Главная » Просмотр файлов » Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений (2002)

Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений (2002) (1135781), страница 2

Файл №1135781 Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений (2002) (Добрица Б.Т., Янов И.О. - Системы дифференциальных уравнений) 2 страницаДобрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений (2002) (1135781) страница 22019-05-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

! «2 ф',нация !В(» хн х2, „., х„) зависит только от выбранного решения х (О Х2(»), ..., х„(»), НО не от Персы!'Нгн»й». Первым интегралом нормальной системы называется равенст„,(», х,, х... х„)= С, где !у(», х!, хп ..., х„) — интеграл систе- ~ сопз! — ПроизВОльная постОянная. Иными слОВами, вь»й интеграл системы — зто непрерывно днфференцируемая в области определения системы (2) Функция !Р(».

хн хн " ха) „ая, что ее производная, составленная в силу системы (2), т.е, + ~ — »;(», х„х„..., х„), равна нулю. »»фу д!у с «д«!« »(» д» ,, дх И,»те»рады Ч!, Ч!2, ..., «В„системы (2) называются независвмы„ш относителыю искомых функций х!«хз, ..., х~ если между Функ„иями не существует соотношения вила»'(!г! ч!2« „., «г„) = О ни при каком выборе функции г", явно не зависящей от х!, х2, ..., х„. Если известны л независимых первых интегралов системы (2)' !!!!(» Х!«Х2« "«2»а)«!!!2(»«Х! Х2«"" ° «Ха)« "°, ЧУ««(»«Х!, Х2, ..., Ха», ТО совокупность равенств где С» (» »,л) — произвольные постоянные, называют общим интегралом системы (2), Разрешая равенства (9) относительно неизвестных х», х2, ..., х„, из общего интеграла системы (2) можно найти практически любое решение системы.

Если известен один первый интеграл системы, отличный от постоянной, то, разрешал уравнение у(й хн хз, ..., х„) С относительно одной из переменных хн хм ..., х„, например, относительно х„; х„= г(О хм хз,.„, х„н С), и подставляя выражение (10) в первые л-1 уравнений системы (2), получаем систему уравнений, в которой число неизвестных функций на единицу меньше, чем в исходной системе. Если известны х (й < л) независимых первых интегралов системы (2), то ее порядок можно понизить.

Теорема. Для того чтобы функции щ, уз, ..., ч~„, имшощие частные производные —, где ~', Й: 1, 2, ..., л, были независимы дч~, ха ' относительно хн хз, ..., х„в некоторой области Ю, необходимо и достаточно, чтобы якобиан этих функций был отличен от нуля в области Рл др, дф, фр дх~ дх1 дх дч' 2 ~1 ~з дх1 дх2 дх„ иб дуь Ь дх, дх, " др~„ ПримеР Х Проверить, являются ли первыми интегралами системы уравнений Е- х.

~йс а1 Нх хз-г ог саедуюшие функции; 1) г гз + 2х х ° 2) х с„~з Решелие. Функции 1 и 2 непрерывно дифференцируемы. Вы- ф числим елим производную — составленную в силу данной системы дг' уравнений. Имеем: Нх Их, (х2-г') 1) ~~ = 2! + 2х, — 4 + 2х, — ' = 2г + 2х,~ — + 2(- х,) = О, 1 Щ 2 д 3~ т = — ' — х' — 2гх — ' = -х — х, — 2гх,~ — в О, —,'„-у-: а*- Таким образом, функция л = Р + 2х,х, 'является первым ин- 2 тегралом исходной системы, а функция х х, — гх, не является первым интегралом системы.

2 ПРимеР б. Убедиться, что функции у, гг, у, 1у+ х являются первыми интегралами системы уравнений сх х Ж= 7' ф~ 2х'-ф а и проверить независимость этих интегралов, Реглеаяе. Найдем производные по О составленные в силу данной системы: М' йх (' х~ — ~=х+г — =х+~- — ~ х-х О; лг лг ~ г.) ~уу лхх 2х~ - гу ( х) х у+1 — т2х — у+г — ч — — +2х(--~ = ,уг дг з'г ГЛ 2х' -2хз у+ =О. Найденные производные тождественно равны нулю, следов»- тельно, функции и у1 и рз являются первыми интегралами дан- 12 !(г х+ у 4 МЕТОД ИСЕЛ10~1Е11ИЯ (( у!) — ! Узах — — ! б.

,й~ з1 Жь х' ~5. ! 2 х2 (г 2 3~ Фх — ° Цг,х,>х„...,х„). !5 ной системы. Чтобы выяснить„независимы ли зги интегралы, составим определитель Якобиан отличен от нуля, следовательно, Ч!! и Ч!з независимы. Х(ризгеу 7, Найти первый интеграл системы уравнений !зх — "-у +3!Пх; й !зу — = -у сов х. (г Регаеяиа. Умножнм почленно первое уравнение на усозх, а второе — на -у'+ зш х и сложим полученные равенства: усозх — +(-у +з(пх! — О. !(х ! з, ° !(у а д! Последнее уравнение представим в виде Отсюда найдем первый интеграл системы: ,3 Задачи для самостоятельного решешпг Проверить, являются ли данные функции ч! первыми интегралами системы, а) Ч!! х+у-г; б) Ч!! х+У+и а) !у = г! + 2ху; б) ч!з у - !~ха.

= у - сов х; !(х ! г(г й 4. а) Ч!! 2гсозх !пу, б) Ч!! Зусозх У . — = -уз!ох, (б! !(г 5. Проверить, образуют ли данные системы функций независимые первые интегралы для данной системы уравнений: !(х г — у, х+ у+ г С,; х'+ у'+ г' С,', !(у хх-г г(г у -х Пусть дана система л дифференциальных уравнений (2), Приведем ее к одному уравнению л-го порядка нли к нескольким уравнениям порядка больше единицы. Общая схема приведения состоит в следующем.

Продифференцируем, например, первое уравнение системы (2): !(зх Щ дУ! (х ~Х !(х 4~ !(х. ,„! 3. + ! Х.!.„,.!. — ' Й дг дЙх! о! дхз 4Ф дх„й н подставим вместо — !.; — ь; ..., —" их значения из исходной !(хл Й' а!г''"* Й системы. Тогда получим тождество вида Тогда 4(х х у ы + й следовательно, х(О = С,1+ С,. ах — = х'у; а1 ау у — ~ — - ху' 111 Отс1ода ~(у~ й ХУ 1' 1п(ху) = 1пг+!пС,; 18 ~2 . 1 ( 1 1 а1 — ~ " — — 1 - — — + — — + — ~ = 0' — " С~ й 1 1 а11 1 аг 1 111 Функцию у(1) находим из (15) без интегрирования: у(1) С, + — '' = 2С, +-~, Сг+С, С х(1) С,1+С,; Итак,, С 1 а 0 — общее решение системы. у(1) = 2С, + Задачи для еамоспительиого решециш Решить следу1ошие системы методом исключения.

1(х 1(х — =у+1; — Ж б. а1 7. аг 1 1> О. 4 ' Иу х — = х — 1. йа 1(1 1(1 5. МЕТОД ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМБИНАЦИЙ Сущность этого метода состоит в том, что с помощью арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (2) соспшляют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. легко интегрируемью уравнения относительно новой неизвестной функции вида и = и(1, хн хз„..., х„). Указанный метод можно применить также к решению систем уравнений (2), если мдать их в симметрической форме, т.е. систем вида Для решения систем (16) либо выбирают пары отношений, допускающие разделение переменных, либо используют производные пропорции а, ах а„А,а +А,а,+...+А„а„ (17) Ь, Ь Ь„АА+М+ -+11А ' где 11н Ад, ..., /с„— произвольные числа, которые выбирают таким образом, чтобы числитель был лифференциалом знаменателя, либо чтобы числитель был полным дифференциалом, а знаменатель был равен нул1о.

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить один первый интеграл системы. Если найдено А интегрируемых комбинаций, то получим /с первых интегралов, что позволяет понизить порядок системы. Лример 9, Решить систему уравнений Решелие. Умножим первое уравнение на у, а второе — иа х. Складывая почленио полученные уравнения, находим: Й: ау ху 11, у — + х — = — нлн — (ху) ~ —. а1 а1 1 аг 1 1 1 ху С,1. (18) Заменяя в первом уравнении системы ху на С,1, получим г(х — = С,хг.

Интегрируя это уравнение, находим 111 Сг С у = -г- = — ~ г ехр(- С, — ~. х С, 1 '2~ *-~~с,-е~~-|): ж с -~~гс,-Ф ~-1г ггг г(х 2х — 1п|' ()п -1)+ Сг. 2х — 1пг (пг-2х 0 Отсюда гй+ ггх+ ггу 0; г((г+ х + у) ~ О; (20) — А(г)Х(г) + Г(г), аг (2!) С учетом равенства (18) при С, е О имеем Кроме того, если х = О, то из второго уравнения у = Сг; если у = О, то из первого уравнения х = С.

Пример Пл Найти общее рещение системы уравнений ггг ах гО' 2х -1п| 1пг-2х Реягелле. Рассмотрим первую интегрируемую комбинацию Разделяя переменные и интегрируя, получаем ) )л л(г = -2)хдх", г1пг-г+х' - С„. Используя производные пропорции (17) и принимая л, лг лг 1, находим гй гбг ггу г(г + ггх + г(у Первые интегралы (19) и (20) дают общий интеграл системы х'+ г(1п г-1) = С„ х+у+г =С„ нз которого находим общее рещение системы Задачи лля самостоятельного решепггя 'Решить следугощне системы методом интегрируемых кембл наций. г г, 8. ггг 9. — = — = —.

— =х +у,' ггу 2 ' г х гу' ггг б. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Нормальная система л линейных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид 1, = ан(г)х, + агг(г)хг+...+ а,„(г)х„+ Дг); ггг — г- = агДС)х, + агг(г)хг+,.+ а,„(г)х„+ гг(г) ггу '! — а„,(г)х, + а„г(г)хг+...+ а (г)х„+ У„(г) й Эту систему мо~кно записать в векторной форме: ао(г) а„(г) ...

а„(г) а„(г) а„(г) ... а (г) х,(г) ; Х(г) = ,(г) У (г) у',(г) хн хи - ха хо хп ... х„, И'(г) = И~(Х„Х,,...,Х„) = где А(г) = х,„х„„. х — А(г)Х(г). гГХ гГг Х() = С,Х,(г),С,Х,(г),...,С„Х„(г), (24) где а(г) Зр А(г) = ~ а„(г). 22 23 а„,(г) а„,(г) ... а (г) х„(г) ~.(г) Если вектор Р(г) = О, то система (21) называется линейной однородной системой Будем предполагать, что элементы аг(г) матрицы А непрерывны на интервале (а; Ь) функции.

Вектор Х(г) называется частным решением уравнения (22) в интервале (а; Ь), если равенство (22) выполняется для всех г. а < г < Ь, Множество (. всех решений системы (22), определенных на (а; Ь), является линейным пространством. Линейное пространство (, всех решений линейной однородной системы изоморфно фазовому пространству К" этой системы. Фундаментальной системой решений линейной однородной системы уравнений называется базис линейного пространства решений („т.

е. л линейно независимых решений этой системы. Матрицу Х(г), столбцами которой являются решения„образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей. Если Х(ге) Е, где Š— единичная матрица, то Х(г) называют матрпшштом. Справедливы следующие утверждения: 1. Любая система (22) имеет фундаментальную систему решений. 2. Любое решение системы (22) является линейной комбинацией Фундаментальной системы решений. 3. Любые я +1 решений системы (22) линейно зависимы. Определителем Вропского системы вектор-Функций Х,(г)„ Хг(г), ...„Х„(г) называется числовая функция, равная определителю матрицы со столбцами из этих векторов: Справедливы следующие теоремы и следствия из них: 1.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6540
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее