х и сложим полученные равенства: усозх — +(-у +з(пх! — О. !(х ! з, ° !(у а д! Последнее уравнение представим в виде Отсюда найдем первый интеграл системы: ,3 Задачи для самостоятельного решешпг Проверить, являются ли данные функции ч! первыми интегралами системы, а) Ч!! х+у-г; б) Ч!! х+У+и а) !у = г! + 2ху; б) ч!з у - !~ха.
= у - сов х; !(х ! г(г й 4. а) Ч!! 2гсозх !пу, б) Ч!! Зусозх У . — = -уз!ох, (б! !(г 5. Проверить, образуют ли данные системы функций независимые первые интегралы для данной системы уравнений: !(х г — у, х+ у+ г С,; х'+ у'+ г' С,', !(у хх-г г(г у -х Пусть дана система л дифференциальных уравнений (2), Приведем ее к одному уравнению л-го порядка нли к нескольким уравнениям порядка больше единицы. Общая схема приведения состоит в следующем.
Продифференцируем, например, первое уравнение системы (2): !(зх Щ дУ! (х ~Х !(х 4~ !(х. ,„! 3. + ! Х.!.„,.!. — ' Й дг дЙх! о! дхз 4Ф дх„й н подставим вместо — !.; — ь; ..., —" их значения из исходной !(хл Й' а!г''"* Й системы. Тогда получим тождество вида Тогда 4(х х у ы + й следовательно, х(О = С,1+ С,. ах — = х'у; а1 ау у — ~ — - ху' 111 Отс1ода ~(у~ й ХУ 1' 1п(ху) = 1пг+!пС,; 18 ~2 . 1 ( 1 1 а1 — ~ " — — 1 - — — + — — + — ~ = 0' — " С~ й 1 1 а11 1 аг 1 111 Функцию у(1) находим из (15) без интегрирования: у(1) С, + — '' = 2С, +-~, Сг+С, С х(1) С,1+С,; Итак,, С 1 а 0 — общее решение системы. у(1) = 2С, + Задачи для еамоспительиого решециш Решить следу1ошие системы методом исключения.
1(х 1(х — =у+1; — Ж б. а1 7. аг 1 1> О. 4 ' Иу х — = х — 1. йа 1(1 1(1 5. МЕТОД ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМБИНАЦИЙ Сущность этого метода состоит в том, что с помощью арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (2) соспшляют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. легко интегрируемью уравнения относительно новой неизвестной функции вида и = и(1, хн хз„..., х„). Указанный метод можно применить также к решению систем уравнений (2), если мдать их в симметрической форме, т.е. систем вида Для решения систем (16) либо выбирают пары отношений, допускающие разделение переменных, либо используют производные пропорции а, ах а„А,а +А,а,+...+А„а„ (17) Ь, Ь Ь„АА+М+ -+11А ' где 11н Ад, ..., /с„— произвольные числа, которые выбирают таким образом, чтобы числитель был лифференциалом знаменателя, либо чтобы числитель был полным дифференциалом, а знаменатель был равен нул1о.
Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить один первый интеграл системы. Если найдено А интегрируемых комбинаций, то получим /с первых интегралов, что позволяет понизить порядок системы. Лример 9, Решить систему уравнений Решелие. Умножим первое уравнение на у, а второе — иа х. Складывая почленио полученные уравнения, находим: Й: ау ху 11, у — + х — = — нлн — (ху) ~ —. а1 а1 1 аг 1 1 1 ху С,1. (18) Заменяя в первом уравнении системы ху на С,1, получим г(х — = С,хг.
Интегрируя это уравнение, находим 111 Сг С у = -г- = — ~ г ехр(- С, — ~. х С, 1 '2~ *-~~с,-е~~-|): ж с -~~гс,-Ф ~-1г ггг г(х 2х — 1п|' ()п -1)+ Сг. 2х — 1пг (пг-2х 0 Отсюда гй+ ггх+ ггу 0; г((г+ х + у) ~ О; (20) — А(г)Х(г) + Г(г), аг (2!) С учетом равенства (18) при С, е О имеем Кроме того, если х = О, то из второго уравнения у = Сг; если у = О, то из первого уравнения х = С.
Пример Пл Найти общее рещение системы уравнений ггг ах гО' 2х -1п| 1пг-2х Реягелле. Рассмотрим первую интегрируемую комбинацию Разделяя переменные и интегрируя, получаем ) )л л(г = -2)хдх", г1пг-г+х' - С„. Используя производные пропорции (17) и принимая л, лг лг 1, находим гй гбг ггу г(г + ггх + г(у Первые интегралы (19) и (20) дают общий интеграл системы х'+ г(1п г-1) = С„ х+у+г =С„ нз которого находим общее рещение системы Задачи лля самостоятельного решепггя 'Решить следугощне системы методом интегрируемых кембл наций. г г, 8. ггг 9. — = — = —.
— =х +у,' ггу 2 ' г х гу' ггг б. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Нормальная система л линейных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид 1, = ан(г)х, + агг(г)хг+...+ а,„(г)х„+ Дг); ггг — г- = агДС)х, + агг(г)хг+,.+ а,„(г)х„+ гг(г) ггу '! — а„,(г)х, + а„г(г)хг+...+ а (г)х„+ У„(г) й Эту систему мо~кно записать в векторной форме: ао(г) а„(г) ...
а„(г) а„(г) а„(г) ... а (г) х,(г) ; Х(г) = ,(г) У (г) у',(г) хн хи - ха хо хп ... х„, И'(г) = И~(Х„Х,,...,Х„) = где А(г) = х,„х„„. х — А(г)Х(г). гГХ гГг Х() = С,Х,(г),С,Х,(г),...,С„Х„(г), (24) где а(г) Зр А(г) = ~ а„(г). 22 23 а„,(г) а„,(г) ... а (г) х„(г) ~.(г) Если вектор Р(г) = О, то система (21) называется линейной однородной системой Будем предполагать, что элементы аг(г) матрицы А непрерывны на интервале (а; Ь) функции.
Вектор Х(г) называется частным решением уравнения (22) в интервале (а; Ь), если равенство (22) выполняется для всех г. а < г < Ь, Множество (. всех решений системы (22), определенных на (а; Ь), является линейным пространством. Линейное пространство (, всех решений линейной однородной системы изоморфно фазовому пространству К" этой системы. Фундаментальной системой решений линейной однородной системы уравнений называется базис линейного пространства решений („т.
е. л линейно независимых решений этой системы. Матрицу Х(г), столбцами которой являются решения„образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей. Если Х(ге) Е, где Š— единичная матрица, то Х(г) называют матрпшштом. Справедливы следующие утверждения: 1. Любая система (22) имеет фундаментальную систему решений. 2. Любое решение системы (22) является линейной комбинацией Фундаментальной системы решений. 3. Любые я +1 решений системы (22) линейно зависимы. Определителем Вропского системы вектор-Функций Х,(г)„ Хг(г), ...„Х„(г) называется числовая функция, равная определителю матрицы со столбцами из этих векторов: Справедливы следующие теоремы и следствия из них: 1.