Добрица Б.Т., Роткова О.В., Шахов Е.М. Неопределенный интеграл (1988) (1135776), страница 2
Текст из файла (страница 2)
—,6.а= — а»сс»сарж- — ' е — с" а~~'ь'к"с-, возпннаск вонрооы, чем руноводотвонатьоя при представлении полнптегрального ввоекения в виде двух ннокнтолей и что обозначнть эа сь что за 6ю? Если в примере П принять с = „;,.д 6о чс6та» то 1 )эе вд осбса С)сьс»с»'. 6(ф ~~ е( .'м. — ("-а~ свесь М, Получнм интеграл более слокный, чем исходный, так кан степень многочлена под знаком интеграла увеличилась. Если в примере 12 обозначить и и, 6 т сыьа»сс,ьжбса,то длн пахокда~пся Ф зукко вычислить «ачсй»~Ъ~.6ж» КотОРый в своп очередь пауэл~тая мето- ! дом шиегркровапия по чаотям. Прорыл»лнруеьс краишо: за и следует принять тот мнокнтель„ ,.который при диКеренциронанпи упрощаетоя, а эа 6с ту часть подынтегрвльного вырэкения, интеграл от которой с нзвеотен (нлв монет быть легко найден).
Монна иПСелнть 3 группы интеграла ° , которые находятся ьщтодом интегрироашося по чвотямс а) для внчиоления интегралов вида ) р ~Т» (к) асасд абю, ~2»„ссг) а;л»с»с11~ 6~ и т,д, ( Р (Оа)- МНОГОЧЛЕН ОтЕПЕНИ С» ) За с1 аЧЕДУЕт ПРИНЯТЬ «»УНШаШ »а,сысое( г.,с1 ~~фм, ооотнетотненно, за 6ю выракепие Е„О')6, б) при внчколеиии интегралов авда ( Р сэб), а~~ 6м., ~Р„(г)соьо»ю.6'м., ~Р„~ф)ьй»со.6~, где о. - некоторая поотоянная, купно обозначить сс (" (т.), Так как степень ьшогочлена ! (» (,с) равна, то «юрмулу интсгрировшаш по чаотзм нукно применить а раз, причем начднй раз н качестве сс необходшю брать мнагочлен, степень которого будот пошасатьоя; в) рассмотрим интегралы вида ) е "ъс.,Ъъь 6~,(ее"жал.,)м ')еь»» (2»м~ 6м, )сл („Ъ ~) 6'ю, Обозначим интеграл этой группы через ') и примешш дашстм «юрссу' лу (1) интегрированна по чаотям, получ;эм равенства вида "4»с1ск) сс "), где ссс(,ж) - иввестнаа фУнкциа, сс - число.
11 ь~тк О ОЪъЪК О» '2С + Ъ Ь О тъ-ъс ~Ь «« ='>Ь "л ч Ъ»- "~ указанные три вида кнтегралов чаото встрсчаютсн на практике, но нэ исчертп!вант всего мнокеотьа интегралов, берущихон по частвь! (см. нике пример 14). ИВ!сюЛ Д. Вычислим интеграл: «)з «ь««»Ь». ~!ъ'«~» 4~с ~ ъ ъ!«»«» 1!ъ»аъ»«), .ъ ъ' »-~с ъ.».
с~з '~ е. ъъ»-<,ъ съ~- "» "» '» -~а" МсоъМ)=е"ъ;;ж-ъ юъж-")е" ъсьжЬм. Итак, 3 ъа!,ъм, » - саъ С) - 'Ь вй= ъ (ъ!«« -»-»аъса) «С. '3= «~о„"' ъ(-ибо, — ъ»<,ъь "»-чсир)ьс (заметим что если при повтарнои интегриропчкии принать ц е.', получим тоииестпо и Ы ). Вски в интогролэх вида ) Р„(с 3 ъ ' Ь"», )Р, о!»,съй 4 ) Р „, »» . о нс Р ( ') е !ка ( прк р, с ч ), тс е од интегрировз!ся по частим становится громоздким, В етом случае удобнее пользоваться методом неопределенных коэФФкцнентсв. Пйт,йй ~4, рассмотрим интегрвл ~ж' ее~, Ь с, Очевидно, что перьсобразыой Г(ж) дзл да!и!ого интеграла монет бить только Функпия вика Р!.
ъ~- е'» (,Ы ч ъ«м'~- о«ж ъъ'>, где А,Ь,С,Ъ - числа (зтк гиена НаэнваЮт НеОпРеДеленвымы ксеР- аициентеми) . Подберем неопределенныз коэфрициентн так, чтобы в любой точке и ннтергела (о,,ег) выполнылось равепотво ~ты~ Ф!~св) т.е, »ъъз»' (ъ''» ((~ ъ~!ъж'лс,»+ч!~')', Вычислив производную в правой части равенства, получим озъее» вЂ” ъ ъ ~( к~ж~ ъж" ъОчс»ъ)~ее»(ъ )чГ'~зч чс;Ф 9 (~ «»Ъ Ъ 2 ЪССЪ» 2ОСЪ + 23Ь ««Ъ (ЧСГ Ъ М ж "С, !(тобы,июгочленн в правой и леной чаотлх равенства были то!~- деотвенно равно, достаточно, чтобы были равны коэффициенты этих ынсгсчленсв, взптые при одинаковых отепенях ж ° г, е. 4.19) ) ГчГ е!«««ъЬ» 4.20) ) (,»" - ~"'л.с«',<~б Таким образом, ю,ъ«(е (5»- ч "» ъд'» ъ')), а значат ~ »ъе' «(ж е (~з'» --»сч ь Ъ' ч )~с рдн вычисления методом неоырзделенвнх ков(йннп!энтон интегралов вида ')РЩъ с»ъч»Ь»,')Р„сс!!Т Ь Ъм«)»,где» - стспопь миогочлена Р„~Ю, а,Ъ - числа, первообразную Р(»4) ну!ю!с ко- кать В виде Гизев ъ» ((ь п»]чсй»~Р„Ч»)ъь»ъс)ъ~ где (Х г»~ и Д (») — многочлсны степени и с неопредолсн!сам ксэй«(!пглента- ьм, зги коэййнпп!энты изино подобрать так> чтобы ллн всох ю вы- полвяпооь разонотво Кж) - Р!~ж).
))Лл этото необходимо! 1) проднКвреннировать Ре'Ф ', 2) записать равенство ). !34) - р'Чм) и сократить на е 3) приравнивал коз(4!нцненты прк одвочлонах в!с(а Г с ъ$»с Г.ъ4,~Ь»(к=ай, „,,«) в левой и пРавой часгвх етого Равенств, ооставить влгебрввческую систему с уравнений о с неизвестн!пэ!, решив которую, определить коэК!!п(кенты А,!ь,. „ Нанта интегралы (интегралы 4. 19, 4.20 найти затоном носпре- деленных коэК!иц!!энтон) 4.1) (,Ь Все«)ж; 4,2) 1с»Аь(ю Ъс» д» 43))юъ ( 4,4) ) ~Г-с)»»ъ цж4» 4,5) )«Г ч«»4» 4 Я ) н ~ Щ -ж~ «ь'» ( о.' о~!; 4.7)и )».ъъс»съ "»«)«», ' 4 8) «(»» 4«9) ~ ф=ф'; 4,10) ~оъ Ьй с»4», 4,1Ц )З«» сейте ' 4 ° 12) )('» ЪБ «~т«»4'»', 4.13) ~ т»«сь»лх, 4 14) ~1,юч»ъ(ьД4») 4. 15) ) Сд о «ей» С«4»« „) 4, 16) ~ Ъ!» (9««») 4 з; 4.19) (, — 4 ; 4«13) ) Р4 , ъь ъ» 13 ! 1 и т.д.
6, Янтег и оваАпАе аА и ны о ДсосЕв!~1юде рущонельйый дрйбй К просто(блпгщ1 раАп»ональниы дробям отнооятоя дроби вида »с-« ' цм-»А~» а~~ »Чбж» « 1««бб ЛкшбоА)» Продполагаетоя, что в энб»еюыатеЛе ДРобей вида 3 ы 4 6"- Цасщ О, ИААтэтралн от ДрОбей первых трех видов; б1 — Ь«» = Ч»„(«с-«'А +«б Ь ~-« ААш.-«~" ' [и-ГА(«А-«~~" — 4»»» — "А ((м ( сЫ» Ъ бш о'.(» А) а«А»»й««»««а А где с» - таблкчйий и1Атегрол, значение которого зависит от но- эб»чивиентов «,Сб,«.
Интегрэл от дроби вида 4 после выделения полного ивадрата в знаменателе и соответствующей подотановии монет быть вредотев- лси оуьвюй интегралов д( — ° Чь ') — — „. » И» а» Ать«»'" (ч'. »а'"~И ' (2) Например, »ъх+ в) «»«абаю б 6 ю Ак -Абш Ф А»Г-1»««»ь1ь А,»~~-1»«А" й) юаш ,1~ »ш ь»сАЬж -Ь) — — „, ЕЦ '1,,-'С'1, ь+ ('Цж-ъ]" +А»1~ ((ш-з) "А»") ((»с-А) А А») ,=Ь) —,а +11)— »А гАс -т'"А еч ( (»ш-«)А+«Р (Ь,'»Ч)ь Ь'»~Ф ГДЕ Ч»ш-э ', Ь Ъ; т»=Н;ат 1», Интеграл первого слагаемого в (2) берегся проото: А, АА»* 'б А ! ~,= ~ А»,»б ~А„»А»,»б ° )(эя выбАиоления второго интеграла в (2) поступим следующим обра- зом, Обозначим д» И А ~„Ъ.|«',- Пусть к А б тогда 3» »1 ' — «ой» вЂ” »С, ,ью »»б « Пуоть к:-ь б тогла 'Ь~ ('»» .«"')»' ЬАА«А » АА эА,».:А.- " 'А*.ь' —, 5 «А».
А э< » 1 ' (~ь б~». — » — ") т ° А(, а «А А А(к А) (А»А«*')" А Ф !»А "» '», А'1 'а' "-' А«А (К-АА» (АА»« ')«-А '(Атч«А «б а "««са («-гА(т"»а»1 и«'Тм-А бтсюлш т . А ! т» -ь , "в» !И А11»А Ас«-А " а» "з»» с получили ренуррентную ФорААулу, позволяющую вычислить интеграл дия любоМ к 1 . Например» — — — а«~л — + »А э т«б» ъсь И«ь с с, , „» — А — + — »АЧ«б» -'АЪЩ ь АА«»(«б ' а7 "А«» А.с«А ((»»«») "б«» ЧрйвйльАвАе рацйонаньннй йрй(й Рациснвль1Аая дробь Р»ш1 «,ш Аа,»« ... « АА И-А 0„»лщ, % Г»~$» ш "»., " Ъ наэываетоя правильной, если отаршал отепень в числителе ьюньше старшей отепени в знаме1ателе, т.е.
с» А, НаприА!ер, дробь ~Ф'- ш „с᫠— б, ббб, ' — б — - б бю» а Ы-'ьж»Ч ".с Аьюе -АА внльные, Чтобы ив неправильной рацио1шль1юй дроби получить правильную, необходиыо выделить ее целую чаоть, 'для чего достаточно поделить чи«ААитель на энаыенатель «уголноы" ра«лйий1ще цйаввль11ой Нар(рнйльнйй„дроби,на йу)р(у йрйсйе(йша Дия разлсыення правААЗьиой рациснвяьНОй ДРОбн — — -- на Р»ю оуыму проствйших поступают следующим образом. 1.
ПредставюыАт Анвгочлон ()ча1 в вице пронэведе1пбщ л1п1о',1- ннх и нващАатичных Ашюиителай ! ! 1 1 Хй '04»4 4"ю Й1 ° ~Ф ОП „!Ы4р;ю «,'!„, 4ж «рр, . ф Здесь с~ - » -кратный,~, - % - кратный и т.д. кори уравнения !), 1 с ! 4 .'- р; .ч,;), „„!Г р,,л !) ) - квалратные трех- чле!э!, не !семино действательйих корней, т.з'. р', -4~),~ с, „, -, рч -4) 2.
Предотавляют дробь -~-', в вике суммы простойных дро бей по фОр4цсче Р(- ! Ъ «)4».~ А, Ьч — ш — + 5!чФ! (м с4! ш с4)» 4 'а с!) 4сс ф ь| Сосо ~ ъ! 4...4 ' ...+ 4ж-,)т! 4»-ф ~;м 4Р,'Я 4<~„;~ СЭ-Ж Ъ-~ С(ж4~~, ' ' Е!. ж«Г 4~'4 р..а« сыч) х'+ ю,,за «с),„ где й»,а„,,„,,йч„$4 „„,СэЪЭ...,,П!,7Э„„,,И,,Р,— непота!!тй, так !лзйваезэ!э неопределенные коей!))ицненты.
3. Вычисляют неопредэлешше' коэЩициепты, ПР)шйр Х5. Представить правнльнис рацнонэаьные дроби в ви- до су!еы простейэих! 44 с + 1 !р~ 4)4аа45)!ю«Я) ж-4 ж~ь с«4!з .4~ э! 4ж«ь) 4с~ж«4~«э) ж э 4сэ "2~ ~Р4 б) Ъ, Н рж«С4 )44«444 ', жй ъ 4ж 45) 4жэ» 4ж""!у м'. 4 4"ю«Ч ж.-)Г ' 4 э, С Ъ И !- М Л вЂ” + — » =Г« — 4 — + шЪ! 4„4, 4~ СЭ ж' а~ 4ЗЗ-«1 Ча-4 'Ю+! СЭа+ С~' Представить правиэыше дроби д виде оу!аш простейших дро- бейм жз 5.2] же-Сйш 4С>' 4ю эзФ А.з! 5,3) ю . 5.4) ти-ъу;а'4Ь:с 46 !» ' 'Ы'» ! Г ~аз 5 5) 5.5) ъ«ъ! шъ б)1 1! 4 т й)й Ь„ъ Оъ Япйсйб ойрйделй!пш„коэйфигй)онтсв Пля определения козйфициентов А,'Ъ,С,. „приводят правую чвоть раалаженвш к общему знаменателю, сокращают общш! з!пс!ана- толь слева и оправа и определяют коэйфпцнэнты, полъзуяоь двумя оно сабе!ам а) приравниванием коэййиц!!энтон пря одинаковых степенях ж олена и оправа! б) полога! ж олега и справа равныи любому действительному чиолу, в первую очередь полагал ос рав!шм значенпэм корней з!ш- менетеля подиптегральной йункшш, Интегрирование правильной рациональной дроби осотонт в сле- » дующем! рззлоиив знамо!атель на иноиитолп, составчлют разлоке!и!о дроби (2) и, определив коз(!рицкеити, дашшй нктегран представля- ют в виде суьшы интегралов от простейших дробей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
