Ахметова Ф.Б., Добрица Б.Т., Сырцов А.В. Неопределенный интеграл (2008) (1135774), страница 3
Текст из файла (страница 3)
.' ° 1 5. где Г„'1 т) — многочлен степени п; ф, з — многочлен степени и — 1 с неопределенными коэффициентами; )(, — число. Тогда ннтеграл вида б) можно вычислить по этой формуле, если положить в ней и = 1. Коэффициенты многочлена Яа ь определяются после дифференцирования левой и правой частей, приведения полученного выражении к общему знаменателю н прнравн~вання коэффициентов прн одинаковых степенях х слева н справа. з рр 332. ) 5 ==(р .1р 55)« 1 5 2*— 222.~2 —, -1-5 ( 5*= — (23 а 5В)А ррк —, р 1 -': 2 — 5 ь (А ' 3*2Р)(2-2*) „ 2 Г13,' — 5 Г.12* ~ х) 3н (2Ах+ В)~1+ 2х — х ) + ~Ах + Вх+ СК1 — х) + 2,.
Приравнивая коэффициенты прн одинаковыя степенях х слева и справа, получаем 1 хз: 1 = — — ЗА =~ А ==- — —: 5 5 х~ ( 0 =.: 4А — В + А — В => 5А — 2В = О .=~ В .= -А .= — — —,; х: 0 =- 2А+ 2В+  — С ~ 2А+ З — С =- 0 =~ 19 =~С=2А+ЗВ=- —; 6' х": 0 =- В+ С + Х =~ )(, = —  — С = 4. Окончателыю имеем хз 5)х = '1 з 5 19') )' и.
— 2,), х2 3 6 6,) 1+ .-*' -.=. — -12х 1- бх+ 10) 1.1- 2х — ха+ 4агса)п — -( С. 6 Л 3.(7 ПР 323.) " -рк =РР .'52*Р52- ) 2*15 +Х р5523 ° 5 5х+7 А(2х '; 2) ' 1(, -2,;-5 3Рс 2234 5 ГР2-2 -15 бх+ 7 = А(х+ 1)+ )(:, 7 =- А + Х => Х = 2; | бе+7 г 51х 5 =5, .52ь.55-521 ~23*+-5 ' ) ( 11Р 1 —..522.'-',2(512( ((.51)2. * 52 5"(5~ Найти интегралы: Применяя метод неопределенных коэффициентов, вычислить интегралы: 6.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Нроетейигие рациональные дроби 221х ъ'З вЂ” 2хг 5.5) з2 — хг.~. х 5 7) 21х 5 ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ! ъ'бхг — 12х + 7 5 11) 21х; 9 х г ~ 3 2 ~ х х ~ ~ ~ ~ ~ ! | ~ ? ~ 4хг 16. + 15 5. 13) — 2(х. 2 — 2, 5.15) ах. 6 ~ 2 ~ х ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ~ ~ х ~ 7 Зх 4х / 9хг -'- 25 5.8) 6— / 5х — 3 22а 16, г 5. 14) " 2(х; х г 4 г ~~ ~ > ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~ 1 х з2'2хг — Зх+ 1 Интегралы от дробей первых трех видов нам' известны: 21х = Ып (х — а ~ + С; Ъ х — а Ь вЂ” Ь (х — а)" (и — 1)(х — а)"-2 21х = — 1п(ах + Ьх+ с(+ У~., П2Х+ 22 ПЗ г ахг+ Ьх+ с 2а где,71 — табличный интеграл, значение которого зависит от коэффициентов а2 Ь, с. Интеграл от дроби вила 4) после выделения полного квадрата в знаменателе и соответствуюшей подстановки можно представить суммой интегралов: (6.1) (Зх+ 5)2(х 1 хдх Пример 23.
~, —, =- 3 | — — + | (хг — 4х+ В)з / (хг — 4х+ 8)з ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5 ~ ~ ~ ? ~ з дх /' х дх ~ 21х =31 51 (,г — 4х + 8) / ((х — 2)г + 4)з „) (( — 2)г + 4) = 3 з + 5 ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~ 5 ~ ~ ~ ? з (х — 2+ 2)дх 1 4(х — 2) ((х — 2)г + 4)з / ((х — 2)г + 4)з =. 3 ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ? ~ ~ ~ ~~ ~ ~> ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 + 11 (бг + 4)з ) (гг + 4)з2 где 1 .= х — 2; Л = 3; В = 11; аз = 4. Интеграл от первого слагаемого в (6.1) берется просто: з21з А )Г 21(з +аз) Л (гг + аг)з 2:/ (2г аг)з 2(Ь вЂ” 1)(гг + аг)" К простейшим рациональным дробям относятся дроби следующего вида: х — а (х — а)ь ахг + Ьх -> с (ахг + Ьх Ь с)ь Предполагается, что в знаменателе дробей вида 3) и 4) нет дей- ствительных корней.
Для вычисления второго интеграла в (6.1) применяют рекуррентные формулы, позволяющие вычислить любой й-й интеграл по известному (к — 1)-му интегралу. Такая формула получается интегрированием по частям следующим образом." При к =- 1 Г 211 1 = — агсеб — + С. (зг + аг)~ а а 23 Пус1ь й > 1, тогда 41 1 /' (12+а') — 12 (12+ аг)" аг / (22+аз)" 1 11 1 / 1'41 12 / (»2 + аз)ь-1 а2 1 (12 + 112)ь а2 2аг 1 (12 + аг) ь ( = — ГЬ 1+ И а' 2аг(й -1) / 1 (12+ аг)1-1! 1 1 Й 2 Ь 1 2 2аг(й Ц (12 Ь аг)ь — 1 (12 + аг)ь-1 1 1 1 1 —, 12-1+ аг 2аз(Й вЂ” 1) (12+ аг)1 1 2аг(12 — 1) Отсюда 1 /25-З5 з 1+ — 2 ~ —,),1ь 1.
(6.2) 2а2 (ь 1) (12+ аг)з — 1 аг ~ 25 — 2) Формула (6.2) позволяет вычислить интеграл для любого к > 1. Например, 1 1 1 1 ,Хг = —, + — агс$к — + С; 2аг 12+ аг 2аз а. з ( язв 4аг(12 + аг)2 4аг '1, 2аг(12 + аг) 2аз а( +— + —.агс1 "- 4 С и т.д. Правильные рациональные дроби рациональная дробь Р„(т) азх" +азх" '+ +а„ (Х) 5 Хт .~ 5 Х»а-1+ .. и 5 называет~я правильной, если старшая степень в числителе меньше старшей степени в знаменателе, с е.
ти > и. Например, дробь ттг 15хз „з+ хг т, т12 — П вЂ” правильная, а дроби — и хт+ 12 20хз+хг+15 т»+1(10хз -1-5 24 неправильные. Чтобы из неправильной дроби получить правиль- ную, надо выделить из дроби целую часть„ для чего достаточно поделить «уголком» числитель на знаменатель. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших Дпя разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших поступают следующим образом.
1. Многочлен 9,„(х) представляют в виде произведения линейных и квадратичных множителей: Я„,(х) =- (х — а)"(х — )3)'... (х +р~х+ 11)' (х +р,х+д„)". '''+ С»х+ В» + + С» 1х+В» — 1 (х2+ р х., 41)» (х2+ р х+ 41)» — 1 С,т+ 01 Езх+Рз +-, + + —. — + хг+рзх+41 (хз+р.х+ Ч.)" + -1+ 2 Ея 1х+ Рз.
1 Е1х+Р1 (хг + р,х+ 4»)2-1 (хз+ р х+ а,) где Аы...,А1, В1 .. Вы С» . Сь 0»,...,.01, Рю...,Е1, Р„..., Р1 — неопределенные коэффициенты. 3. Вычисляют неопределенные коэффициенты. Пример 24. Представить правильные рациональные дроби в виде суммы простейших дробей: (6.3) 11хз — 5 А В С 0 =- — + — + „+ х(х — 4)(х+ 5)(х+ з/2) х т — 4 т, -~- 5 + Я' Здесь а — Й-кратный, )3 — 1-кратный и т.д. корни уравнения Я„,(х) = О; (хг+р1х+д1),, (хг+р„х+»1„) — квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней, т.е. р21 — 4д1 < О,..., рг— — 4а, <О.
2. Представлягот дробь " в виде суммы простейших дро- Р„(т) 9»а (т) бей: Р„(х) Аз Аь 1 А1 1+ — 5+ + + Я (х) (х — а)" (х — а)" ' х — а В, В1 , . В, +,+ д+...+ — + (т — б)' (. — Р)1 ' — Р ха+ 7хз — 26 А В С (х — 2)з(х+ 3)з(хз+ 4х+ 7)з (х — 2)з (х — 2)э (х — 2) Ю Ж Ух+С Мх+М + + + — — +— (х+ З)~ х+ 3 (ха + 4х+ 7)з хз+ 4х+ 7 Представить правильные рациональные дроби в виде суммы простейших дробей: 6.Ц х(х — Ц(х+ Ц ' 6.3) (.г — 3)(х'+ Зх+ 6)" 6.6) ха+1' Способы нахождении неопределенных коэффициентов Для определения коэффициентов А, В, С,...
в разложении дроби на сумму простейших приводят правую часть разложения к общему знаменателю, сокращают общий знаменатель слева и справа и определяют коэффициенты, пользуясь следующими способами: а) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа; б) полагая х слева и справа равным любому действительному числу, в первую очередь полагая х равным значению корней знаменателя подынтегральной функции; в) комбинируя способы а) и б). Интегрирование правильной рационшгьиой дроби состоит в следующем: разложив знаменатель на множители, составляют разложение дроби (6.3) и, определив коэффициенты, представляют исходный интеграл в виде суммы интегралов от простейших дробей.
Пример 25. Проинтегрировать выражение хз ,7 = — Нх. (х — Ц(х+ 3) Подывтегральная функция — неправильная рациональная дробь, поэтому сначала выделим целую часть: х' 7х — 6 — х — 2+ (х — Ц(х+ 3) (х — Ц(х+ 3) ' ,7 =- х — 2+ г(х = (х — 2)~ 1Г 7х — 6 2 / (х — Ц(х+ 3) 7х — 6 А В (х — Ц(х+3) х — 1 х+3' 7х — 6 == А(х + 3) + В(х — 1); 1 х =- 1: 1 = 4А, т. е. А = —; 27 х = — 3: — 27 = — 4В, т.
е. В =- —. 4 Таким образом, (х — 2)з 1 Г Нх 27 / Нх ,у = + — ~ — + — ~ — = 2 4/ х — 1 4„1 х+3 (х- 2)з 1 27 + — 1п ~х — Ц + — 1п ~х + 3( + С. 2 4 4 Их Пример 26. Вычислить интеграл 1 х(х+2)(хз+х+ Ц Согласно общей теории, 1 А В Сх+ — =- — +, + х(х+2)(хя+х+Ц х 'х+2 х'+х+1' После приведения к общему знаменателю и сокращения на этот знаменатель получим 1 = А(х+2)(ха+х+1)+Вх(хэ+х+1)+(Сх+ХЭ)х(х+2); 1 х = — 2: 1 == В(-2)(4 — 2+ 1); — 6В =- 1, т. е. В =- — —; 1 х=О: 1=-2 А, т.е.А=-; 2' : О= А+В+С, .. С=-(А+В)=--'; ха: 0=-2А+А+В+2С 1-В, т.е. Х)=- — ЗА — В— х х г 2 — 2С =- — —,.
3 Таким образом, 1 1 1 1 зх+1 =- — 1п )х! — †, 1п )х + 2) — — 1п ~х + х + 1~ — — агой — + С. 2 6 6 ~~з ~7з 6.12) /' (х+ Цйх / (хг+х Ч ц(х --'цг .3 2 х=0 Вычислить интегралы: Йх ° /'(х „Пх, Ц х дх (х -- Цг(х -~- 2) 6.7) г(х; (х 4 Ц(х — 2)(х — 3) хая 6.9) (х + Ц( — 3)(х + 4)' 28 хдх 1 ср27В р .1 Х( ц,( + Имеем х А В Сх+1 + а Ь г (х- цз(ха+ 2х+3) х--1 (х- цз х' ~ 2х+3' т, == А(х — 1)(х~ + 2т, + 3) + В(хг + 2х + 3) + (Сх +. В) (х — 1)г. Комбинируя оба способа вычисления коэффициентов, получаем систему для их определения: 1 1 =- В(1 + 2 + 3), т.е.
В =- —; 0 =- А+ С =.> А == — С; 0 =- 2А — А +  — 2С 4 Х):=> А -~-  — 2С + О =-- 0; О = — ЗА + ЗВ + В. Решив эту систему, получим: 1 1 1 1 А == —, В = т, С .= — —, В =- - —,. 18' 6' ' 18' 3' Подставим полученные значения коэффициентов в разложение и проинтегрируем простейшие дроби: 1 1 1 ~ йх 1 ~ г1х ~" 18х+1 18,/ х — 1 6,/ (х- Ц',/ ха+2х+3 1 1 1 1 2х42+10' = — 1ц )х — Ц вЂ” — — — ~ ггх -=- 18 б(х- Ц 36/ хг 12х+3 1 1 1 / г1(ха+2х+3) (п 1х 1~ ° г ц 5 д(х+Ц 1 1 = — 1п ~х — 1! — —— 18 (х+ Цз+2 Г8 б(х — Ц 1 Ь х+1 36 — —, 1п ~х~ + 2х+ 3! — агс$6 — + С.
~/2 - 18 чг2 6.11) х ггх (хг — 4х + 4) (хз — 4х + Ь) ' 6.13) 7. ИИТКГРИРОВАНИК НККОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЬ1Х ФУНКЦИЙ Для интегрирования функций, содержащих радикалы, как правило, используют подходящие подстановки. При этом подстановку подбирщот так, чтобы относительно новой переменной подынтегральная функция была рациональной. Такую замену переменной называют рационалнзирующей. Рассмотрим некоторые типы таких подсгановок. 1. Приведем интеграл вида Л(х, фх, бган,...) г)х, где  — рациональная функция, к интегралу ог рациональной функции. Для этого вводим новую переменную по формуле т, =- Р'; г4х = и1" гг(г, п подбираем так, чтобы под знаком интеграла не осталось радикалов, т.
е. и возьмем равныМ наименьшему общему кратному (НОК) чисел Ь, а,... 4х Пример 26. Вычислить интеграл (— Л(1+ бх)' НОК чисел (2,3) равно 6. Положим х = 1а; с(х =- 61"гй, 1 Е (О; со) и 1 =- 4ух . Интеграл преобразуется к виду 6 6 )г 614 4~ ~' г'+1 — — -//,:,(„),= у --. 6 гМ--6 -= 6 (г — агс18 1) -г С = 6 (чего — агс18 фх) + С, 2. Интегральг вида Й(х, ~~ах + Ь, 6'ах + Ь,...) 1х рацгк,иа лизируются подстановкой ах + Ь = 1'г, где п = НОК1Ь,, х,...). г4х Пример 29. Вычислить интеграл У = ./ „~Г - 2х — 2~уТ 2х Положим 1 — 2х = »4; 2х =- 1 — »4; «»х = — 2»з«»».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
