Добрица Б.Т., Роткова О.В., Шахов Е.М. Неопределенный интеграл (1988) (1135776)
Текст из файла
" -«'-~ ГбсуФрстппппнв ппмвтет СССР по ппрьдяопу обрпзппаппм ЮЭ 1 Ю Й1осковское ордена Ленина~ ордена Октябрьской Револищнн и орде~а Трчдевого Красного Знамени высшее техническое учнлигде имени Н. В. Баумана Н. Т,ДОЬГ НЦА, О. Н; РОТКОНА, Н, Я. ШАХОВ 'НЕОНРГДНЛЕН~НнЯ ИНТЕГРАЛ Методические указании н решсон>о зчдан Москва .', * Тооударотяеяияй яоиитет СССР ао яароднояу обрввоэвяию Моокояоков ордвиа Ленина, ордеца Оятябрьаиой Реяолюцяи я ордена Трудового Краояото Зявяоня яицэев твхяичеояое увияяце им..уа В,Бауиана Б.Т.добрица, О.В,бекова, М.Мдбахоя Утиеряденя редооявтом МВТУ . Методяяеояио уяавапш и решения ведая Под редакциея Б,Т,Добриця йаншщ методзчесхне указавп! издаются в соответствии о учебннм планом.
гассьютренн и Одобренн иабелрой высшей ьшземе тюл 11.Б.87 х., мотодичеокой иомносивй фахультета ФН 31,12.87 г. я учебно-метеднчеоипм управнейием 29.12.87 г. Рецензонт и,ф,-и.н. доц. В.Н,Лнеоперов © Мсоновское зиоиое техничеокое училице имени Н,В,Ваумцш КоРревтор 3;3 Мелвтвив редаютор Н.Н.Фиииьюнова Ввиаз УУЗ Обьеи 2,5 п,л. !х,25 уч.-ивд,л.) Тиран 1000 зив.
Беоплвтнс. Подписано в печать 10,06,66 г, Пхни 1998 г., 3 186, Типография МВТУ, 107006, Мосина. В-б, 2-я Ваумввсная. б* ПЗЩЩйлр нй Мель нзстолшей работн - помочь студентам в изучении одного из заиневзих разделов матотатини, имеюцего большое првктнчеокйе значение и ввляюцегооя фундаментом для дальнейшего овладения ооиовзмн мзтеметичеоного анелина. В работе кратно излоиенн осповнне яонзтия и определения, раоаьютренц приеме и опособн интегрирования ф)чпашй, чаото вотречеюшихся в ьатеюатике н ее прялсиеннлх, разобранн решения типовнх примеров и приведенн задачи дхя самостозтельного решения. Решения задач, отмеченных "), приведе!и! в ответах. 1.
! о е е ~ ~ е ~ о е ~ иРАЗА йго вНКнолйуд Ощ)й)щдйщщ„),. Функция Г!м! назнваетоя первообразной длл фуниции т! ~! на интерзеле ~а,%), если в любой точившее интермла !сЯ фувицзл 703)двфференцируемз и имеет производную н'!,„-) Рваную ~та~. Аналогично определлетол периОобразная дня фуннцзи ~тш) на псхупрньюй и па бесионечной прлвюй. 0)щййыйщщ 2, Мноиеотво всех первосбразпнх функций для данной функции ття) ше интервале !а,~,) назнвеется неопределочным интегралом от ~)!е) н обозначаетсл силюлом ~ ~!;л) „~ а, Если г!ы) - любая первообразная для ~~к), то ~ ) гю) Аоо * Г!а)+0 где С - проззвольнал постоянная. )щнаванс, что есин $~ю3 непрернвна на !а,й~, то она интег- рируемз на етом интервале.
Ооповнне овойотва неопределенного интогрвла (правила интег- рироваип): 1) пусть д - произвольное число, К ~с, тогда ) й !!тв~Ьчз К Г))!л) 8~; ' 3) ) 5АюД "1зНФ Н, „Х 1„!се)~ Асс ~ !ь,~~,А,юн ~9 ! .)бш гз). !~„~„е ( ю - венечное число); 3) д) ЬФ)ав) ~ $0з)8'с; 4) ~М~Г!жЯ Г!л:!+ С,', '. 8) ) Ь!с)йи Г~~~ ьС где и °,!~~~ 1.5) ъ'-% Табаща вятодраловг «+~ 1) ~ чо ссч -~" е С ~ю 4 "11' 2) ~ ф ° Вь )ю') % 0 1ю е б), 1.6)" ') ~"~~ ~ г~ ь 3) ) м — ахо1~ ~. е й ааааа), Ьа 4 ~Ъ ~ .аччес~ а ~О" ачссоа ~а еС ~а""сс' ч<Р-оР ! Т) ~ ~ Ь~ )оо ~4а~Ы') ео,' ч'ют ха~ 3) ~ а~Ьа ~ч- "О; В) ~йч',)о„р",В, 10) ~Мо айчьъ-аюча ~~', 11) ~чоъжочс ~ М~ чо ~й ° П) б'а, 13 аж ° 4~а +О, ) ~ в-ф3о~оье~ Фсъ се ИсчР а — «м~"к~Я е~~~~+ С', 13) )Евочка д ю."О; 17) )с)очо4а~ т)очочС 13) ~Д~ В~ о О, 13) $.йй)..
сЦ„„~'о со ъю1оо ))ейсйрйдйтйе))нйа и))тйгйвщс))а)р~ Иоискьеуя овсйотва неопределенного витеграла к,теблмюу ин- тегралов, пайтн следующие интеюрау~ 1.1)н 11ьча-пючб)Ь»; 1.2) фа е д~),)ж, 1.3)" т) ~' о ~ а ; 1,4)н ~ и ь" ) и, и е ме с 1 пс е я ч1м мччо е1 ю. (свойство 3; теорема об инвариантностп форс ул 1ппегрпроважи) Всякая бюртула интегрирования сохраняет свой вкд при подотановке вместо неаавиоимой переменной любой дкКюренцируемой аункции от нее, т,е. соли ~ юаню) Ь ю ~ и.
1 С то и ) ~~,~ ЬСД~С , где а= 4~~1 - любая дв)~)еревцируемая Зуикпня от "с . Вта теорема позволяет значительно распирить таблпоу основяьх интегралов. Табличнмма можно считать, например, оледующке лнтегралн4 ~„о ~ч ".1) ЕЕ ч с)--~о~~~ Т)+~, ~д~ ~о)~ " 'м~ "~о ))РВИВР Уг, ~с„, й.с. 4. табличным не лвпяетоя, тогда иак а фю) - табличный. Тан иак сЦ„чЫ) 23 ю, имеем ~е,сь|лчо ю ~осе цю Ч ~ Ьж б ~чюей молча 'Р й ~ф.сеЯ~ю 3~Ъю") ~ а во и ю Ф О, Чтобы преобраэовать исходный интеграл к табличному потребсвалооь подвеоти под енак двр)еренцпала нацию фушщию, отсюда название метода, ))Вщщр 2$.
Чтсбн ПРЕОбраЕОВатЬ Нитотрая ~1Ъа,н)т Ью. К таб- личному, нужно подвести под енак диКереноюала выражение и*ъ~ Ъ, воспользовавииоь тем, что 6 ~Ъ ю+ и)-ЪЬ ю; ~ою~а) ~ос= ъ~~вю "~) ~~ь~ ь) Ъ' ъ = — "С 9 ))р)йбйВ„Я, Вычислим интеграл: Ьт ' 1 1 ела ~ ~дцоо~й дпимйй 4. Вычислим интеграл~ ~е ")ю--'ь~ч ".'о4сс В')т с)(Ъюъ~~ В~а ~С. Дйрейй ~. Вычислим интогрел: — — ~ - )~осе ю1 4 ~сова) а —- с,ЦоЦ'чс) г ~ соъчоо 3 чсъ1оо СОч%с В '") 5 „) г ~л А,/" г ' )е' г) 2.26)( «(с.т.геЬ,~~;.Д:Р" ' 2.25) ~ — ~-— аг' л. ч-'е й)щшр 6.
Рлн преобразования ) л ьь ('лег ) ')4гг ноополь- зуемся табличним интегралам ~а(г) ге Все -гггъ)с лС, заметив) что г) ~ аг л)гл) В~г).е', ~сг .,Ме ('ьгл л)))4ж - г)ьгг) (,'ьчггл)глЯ(ллг)) ль)»- ь саь(Ыл)))л~ ())зтодом подзедония под знак д)з)греревцнала найти ачед))алие ннтегра)ш) 2,2) 2.3) ) ЕЛ ) Ъ -)г')агг, 2.4) ) — ~ —; 2,5) ) т ггес, 2.Ц (- — '"— ) Яж"-ь г ) 2Л) г) Е .
г( 2,В) ( аг.'()-й~гЪ' 2 9) ~ ссагг . 2.15) ~ьь,У $. саьгф 4)аг 7 гл5 2.11) 2,13) ~ в ) . 2.14) ~ )~ж а" " аж) е~- ) 2,15)н ~,г 2,16) ( Ь "с ж'но ' г )Ь 2.16) ( а., 'г%~-:Г 2.19)и ~ 4сс 2.20) ~ дж. %=Чгсг ' г)а-гл5 ' 2.21)н ~ А~~ — ', 2,22) ~ 4н) (ь-ь:Г ' при реееши задач 2.15,..2.22 оледует наапальзанатьоя Фор- ьйошгш (3)...(7) из таблыпы интегралон и, если нвобхошаео. ьмто- дам подведения под знак диФ))зрвЯцивла, Найти интегралы; 2.23) ()ь(,гХ 2.2У)( Ь . 2ДВ) ~ (ь ') агСЬ))Лги () Л Ъ "Сг) г Ог Вычисляя следующие интегралы, обратите ннпгмнив на то, Чео ОДИН И ТОТ ке мкаиитоЛь При ыж. используется для поднедз~ ПОД знак дар))врешашла разлнч)с)х Фуше!. Выбор поднодьтшй и „зш к да)Фервнциала Фу)па(ш) опрвделяетоя тем табличным интегралом, котОРим удобно заспальзанатьая и там или ином скучав, г. 2.29) ~ — "'"-„ 2.36) 1 '"б '.
5-ггггг ' нгг ")) Ы" 2.31) ) 2.32) А .'". 4. глн ггго Ъ'ли 2.33) ~ †, ; 2.34) ( †' 2,35) $ 2МВВ) ~ — — ~ — — ' сс ()-~се Найти интвгракы; 2.39) ~~а л1 в 4ге, 2,38) ) (лл"ле л(~~~ 1 — 4зг 5 « БР 3 2.4))) )~-)') г . ).)г) )Щ":г . 2.47)~ ') ~ г)ж . о а) е й„ййш) нйюде Простой)маи интегралами таного кина язляатоя ° гл'К лгл г лжлг ( а,й),а,г, гл - двйотжттелыше чпола), Гассмотрим сначала интегралы о каелратным,деучленом в знаменатане, т.в. [егслс 4, лгал~ ачало 7 1 Вслсс, .о нли о, интегралы приведется к таблачным методом подведения под знак ди)сререшпсала. Воли тл ео, ъ | о, интеграл представивт в виде суьллс двух интегралов, в одном ив которых ссл-о, в другом с о.
Найти интегралы, используя уссаеаиие приемы: 3.1) 1 — — —- т Ьс Згй) 1 —, Ъссс"ж иаэс -4 33) ( ~"" -В, 3А) ~ ' -',(„ с'сл-ст лспо с)с ж лта Нуоть теперь енаьвнатоль содержит квадратный трохчлен аа'. Аи + ч(.(( Фо), Выделим 3 типа ведат.
Х. сл о. У~ в Иптотгасы ВСИа ~ — ', — С 4, ) —,-=:=-Ч сс "а ВРССВСДЕтся аслллйлсла ' саж~лчсжлс. к табспс пам шстогрелам (3)... (с) путем выделении полного квемса та в квадратносс трегионо еналсенателя. ДщАей7. Вычислим интеграл с ъ Ь-.с с(ж. ( с(сс ~ т ' 1~:'л1с-,г' т, % ('" -+ (сот4~'- „(лВ= ('г.- — '~- В 64 су ьлл ( ж - - л ~ - Х сс л - ( л ~ Ъ с в л 6 ь 4 й, сс-алсс ((аГлчсжлс), Исстоцаюш виде, «((а~~лЪ» с) ) Ь(а~'л((сола> аъ'. лсь ало а.а .~%со "с, 3. с к сл - произвольные числа, сл.до, ж ~ — ","'" с ~*В * Р~ ю'с с с" л, сь О 1 го типа, другой - 2-го типа. 2"лс ль есссс.Ь с> с с с~~ -ср с ° Сс„1,с Следовательно, Ъм. ль (Влс-4) лх с ' В"с-4 В.) —;.-с;.~ ' скотт' ст 8 1 - табличнме. й .
а -~-4-'Ь~ ~. с Е --~ 'Д7-'4~Ь Я'-4;,.слй "' ((ж-т) лс стТЕФ'ссь Й Гй~ с~ с. прйс,вй ~, Дан исстегрел ( алел -"ьсс л( Так как (Ф '-'ьселК' 4ж-ъ, то данный интеграл ссскнс написать в виде ~м л 6 (4 а-ъ) ). л д~ си <~ асс" - Ъж л ( 4сс- Ъ ть~ дж т. ( (чс л — Л 4! „,.л ~,„л~, .цт~'-ъ~ () ть с 3('.~- ч) ~ т(( Осев -асс ль 4 со - с $.
(й ' ° ц.'-М вЂ”" 1 ,ъ Ж- ~--" 4 " 4 (Ы-ъ. л(( — ( 1~ —" ~ о, где а, с.л9 Исай(йвйыс(с а) если сл а (, то целеоообраенс всопольео- ватьсн ьетодом раелоиенил, который пслсспег «а оледувщеи прсеееро, рр)щййдД, Вычислим интеграл: сс (,"(~ ~ (ос~ '„-)а(~+ ~~лмлС "(рр~ ~л~ Й (сел-''~сль 1 ь сел т, л-(( —; —, ь ьй (~~ля с(" у тл~алЬс~ —, +В . )'(л (т.'лсчсл с ( лБ ало~о ~~~ л В б) нри вцделеспп( полного квадрата в квадратсссм тоехчлено врио вооссоньеоватьон равенством а ГлЪсела а(ъллсалсслсл) Найти интегралы: ж с)'а 'Ь:4-И 3,3)и 5 — ', ' З.В) ~ †, — З 4:ж' лсе асс-4сс .в ».»»»»" 3.10) 1 5 -ь бам~ 3,12) 1 асс +Ь 6 »Ссс -Нас-»1 6ю, 3.14)»ссс+з Аж' 3.7) ) »»--» -;т'' 3.9) Яъ»1 -э ° .»»»» ,.»,~» .~» (Э аж-Ьж» 3.15)ас сс ь 6ж.
к»:« '» 4, Пн г с вшие п»а 1 --'1 — '-бса — эсс ~~Р' -щ~'м- ~1с Ась 4 О 10 Тан называетоя метод интегрирования о применением»рармулы ( с».6о сс"о -"~1х 6»»» (1) где и( ~,"мФ - непрерывно"да»»«юрениируем»се «»увнцин от ж, С помощьв этой «юрмулы нахожкешсе ')и 6ю сводится к отыоканив другого интегралас ')с 6»» . Ее целесообразно припекать н тех олучаэх, когда последний шжеграх проще исходного. Панно аредлокить дае формы зашсан решения мдач этим мето- дом. ППППйр «Ц1. Дан интеграл ') ж.а'~ »с 6э . 1.
Обозначим и ъ» 6»э ьь»»со6а тогда 6»» 6а»та-сюьэс Следовательно, (соь(»с»»с Ы ос с-соа ф~- ~~со, аь611 2. Продставим подынтсгрзльнов выражение н виде проиэведе- Ння ОоыысиитЕЛЕ(1, фуНКцнн сС К дн«1))зреяцИака $уНКщШ Ю С 6 .),6(- Воспользуемся формулой (1): ~ж ь ась 6эь Ьс 6с;ооьао ж(;сает~~-~(-сюья)аю -'аслеосеМаэьс, ,ЦПИад Ж(2, Пя тощ 1 сэ ° с»'ааЛ~»ьое, 6ю сабю, ъбоь сас Ьсс~, »»Г» С»»сЬс»11 . щ» тогдь )»а ос»»сЛ~Ъж ~с»наХ~Ъа - П ') —,«6м, -П олй~'ьсо ) ! ! л ° » о,'веча ч» ~ ь стсс~»~ъъ ь О, Ъ з сн ~ъ сэл)с») ьс бьэ ~о"~ЪПЪю' 6 (,~ ~= ~ьс~л6~~ ъ са ! (1(ь~) = н ч а сн о ( Ж..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
