Добрица Б.Т., Роткова О.В., Шахов Е.М. Неопределенный интеграл (1988) (1135776), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Дршщь Д~. Проинтегрировать выражение ь сю - 54ъ."ъ) Под интегралом - неправиэьнм рш!поналъная дробь, позтову онача- ла млцел!ш целую часттм ~ж %с.«а Ж«1 4 Сж -!)444 чь! 4сэ-С!! а .ф 5= ~4шез« 4 З.'-"м «й !"д4Г! т Ч«445 !'ю-С!4".с" и! ', а 4«а-г444«ь) '' 4оа«6 ' Ь РЬ чж-~К"ю«4) .»э ! ° «ь ' Чсс- Ф Й !4[зэ4Ъ! '4 Ъф-С>; А Ъ»)44, А М ж ай ~-!к--!~!ь э» и !5!«, ,'4".с«й" )5 !й'~ !ь ! Ьа ~..~"4" аЬ 'Х ., 4 з~-~, Д !са«Ь а 4 4')'»!ьз !)4 4 ~ш ч« ') сч4ь'! ' С, Пцююед„аь Найдем интеграл бж Совэаоно обней теории — — — М:В '~4 у '». 4~ ** .о "' ~э !! а. а,„ после приведения дробей в праной частчэ к обивку знаменателю и сокращения на этот знаменатель, получим 1 ж А ~м.

22 СлР «и «Г) е Ьтс«С»у «с «Г) '(С с ' Ъ) юч (се «2), прправнпэая кознлп2пентн црп одянаноных степенях ю слева и опраае, полу щем систвэу дэя определения коней)нпиентов (с,ъ с,ъ . гу е« с Ь, ч ~ь С Ю. 28«),«Ь«2С*Ю 2 Д е а « ~Ь «2Ъ «с" Решая эту систему, получаем й Ь С - «ь ° 22 - 'Ь ъ; такты образом, ч «Ью $ ~аль я Ъ 'ю«2 «ю~«~с«~ 2~~~ Рю(- тй«(»'. 2\ — ""2«(ю «ю«4(- с«ч»2Ь еС, 6 " ЪЛ 1Ь ДП(оюП.Д8.

Найкем интеграл ~м.Ьж .-6ъ( 1 2 Ъ7 разложение полынтегрального вкравиптя имеет нкд «« е ~« — — « Сю-С«С~««2~ «Ъ2 «ю-~ Сю-~~ Сю «2чс ьЪ Отсюда «ю» В ~ж-ф~ж«2ж «ь) ~Ъос««2а~Ъ~ "(С ю«Ъ)ф» М~Ь«), комбинируя оба способа вычисленкя козй$ицнвнтов, получаем спетому дпя пх определения: (ь(~ ~ 2 «;2; з. «вЂ” О (ХьС -м (Х- -С. О 2Р«- и ЧСЗ-2С Ч "Ь вЂ”.ъ (Ч ~Ъ -2С Е22.-.0 -ЪК«ьт««Ъ .-~ -8(~+Ът Ечз 0 ° г.

«а~ / с1 охи(2 Ь'Ф = «х««2~ «'Е зь«*2се ЧЪ 'ЬЕ Сю«С»«2 ((, (м-О(- — -— ь ПС -щ ! Ъ (сс-М вЂ”вЂ” 8 Сю.-Щ 1 лй 18 Решая эту систему получаем Ъ - -; С - — ° К« — ~, ~Я ' "й ' 6 ' Подставим полученные анапе!пи коэ(Фицивнтов н разлокение и щюинтегрируем щюстейпме дроби — — —: — а° Ьж 1 М ~ Ь Гх'ю- ъ ~,"А'.- (д(..2 ~Ъ~ ~8 -~ ~8 ~ -С~ Г'+2 +Ь В. Интегралы вида )еь ж «сГ"сеЬ-л при «~ с,е «2»«ь(»»24 подстановкой и чсесс принодятся к сумме табличных.

Воли » о, с» ь, С»»~'> нуяно сделать подстанопну и чь»22 . напоинэан что не обязательно обозначать новую переыонную и . В простых примерах достаточно подпеоти сж, се (нли ь' ю ) под знак днэберенщеиа и записать подынтегрвльную Пункцию как йуннцэю от ' еюео (ипиаЬ'х ). )ЩщЭПП 28, Вычкслнк интеграл ( с чю~ьсс ) ~Ь«« -э(««аЬ«е - ') (ь -и "'1 Ь» - (,и - 2 — " П ) е С Ъ« »ч ъ СО'Ь2С Е Ф.СЕ «О— 2.

ъ Ь:)~Ь сс ь ' 5 )',(р)й(лр ~Я. Вычиачны интеграл: «;.«ф /ь«ю%' т 'еле«а . ь('ьь««чч~ ~ ц-~2««2 ю1 Ь «.е«»'зй 2 Д««еж ' — 'П Д' »т «ю«е С, жОли «ь«о;«ь«2» и»» с, «, тр С», ран)( «««или «« монет быть разно нулю), рекоыендуетоя всапольэспаться бюрмулаыи тригонометрии Ь сок 2'з«э' ~~ ею 6 '2са соь '໠— 2 "1 е1 '««ю ~'.оъчс цч(»2 е, , Пйййюй ЗЯ. Вычиолим интеграл~ ~ Ь» д «)~ь~тссесж лось 2ю~Ью ««сюатж 2 с (ю+ ех»2~е ') — -Ьсе2 - Сж чх«зчс" — е — чь»»'»1« «(.~еаъЕю н 2 а Ъ ьс «8 'юФпе»2ъ+82 ех» «с, Дпя нахокцвния интегралов вида ~,„, где Р»ай Ь~ ъс«««" ° ьь» е (одно кз них монет быть равно нулю), необходимо воопользоэаться ~елуюинми Формулами тригонометрии: $ й ф ~Ье1сж . «(.4 й$'в ' ееь 'ю..

о ! ««~в ъ и учесть, что 4~~~ ~ сов чо ' о ьч»ча о' Дрвлбр З~. Внчнаккм интеграл: ам. ( 1 6~ 1 — чч -',— —.— „„', 1~и ~~ ')ЗЬ~ » ч:уя « ~~ Ч.~" тл л б, ЯПЗьПП Я, Вкчнолим интеграл: лло Ч Ь дм. чь»«м чоь и. ' ьМ'ж ь'о ~ ' А ~ РО- (и ьАз~~ ~~к+ -'ф~ь~, н--„- -' +о=ь. т.-Ь- Зтот интеграл монне найти, примении токдеотио ь~ чоь'оь ат»'ж л«ь л«« Еро й соъчч 'М» чч ооа чл аЬ~'ж чо~ьчл ч,о»я«а ед»' м. ллль ~ ч«»чъ ч» чл сов чл М»чм — ~(~«отл~~~~лПфщ~ф~ ~~р -2й~че" ~ вал~ со+В, ',Нлмечантв: находя пернооораенуа равннмн опоообвми, мн по- лучкеи тоядеотненно равняв фунтики, так как л «Ъ~ ~~и — - —— чл- ~р -то)ы«1чо'- Й$„~ НИИВ Прниедятея Пркивркл Где Л»«О»л О л»М«та ~»Л«ЬА) Примни ЗЗ.

Дан интегрел ~ Вь«оч слл» 'й Поделим чиолитвль й знаменатель на ллльч м, оделаем подотанониу и- ~~и. Ьчл ' Ьж 'чевтчч л ЬЬЧ1 ~ 0~~2Ы аь»'в сюь'и ч«ч«сонм . ~дч сов чо ~А~„.,)Цл~~~ + ~ л — „— ч4 й~Ы ьС, Ь~~а ренин втот пример но-другому: ЬЬ» чч.ллла чл ° Ь ж чоъъ ло~ъоч аг»мссн,ж ' ~ д~лоь".еЗ л лРи ) " вл л — 4"~ Ьа 1+С лов«г. Ь тм тчаечж ))р)З»П Зб, Внчиолнм интеграл| л1 чЬ~ )уж чочу жЗ"м" а 1~а» Зля ~ чл«~ ™~» ~~~у. ~чадчь- у' лЕъ'» и "е'~а" 1чоьЬч"«долгачев б, ЯнтегРаян нкид Ьж А"й « ье» «,~ аходатоя о помокни нодотанонкк О Ь~-~ дПЗПЗП 3, Внчколнм ннтеграл1 ь„х; ~~,Ач «1 / ам Ьи ~1Ф» ) М" — ~п~ь«\~~~~~«Ь,~ьлрЛ«с." " ~м~ьАл«~««л Ж "о«Ф 3.

Дкя нахождения нктегрелон нида 19Л ьк. „„ачсж')Ьчь ~к» а М рекомвндуетоя подстановка и = ЬАче . йж ))рдей ~Ы~, ран интеграл Ъсаъ ж -чал.» я Подолии числитель и енеменатель на .о рчо, «лльч;е А(Ф.З~~ 1 лф2 Ьф) ь -й~',~ чх ь ф~,,»~ ЮЬ'Ж ~лл«я ~ 1м Я~Зов - Б А. Интегралы вида 1лла'", ь ~ л лл находнтоя о помощью формул ',о й ( сов ж %(м-Ф ППШр З мВнчкояить интеграл~ — >А - ~Ь~ АЬ~,, - ~ЬП' А -ч"~Ф„, ~~.,~ ., ~,С б, Иатегралн нада ~ а'»» .л. ооа»~б..о, ~ьаь»т«а ъ»всхлипе и ~чо«л«м колл «асЬчьупрощантоя о поиощьн формул а» 'юг. еачл»ое» П ~ем ~т«»~лль+ улаф»»~ло1 'ЬЬ» л«о' чь» л 'й 7[соя(л«-Фа оо цт л»>«ч~, ооь л«а«чое»чь а~чо%~л»-»)ж" чое~л»л»1т~.

~н ~ з '" „~1 ~-„» "— ннн')Ьч. -' (; — ' и о ~ ~„~ е мнн „ и сс моино токае польза йри нахондоззз интегралов указанного типа мокко зетьол затоном интегрнрозанпп по чаОтлм. УДОбнО пр нтнне ~ инм нять резощ пурре Формулм, которне ыогут бить полученн опеку оледувцим обра- 1," 1 —, -Ь НйЯ 91нС, Апзлотмчнуи Фарнуку получии Дли интеграла '~ к;, ~„, -~, ~,—,~ а~ ~Ьй~~.С, 1 ~ — к-с~ю~ж нС. йа вью а йкя нн за Ь е, 'еа+ соассе а — — — Ьж "3 е ~солж.

н ЕЬ"а ссннна, к н ъ'а" а руоть о и и саь нс ' Саа 'нзасна М Ь а Ь~ Ьйм. — — ь. -~- —, соа а са~,"'а соек.н~,а ".-.",, т~'"" й — -ч-~-З '- соек ж к н <„ъ сн>соан ~он ~бнео" ~~ ъ'к с сое" сс "" (~-~~са4'"'сс а-н 1созо час ~к-Йсаь" см. " ' ~-С -3 Чеза С Ж Э";у н,нк, ~Х. Тогда длл к Ъ кмЕ соева Осае'м е ' осочнж т, -'4 %" а дчя к а =,, Ь..й сочно с с ЪйннЪН 1 ч ъ -~~„"- О-~-~~ -~-'-.с, дли о и "4,.

1 — - — + — к „'нйкн'- ь (З,"ка а"а еск сс ъ беннй~к — 'л "+ 'у ейк о с;;к.а с-И~ЗЬ+г,ФС.- —,, -'" - л-ь~ ~ ~ .н ~ 26 з созна $ соъ-а Й ч и д') 'си т,д. ЬОЕМ'Е ~, «-~ 1 Нк-н ' чйнн" дщубйр Щ, Внчиол нтегрзл ~~ ° ~ 1, ьЬс ж со%'а ъ сое'а ъ / на~~. н ъ дз;„и, с~, ое;н~ н -~ ЬЪссйн.с, е ч ЬРЬС. насас ъ сои он с Ъч" авйкнон Ч Ъонн а В 'нй н е|ттегрй~занне„гйпйрболичейкйк Фукнут При интегрировании гиперболкчвоких Функций иопользузтоя , следующие Формулнз ср а-4~~а (сннсс~' с3лм, сЬ'сс .

— ' ~Мор тж) (,с3лъ~' а~на, айн ж к~сМЧсс-Х~ . ~цн а~', ~ь~н"а'~ ЪЪ .Д,ж ' еЪт4 Ннтегрироиание гпперболкчеокнх Функций производитон аналогично интегрированию трнгонометричеоких Функций (пркмарн 39. °,41). рррр„йЙ с~на ~Ф айа 1аннъ.йсйкф~ ~~4~с-ц~4фл~~к З -орка тО, Друкер ФФЯ~ ъ~м Ий й айнна Мн'сс с~д~а-~ з .есин'онЗ Щ!Ой)В 4~ ) 'Б'424 (х-4 ф х4 = о: 4Л 'к - ф 'а4х с)е! х = ж:И х- ~ — — ' х4Ъх-Ъ»ЫеЫ+С.

4(! ю1 С)ех В иаыючсьс!О парагрв(а рассмотрим Ощв один тип рацисналивмрующих полстаноюск! триьюноьетричоокив подотаноюкк, Рпи нримвнпются ю слодующих случаях. 1, уй тра ю!!Па ~щ( (а! 7) 4 гдв и - ра!Хионаяьяал фуню4НЯ, нахолнтся Крн поЬ,Юьс! пс![Отансйки Х асс,Д„ИЛИ ф Оююех, Дйй(ДВ Я42. исчислим и!Утвграл! с!чт а ей — — И (х'-! ' Яь х ьэь|,' ' 1ь 4х Ью' ' 4Х !Явь !. ' — ъ всех б ~ж'-ь- сйв СОЪ!.

~в,„'Ъ. Хсо!4 4Ъ -'„~ь!е~тЪА!. 11(!-аач 44) М" 4 (т-Ф'1(~х'-! !. ' Оа ь ' ьхе!ф+с, -ачааса — -"- — ' — 40. Ври порвходо к ивромв!с!Ой ж иопольвоиалиоь форюуля тригономвтрии и то, что !Яь»,ч и чьеьх пщ(ем ссът1 !!Оьеъ !Яьх !сати.!~ чх ч~.- хь(~~-Р) ! 4(ь-х'ЪУсс'-ь юч Найти интвгралм 7.1) 1" — '" 7,3) ) чхе х ° чювьх 4х, 7«2) ! чае!Оьбаа! 7.4) ~ссъь Ьхах; 7.20) ~'й~ъ е)рж Ьх; 7,22) ) — —, )х х- Ъасе~ (Ч-х1 д)-х' *Ъ~еЪЬ~ ' Ъ~,ювъь ьхе'Ъ ООМ, — — (-*~с.

УЪ=' 2. Внтохрал виме)9!х,Га' х' ~4х находится подстаноикой "с а44!.. дрй(юр 43. Внчколим интвграл! ж'4х ' член 44~'1 ---тй г;;лк- . ь — ась в 4 асМ ,21ь(еь4, МХ„Х.мъд1 +е ч ( Л 1ьъС Ъ Ь ХЯЬХа (для парохода н стювтв к старой пврвмвнной чс яуыно юсопольвс ааться тондвстаом ~х 4а) . -! ъ" „) ~к~-ем'Ъ Ра" 'ида '(!(х, чх -с, ~4х находитоя псдстанон кой ~аЪ1 ЙВ!аЗВ 4А 4Внчислим интвграл! 7,5) ;„с , ' 7.7) ( Ч(ечх СО~~Я 7.9) ~ а)сй" х4х; 9.1с 4ю Ъьчаьех+Ъсюч'ю 7,И) ~ ьхеъх. Ъьехах', 7,1В) ) —,—, 4х! ссаь ~, а(е~х ЧЮО'Х - ВЬЕ'ж 7.17) ) — '","- 4 ", чеб(е |ю 7 12) ~Мх4ж, 7 21) 5 — , — , хч4 Ф 7.Ю) ( Б+~" ~х;.

' Интвграли 7.21~ ™ чвсиих подотаноиск 7.6) чье~х . асехх 7.0) ~ 4х 7 10) )~Ъвх ах 7.12) !! ~~, 4х; ЪЬк" х 7,14) ~чс тйе~~Ы14х, 7.16) Ах('Ф чОЪЩХ 7,1В) ! )е! х4х' 7.хю найти о помощью тригоиомвтрн- 29 4 б) -сь2м б (аь аь-с)2сс~ж. с 4.8) Д+аьб" (2~к 4,10) м ааспб «-)69 (ььббь,')ьь. 4„11) цб ь 4' "2)' ь(~""Йссасьс "Ььсьебаьс, 4.13) ььь" а''ьЬЛ.соааб Ьь9 ьб 4" Ь4) ж" ьаьсаб а) "Ъаи"ЬЬи а Б ссь 2„сьев 4.?б) ~ аьссб сс — Ь,,д«+ 1 р ь ссььЬ)ьа 4 16) ф (сЬ~ф сс)-сссф суьььь), 4,17) 4.16) ь ~Цж -ь) е ь а; 4 19) с~~Р ., ~,),с~ 4,2О) Е ~- ь-б хъ +ьььссь-'ьйм+м) ьа; Б.Ц вЂ” + — + — „ 6 ъ 6.2) Аьсьма Саь ьа ь Ььь ьь Ь~ '~'Ьс~ь) ы ь'. ° *-~г -а бб) А 2 „С Ъж+Е ~жьб.

ЬЬсс~К ~м-6 ~Ф~-ь) аР;ж~ь' Ь Ы +асье~' ~~,ь, ссь)а ' бб) ~~)")"'Ь) Ьб-~ -М- А~ ~ -+Ь)Ь2; — ь — $ 1 — )ьс ъ ~.с -ьб Ъ аьча б 11) -ььбб,)ьс-ь)- сс-ь ьъс~м)ьсь-цьс ° а 'ь- ~ва да «ь~-~~се ! ь а 6,12) ~1 'Ьм~ Ь)ьс; б, 1З) Ь 6л — ' — + — асасл '"' ь са„ , 7 ъд ~Г-~Ъ б 1) с~~ ь -ь9 'Ь'сж' ь -ьЬьс; 6,2) сЯ' - Мж" ~ 3 ~ж -бь ~ Я «ь) ь0; б б) ф /Я~йф - - йм~."ь с С; 6.4) ЬГ - М'ьсс М ьъа Л~ —, ьЕ, с ьЪж б,б) ассьба „~-,, +ь; Йоьсс~ъь бб)-, ЬЬ- ьь 7 1) ~~аж "" сььасс + ь" 7.2)б~сь-сс'ьс'а ~ — со Ьаь; ! .

Характеристики

Список файлов книги