Ахметова Ф.Б., Добрица Б.Т., Сырцов А.В. Неопределенный интеграл (2008) (1135774), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тогда =|-,"'.=- |( "-,'-.) = = — 2 ~ +4!п)» — 2! +С.=- »'(»+ )' 2 = — — (Я вЂ” 2х+ 2) — 81п~Я вЂ” 2х — 2~+ С. ахз+Ьх+с«Ь = ' «Ь = Подобные интегралы можно вычислить также по частям (см. пример 14) или с помощью тригонометрических подстановок. «»х Пример 30. Вычислить интеграл 7 = 1 „» (х -Ь 1)зз/х~ + 2х Имеем 1 1 1 =»; х+1= —; йх= — — «»» х41 ' »' »з 1 »з «»»»' » «»» ,» ((1 — » »г 1»»з = ь«1- »а+ С = 1 (х+ 1)2 1 /" 0(1 — »') 2 ./ з««1 — »з +2х С +С=- +С. )х+ Ц Интегралы рассмотренного типа можно вычислить также при помощи искусственного приема, приводящего к обратной подстановке.
«»х з.и. р «(* — (' 1 ' '1 1 помощью подстановки» вЂ”.— =е. х — с« -=' —; х =- — + о'.: х — и 1 «Ь = — — «(» приводящей искомый интеграл к интегралу вида »з Р„(») «»» —, который рассмотрен в разд. 3. ;«а«»2+ Ь,»+ с,' К этому типу приводятся также интеграль«вида Пример 31. — =- / х ((( + хя — 1п 8 18 — 3С= "(,")' ~ ~ 2 | ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ х ~ ~ ~ ~~ 2 1 2+ ~/Р+ 4 2 х Найти интегралы: 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций.
1. Интегралы вида Л(а(п х, соа х)«»х от функций, рационально зависящих от аш х и слн х, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной» универсальной подстановкой» .= »а —. Из формул тригонометрии следует, что 7.1) (х 4 8)йЪ:ха «8( |1«9-" ( ( 7 8) 1) «2 — -11 о ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ! ~ ~ ~1 «Ь 7.7) 1 .» Ю(з»'7 ~,У*) ' 7.9)" (* -1(* (1 (-1 1* -' 7.2) .» Л+б«' 7.4) (хз + 1)з««хя + 1' 7,6) 8 — 2х + хз «»х. 7.8) ь,ЗР— ег. -,-1 7.19) (х+ 1)зъ'хз+ 2х 30 31 1- Еяг -'"' созх =- 1+ 18г — '+" 2 х з1пх =— 2 21ь".
— 21 а ах 1+1г' 2 2Ф ох — — -— гг ' х == 2 яхс181; 2я1 1+ гг гг совх - —— 1+ гг 4 -= тк 2' 21 я'пх =-- 1+1 ' Нх 2ашх — сов х+ 5 (' з) е+ —, +- 2Й э 5 2Ш 44 1 — 1г / бтг+41+4 1г 1 ~ гг 1 31+1 1 318 — '+1 = — ЭГстя + С = — ахеей + С. Д Д /5 Д 2. Интегралы вида в1п""хсов х4х при т > О, т = 21г+ + 1 (Й б М), подстановкой 1 = соз х приводятся к сумме табличных. Если и > О,. и = 21 + 1 (й б М), надо сделать подстановку 1 =- яшх.
При репгении задач не обязательно делать указанные подстановки, а достаточно вш х илн соа х подвести под знак дифференгпгала. Прнмер33. вшв х Нх =- — зш х 4(сов х) = и интеграл преобразуется к виду Я1(1)сЫ. Таким образом, инзеграл Л(з1пх,созх)йт всегда рационализируется с помощью подстановки 1 =- 1я —, но применение этой подстановки часто прн- 2' водит к громоздким вычислениям. Этим методом удобно пользоЙх ваться для вычисления интегралов вида 1 / аашх+ Ьсовх+с ях Пример 32, Вычислить интеграл Г 2ашх — свах+ 5 Имеем — — (1-.соз х) 4(совх) == — (1--2 сов х+сов х)4(соях) =- 2 з 1 в = — совх, + — соз х — — совах+ С. 3 5 Г' совзхдх 1 соаг хсоах4х Пример 34.
~ —, ~в1пх чЯпх (1 — ашг х)Ы(ашх) ~-; — 2 — — --- 2чя1пх — —. У з1п' х+ С. ~/а1п х 3. Если т > О и и > 0 — четные числа: т = 2Й; и -.: 2р (Й, р Е М) н одно нз чисел т илн и может равняться нулю, рекомендуется воспользоваться формулами понижения степени: , г 1 — соа2х г 1+сов2х . 1 ьш х = —; соз х --. ' и в1пхсовх = — з1п2х. 2 ' 2 2 Пример35. сов 2хдх = ( ( — + — сов4х) Нх —— ,/(2 2 = Г ( — + — сов 4х + — сов 4х) дх = / ( — + — соз 4х 4 ~- — (- -1 — совбхГ(Нх =- ~ ( — ь -;соз4т+ — соз8х ~ах = =- -х+ — зш4х+ — з1пйх+ С.
8 8 64 (1х 4. Для вычисления интегралов вида I г„„, где у вш "х соаг"'.г' и, Й Е Ф (одно из них может равняться нулю), необходимо воспользоваться следующими формулами тригонометрии: г, 1 г 1 ~ 18 ', г 1 + стй х сояг х в1п' х и учесть, что дх 4х — = п(Фьх), — „= — Н(с18х). сова х аш х х ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ Х ях /" 1 г 4х (1 + стк х) Ц(тих) — 1 4 ~(1 .) .г,) 1+ г + (г1М') =-ейх —, +С 18 х 16 х 18„- 31 3.
32 Замечание. При интегрировании тригонометрнческия функций правомерно применять различные приемы и формулы тригонометрии, так как в резулкгате интегрирования получаются тождественно равные функции. кх Пример 37. Вычислить интеграл / яшх. соягх Здесь т ( О, п < О; т + п. =- 2й (1г б М). Поделим числитель и знаменатель на сояг х | 1х |"; ~4(1К ); (1+ гк х) = я1пхгоягх,/ Мпх г „/ 1Кх = у ' -1 ( 1К х 1 ($К х) =- 1п ! ФК х~ + — + С. Г 4(1Кх) Г 1К' х Йкх 2 Решим этот пример по-другому: » ~ ~ ~ ~ ~ ~ г »гх / яш х-~- с»игх / яшхИх — г1х =-,, + я1пхсоягх / яшхсазгх / соягт, + ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г Йх /»г(соя х), / Йх 1 я1пхсоях / соягх 1 яш2х 2соягх + 1п|ЕКх~+ С =- — (КК х+1) + 1п(1Кх~ + С = 2 =1 ~1~х~+ — +С~~С~ = С+ — ~.
1К'х Г Ц Оба ответа совпадают с точностью до произвольной постоянной. 5. Для нахождения интегралов вида Л(яшг" х, сояг" х) 1х (Й, и ~ ж) рекомендуется подстановка 1 =- ек х. »1х Пример 38. Найти интеграл / ./ Зсовгх — 2я1пгх Поделим числитель н знаменатель на совг х: Их ~ К(гК-) 1 4(.2К-) а — 24Кгх | 3 — 2$Кгх»/2 / К вЂ” (»/2ФКх)г ~Л+ 21к 2»ГО ~ Л - »Г21К б. Интегралы вида 1К™ х, с1К~ т. (т е Г»~) вычисляются с помощью формул — с1Кгх =- сояг х ьап х Пример39. 1Кях ах == 1Кзх1Кях 1х = ~ ~ з ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ о — 1К х — 1 дх= 4Кзх, Ых — 1Кхгй~хйс= соя х соя х ~ ~ з ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ з 1 "''"'-| "( -')"=| »сояг х ~ ~ ~ ~ а э ~ 2 4, 1 г, — 1К х Н (1К х) + 1 Ъйхг1х = — — — — — 1п ) соя х ~ + С.
4 2 7. Интегралы вида яштхсояпх»4х, яптхьшги; йх н соя тх соя пх гй: вычисляются с помощью формул гйп тх соя и г, =- — (вш (гп + п ) т, + яш (т — п)х) . 2 1 ьбптхяшпх == -(соя(т — п)х — соя(т+ п)х); 2 1 соя хйх соя пх — — (соя (т — п)х + соя (гп 1- 'п)х). 2 з 1 ГГ', Примерай. | яш — хсоя-х дх =- — 1 1 яш-х+ 7 7 2/», 7 2 11 7 4 7 2 + яш ( — -х) (»гх — — - — — соя — х + — соя — х Р С. 7 1( 1х 8. Интегралы вида | —, ~ —,„, где и — нечетное чисг соя~' х яш х ло: п =:- 2Й Ь 1 (Й е М), находятся с помощью универсальной подстановки, 1 = 1К вЂ”,-. 2 Г,1х г =- 1К, Пример 41. /, 2 11, 21 »Ь ьшх = 1+гг ' 1+яг У »гг 1+~' 1 | (~+1') 1 |1+ гг+ ' 1+1г( ( -)'=-~ — ","„*„) =-„!:.
вЬх яЬг х' сЬ 2х — 1 яЬ х 2 1 вьх сьх = — вЬ 2х; 2 сЬгх+ яЬгх =- сЬ2х. Пример 47. |»»х =- х р»х „» .р/(хг + 4)в а а кой х =: — или х =-— соя» вш 38 Интегрирование гиперболических функций проводится в основном по тем же правилам, что и интегрирование тригонометрических функций. Пример43. вЬзх»»х = вЬг х д(сЬх) = сЬ' х (сЬ х — 1) И(сЬх) = — — сЬх + С. 3 1 сЬх41! = — 1п ~+С. 2 сЬх -!! Г хйх Пример45.
~ —,, = » хг»(»Ьх) =-.х»Ьх — »Ьх»»х= ,» сЬ х Г вЬх Г д»сЬх =. х»Ьх — / — »»х = х»Ьх — | — ' = х»Ьх — 1п~сЬх~+ С. „р сЬх „» сЬх Рассмотрим основные виды рационализирующих подстановок: тригонометрические и пщерболические подстановки. Они применяются в следующих случаях. 1.Я Вр д |В[к,дР:Р~рг,д Д вЂ” р ная функция, находятся при помощи подстановки х = асов» или х=ояш хар»х ~ х =- Звш», »»х=Зсоя»~Й ~ Пример 4б. р»р - ЯЯ 1 РР - Р -,. д Г 27 виР» - 3 сея Ы», Г я!ня» Г 1 — соя㻠— =':-.! |,. »»»= -3/ — .р»(соя») ='-- 27с»зя 1 ',Г »мг! ',| стяг» = — +ЗЬОЙ4-С= ., + т/г0 — хе+С. 3,, - ° й сов» ' ~/9 — хг 1.И ~ д |В[гр,дЛр,ярх, д ..д.
кой х = а»б». 2 г 2 сове» у х=-2»», дх==-, 4» 4»ег», 4» сояг» ъ~:г~ + 4 ---— соя» ссев» 1 . 1 . „1 Д1= —. Ы1- Р= — РС 11 1 РД) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ с 1. И .~., д.|ВЯ,Ч'*'-. Чрк.~Л . Д" 1 т ~ х в ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ >~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ » р" г 1 х.= —, Й»х = —.Й Пример48.
',4в — сов»', сова» хя /хг — я!и» сов» вш» вш сов» сов»,1» ч!пг», г» ~» я»пг 2,1 1 сояв» == — | ( — — — соя4») р»» =- — (» — — я1п4») +С = 4» (2 2 ) 8 4 1 1 1 (2- х~)~/Р— 1 =- — ахссов — — — — — — + С. Я ' х Я хз При переходе к переменной х использовались формулы тригонометрии и то, что соя» =- —; яш4» =- 2яш2»соь2» =- 4я»п» х 1 1 Г 2 д 4(2 — хг)~/хг — 1 х'у' хг (,гг / з Аналогично применяются гиперболические подстановки. Пример 49. ~ ! ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ г ~ х == аяЬ», Их = асЬ»г»» /ог 1 хг~. / г + г.г =- ог(1, + я1 г») =- ас!» а ~ сЬ ЬИ.= а ~ — сЬ2»+ — | г»» == — яЬ2»+ — » 1 С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
