Ахметова Ф.Б., Добрица Б.Т., Сырцов А.В. Неопределенный интеграл (2008) (1135774), страница 5
Текст из файла (страница 5)
/ 'д2 2/ 4 * 2 я' — яр х Из равенства яй» -= = — следует, что с" 2 а х х ~/хг + аг — и, так как с' > О, то» = 1и ~х + ъlхг + ог~ — 1п и; х' вЬ21 =-- 2вЬгсЬг. == 2аЫ 1+вЬзт === 2 — ~1+ —, а аа 2х ~- =- — хг аа + хз„окончателвно получаем ~2 «/аз + азах = — зl аз + ха + — 1п ~х + х/ха + аз ~ + С 2 2 Очевидно, что обрагньщ переход к исходной переменной несколько громоздок, поэтому такие интегралы лучше вычислять с помощью друпгх указанных ранее методов.
Найти интегральп Найти интегралы с помощью тригонометрических подстановок (в 9.24 положить х =- 6 сов 21): 9.21) Их; 9.22), дх; ха ./ сова х 9.3) в1па х сов' х 8х; 9.7) в вшах совах' 9 9) са84х 8х; 9.11) 7 3+5вшх+Зсовх' 9.13) а1п Зх аш х Нх; совках — в1п х ,! 2+ вшх 9.19) ФЬ~х Б; 9.2) вш4 х 8х; 9.4) сова 2х дх; 9.6) вш хсова х з 9.16) $8ах ь; сов' х 9.12) ~ — —, дх:, в1п х 9.14) х вш~ х~ <Ь; 9.Ы) 1 гкхсов2х' 9.18) сЬ~ Зх 8х; 9.20) вЬ хсЬ хг1х. ПРИМКРНИЕ ВАРИАНТЫ КОнтРОЛЬНОЙ РАьотЫ Вариант 1: 2) 4) вш~ х их; ) 8х вш4 х 8),.а з/1 Вариант 3: 9.п) / ~~2~ Ы*. I в*4х 1) ~' ./ 9+4ех ' в Их 3) „, в — —., совв хвш Зх и) «1хт в ~ха + З)~х+ 1) ха 1 7) — „- ..' -- дх; ~Л вЂ” 4х — ха Вариант 2: 1) ~"А:6.
Й., ƒ х'4х ~~~ + ЗЦх+ 1)(х+ 4) ' 5) еаа сов Зх дх; ) ~х + 3)Юх ~~% з' 1) 1п™ а Г Я вЂ” 16 сова х Г 1 — 1пх 3) — — — — ах; '\ ах х 5 — 3 сова Г 27Чх 7) ,/ 9.+1' 9.24) — -'-' дх. Г 5'в* 2) / — Их; / совах 4) ~/х+ 2+ зв хи+ 2' 6) хзш4х Их; 8) '36 2) l — дх; / 4к — 9 11х+ 16 х х (х — 1) (х — 2) з 6) с$8~ '- 4х„ 8) х~й~ + 4 4О Г 9) '; 10) г «/à — 2х — хз 2.26) —, + С; 1 агсяп— з 2.25) агс$8е '+ С: 2.28) яш(16х)+С; ОТВЕТЫ К ПРИМЕРАМ 2.30) — — 1п )5 — 4хв1 + С; 12 2.32) — «/9хз + 5+ С:, 9 «/безо 2.34) агс$8 + С:, 3«/10 «/2 1 2. 36) — агсяп (2 1и х) + С; 1пх 2 2.38) — ь — 1пх«/!и х+ С; 3 3 12) — ° 11п~1+ ~+С.
1.4) х — совх+ япх+ С; 1.6) — + С; «/х 4 ~ ) 2.44) -5 1п ~ соя — )+ С:, 5 2.46) х — !п (е* + 1) + С; 2.41) — (ха — 3) + С; 10 2.43) —, (е~" + 3)у'е~ +3+ С, 1 3 5) 5 (я1 «х+ 3 'бх)4+ С: х«хв 2.47) — + —" + х + 1п ~х — 1~ +. С. 2.11) 1п ~ 1п х~ + С; 2.13) 1п (е* — Ц + С; 2.15) — 1п )Зх~ — 4~ + С; х 2.17) агсяп — + С:, 2 2.21) — 1п ~Зх + «/9хз + 4 ~ + С; 2.23) — соя — + С; 1 3 3 х 43 1.1) —,ха + 2х + 1п (х~ + С; 4* бх 9Я 1.3) — + 2 — + — + С; 1п4 1п6 1п9 1.5) — + С; 1.7) — + С. 3«/бх«/х 2.1) — 1п ~5х + Ц + С; 1 1 2.3) — — сов (Зх — 4) + С; 2 5) 1 27*+4 + С.
71п2 1 з2 4 б 2.9) — 1п)5+ 7хз~+ С; 14 2.2) — 2 сааб — + С 2.4) — — «/1 — Зх + С; 2.6) -«/5хг — 4+ С; 2.8) — — 18(1 — 5х~) + С; 10 1 .4х 2.10) — яп — + С; 2 2 2.12) — агся1п х+ С; 1, з 2.14) — е4х " + С; 24 2.16) — 1п ~ ~ + С; 2,18) 1п ~х + «/хг — 5~ + С; 1 2х 2.20) — агой — + С; 2«/5 «/5 1 . Зх 2.22) — агсв1п — ' + С; 3 2 2.24) — — ~с18 — ) + С; 3'«2/ ! 2.27) — 1п ! агс183х! + С; 3 2.29) — — 1п ~ + С; 12хз — «/5 2«/5 ~2хв + «/5 2.31) —, 1 ~Зх + Л*4 + 5~ + С; 1 2.33) — ' 1п )2 + 5езх ~ + С; 15 ьля — — ~1 — 4! ~- с; 2.37) — (е' 4 1) «/е* + 1 + С; 1 вш 2.39) — 1п~«/Зх+ «/Зх~+ 8~+ С; 2.40) 2агсвш — 2 + С; ,/з ' ',/з 3.1) — ' (2 — 5х)з 1 С; 3.2) — 2(агссов-+ -«/4-хз) 4 С Збх+б К, / х 1 375 ' ~ 2 2 :г (используйте подстановку агссов —" = 21, х = 2 сов 21); 3.3) х — 1п (1 Ь «/свх сн 1) 4 С вЂ” подстановка с 1 й' ЗА) — — «/3 —,(24+4.
+ ')+С; /2,44,з2« /.з 3.5) ( — вш' х — — яш х+ — ) ъ'я1ге х+ С вЂ” подстановка «/я1пх = — 1; ~11 7 " 31 3.6) агс18з «/х + С вЂ” подстановка 1 ==- агс16 «/х; 6,8) — 1п (х + 1! — — 1п (х + 1~ + — атс18х + С; 1 1 я 1 2 4 2 1 3 4 6.9) —, 1п )х + 1! + — !п ~х — 2! — — 1п )х + 4! + С; 12 28 21 1 2 ~х 1~ 3(х — Ц 9 !х+2 6.11) — 40 1п ~х — 2~ — + 20 1п ~х — 4х + 5! — 15 агс18 (х — 2) + С; 4 х — 2 6.12) — 1п ~х + 1~ + С; 6.13) — 1п + — агсгй — + С; 1 в 1 (х — Цв 1 2х+1 3 б хвах+1 ЧЗ Ч3 1 хт~-х-1-1 1 2х+1 2 6. 14) — 1п — — агс18 — — — + С. 6 (х-ц ЗЧЗ 3 З(х — ц 8+ Зх 7. 1) агсгйп + С; 2Ч2(х+ 3) 7.2) 2 Чх — 3 Чв х х+ 6 ф х х— 1п ~ в(х х+ 1) + С; 9, х х х 7.3) — агсвш — + — ' Ч9 — ха+С; 7.4) +С; 2 3 2 ' 'т-~-1 х, 9, х+1 х+1 7.5) — + С; 7.6) — агсв(п ' 4 8 — 2х + х2+ С; яхт — 1 2 3 2 7.7) 4 фт — 36 Чх + 36 ЧЗ агс48 — + С; ЧЗ 7В~ --'1 -' — 1~'" '*~' ~С.
2 х 2х 1 ~Л~- 'Г42 — и ~ ЛС2 Ч2 1,— 1 ~ 2(х — ц (воспользоваться тождеством х (х — Ц+1 1 1 (х- Ц2 (х-- Цв х- 1 (х — Ц' и далее обратной нодстановвой); Зх'+ бх+ 5 г — — 3, 1 7.10) Ч хт + 2х — — атсв1п + С. 8( '- Ц г 8 1 + Ц 1 3 1 . 1 9.1) — + сов х+ С; 9.2) — х — — вш2х+ — вш4х+ С; сов х 8 4 32 х гйп4х вш 2х сйп2:г вш 2х в1п 2х з а,. 5 '+С; 94) + — — 1- С; 16 64 6 ' 2 2 10 9.5) -с$8х — — с18 х — — с18' х, + С; 2 з 1, ь 3 5 9.6) -с18' х — 2 стКх+ — + С; в сгб х Гд~ х 3 '1 9.7) — + 3!п ~ 18х~ — — + С; 2 2сгбгх 4 18~ х ) —,"".~"!"И И! ' его х 9.9) х — †' + сФК х + С 3 9.10) — — — — 1п ~2 сов х~ + С; гбв 2х гбв х 1 8 4 2 9.11) — ' 1п ~518'— + З~ +С; 9.12) — — + С: 5 2 3 ) ''"'' ' 4 + .
4 ' ( )+ 4 8 ' 2 8 9.15) — 1п — ' ' + — вшйх+ С; 9.16) 1п 1 1+18х1 1 вйп х 4 1 — фбх~ 4 Чсов 2х 4 7 1 х1 9.17) 1п ~2+ сов х)+ — агс18 ~ — 18 — ~ + С; ,3 1ЧЗ х вЬбх 9.18) — + — + С; 2 12 9.19) х — 11тх+ С; 9.20) — + — + С; 3 5 9.21) 2х — 9 агс18 —, + С: 3 2 — агссов-+ С; 9.22) !п 9.24) 6 агсвпт — ' — ЧЗб' — хх 4 С.
46 47 5) — 1п 1 4 х 2$в — + 1 2 ОтВКтЫ К КОНтРОЛЬНОй РАВА К Вариант 1: 1 2е' бзв' 1) — агс18 — '+ С; 2) — + С; 3 3 ' 1п5 2 сзвбх 2 3) — —, — + — 1п ~ 18 Зх~ + С; 3 в1п~ бх 3 4) 2 зз х + 2 — 3 4х + 2 + 6 (7х + 2 — б 1п (~Ф х + 2 + 1) 1- С:, 3, 3 2 5 х 5) — 111)х+ Ц вЂ” — 1п(х + 3) + — агс18-' — +С, 2Л Л х 1 6) — — сов 4х — — вш 4х + С; 4 16 х+2 7) — 5 — 4х — х4+ агссбп + С' 1 в 1 8) — сов бх — — совбх+ С.
18'' б Вр 1) — — (1 — бхв)з + С; 2) — — 1п)5 -- х'~~+ С; 45 4 3) — 1п(х+ 1! — — !и ~х+4~+ — 1п(х + 3!— 1 16 15 В1 37 162 41 х — агс18 — + С; 228 '3 Л 3 4) — х + — в1п4х — — гбп28х+ С; 4 14 112 2 з,х . 1 1 5) — е 'совЗх+ — е хвшЗх+ С: 6) — сг82х+ — сгб 2х+ С; 7 4 2 ' 6 11 Я ~ ъ~ з з - Ь ~, з з ~,'Р ~Ь + з~ з- с; 1 1 . 4 2 г 1 8) — (1 — Зх) з + —,(1 — Зх) з — — (1 — Зх) з + С. 36 63 90 Вариант 3: 1 1 !2х-3~ 1) — — агсвш(4совх)+ С; 2) —, 1п~ ~ + С; 4 ' 61п2 ~2" +3~ 3), (3111 х — 2) + С; 1 9хв 38 4) 27 1п~х — 1( — 27 1п ~х — 2~ — — +С; х — 2 4 став 6) — 2 1- сааб" — + 2 1п ~вгп — + С; 7) — — — агс183'"'+С; 8) — — 1п — + ~(1+ — +С; 13 13 х+1 9) — 1 — 2х — хх + агссбп — + С; Л 10) 2агсвзп —, — — у4 — х + С.
х х у 2 2 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Зарубил В.С,, Иванова Е.Е., Кувыркил ГН. Интегральное исчисление функции одного переменного: Учеб. для вузов ! Под ред. В,С, Зарубина, А.П. Крищенко. Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, ! 998. 506 с, (Сер. Математика в техническом университете. Ньш. У)). 2. Пискунов НС.
Дифференциальное и интегральное исчисление для агузов. Т. !. 13-е изд.,М.: Наука, 1985. 432 с. 3. Буаров Я С., Ииольскнн С.лв. Дифференциальное и интегральное исчисления. Мл Наука, 1988. 431 с. 4. Добрица Б.Т., Роткова О.В., Шоков Е.вв'. Неопределенный интеграл. Мл МГТУ нм. Н.Э.
Баумана, 1988. 36 с. Предисловие..................................... 3 1. Определение первообразной н неопределенного интеграла. Непосредственное интегрирование ...,.............................. 4 2. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала..8 3. Интегрирование методом замены переменной Отодстановки)... 1 ! 4. Интегрирование по частям.................................... 13 5. Интегралы от функпий, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.................................................17 6. Интегрирование рациональгпях дробей........................ 22 7.
Интегрирование некоторых иррациональных функций...,..... 29 8. Интегрирование трип>нометрических функций.............. 31 9. Интегрирование гиперболических функций.................... 37 Примерные варианты контрольной работы....................... 41 Ответы к примерам......,...., ..............,................ 42 Ответы к контрольной работе................................... 48 Список рекомендуемой литературы.............................. 50 Учебное юдалие Ахметова Фаина Харисовиа Добрица Борис Тимафеевнч Сырцов Алексей Нладнмнровнч НЕОПРЕДЕЛЕННЬГН ИНТЕГРАЛ Редактор СА.
Серебрякова Корректоры ЛА. Нетроеа Компьютернав верстка В,Л. Тоестоног Подписано в печать 30.07.2008. Формат 60 х 04Н б. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3„02. Уч.-нзд, л. 2,05. Тираж 2000 зкз. Изд. № 34. Заказ 435 Издательства МГТУ нм.
Н.Э. Баумана Типография МГТУ нм. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
