Ахметова Ф.Б., Добрица Б.Т., Сырцов А.В. Неопределенный интеграл (2008) (1135774), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Мы будем обращаться к нему по мере изложения материала. Методом подстановки вычислить следующие интегралы (звездочкой отмечены примеры повышенной сложности): 4, ИНТКГРИРОВАНИК ПО ЧАСТЯМ Метод интегрирования по частям основан на следующем утверждении. Пусть функции и(х) и о(х) дифференцируемы на множестве (х1 и пусть на этом' множестве существует первообразная для функции и(х) и '(х). Тогда на этом множестве существует первообразная и для функции и(х) о'(х), причем справедлива формула и с ~ ~ ~ ~ о ~ | и(х) с'(х) с»х =- и(х) с(х) — п(х) и'(т) с»х. (4.1) Учитывая свойство инвариантностн н определение дифференспсала, формулу (4.1) записывают в виде ~~ « нс»о = пп — ос»н.
(4.2) Эту формулу используют дпя прщпического применения, вводя обозначения для одной из функций за и и для оставшейся части за 4»и; либо записывают выражение с'(х) с»х = с»п. Иногда формулу (4.2) приходится использовать несколько раз. ( и=х, с»и =- с»х Пример11. х а»пхс»х =- ~ ~ с»и = а1п'хс»х, с =' — сов х ! = — х соах — — соахс»х = — т, осах+ ашх+ С. Или = — х еоах+ соахс»х.=- — т сова+ ашх+ С. Пример 12.
и = агсакбх, сЬ =-- хс1х, | х'й: х' 1+ 9хг 2 агс16 Зх41х =- г1и = дх 3 1+ 9хз =х' 2 . х' — — агс16Зх— 2 3 1 Г(йхг+1) — 1 агс1к Зх — — /~, Их:=. 2 6 / 9хг . 1 х" х 1 — агс$я Зх — —" + — агсг к Зх + С. 2 6 !8 Или Г Гхг ~ хг х агс1яЗхх)х = агсФкЗхИ ~ — ~ = — агсцкЗх— Гх' х' 1 Гх' Их — 1 — Н агс1 и Зх = — — агсФд Зх — — /— 2 г 2/ 1+9хг хг, х = — — агс1ВЗх — — +. — агс16Зх + С. 2 6 18 При интегрировании по частям для правильного обозначения соответствующих выражений следует руководствоваться правилом: за и принять тот множитель„который при дифференцировании упрощается, а за дх — ту часть подынтегрального выраженим, интеграл от которой либо известен, либо легко может быть найден.
Выделим три группы интегралов, которые вычисляктгся методом интегрирояания по частям: 1) интегралы вида Р„(х) 1п х Ых, Р„(х) агсаш х Их, г ~ ~ ~ ~ т ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~~ ~ ~ и ~ Р„(х) агс16г х 4х н т. и., где Р„(х) — многочлен степени и.
Тогда за и следует принять функции 1п х, агой х, агстйг х соответственно, за г1и — выражение Ри(х)йх; 2) при вычислении интегралов вида Р (х) е дх, Р„(х) х х соя ах дх, Р„(х) яш ах Ых, где а — постоянная, нужно обозначать и = Р„(х)„а выражения еа ', соя ах, гйп ах и т. и.
подвести под знак дифференциала. Так как степень многочлена Р„(х) равна и., то формулу интегрирования по частям нужно применить и раз, причем каждый раз буквой и необходимо обозначать многочлен, степень которого будет понижаться; 3) интегралы нида е"' аш(3хдх, еех сов 11хдх, аш(1пт) йх, соа(1пх) Их обозначим буквой,7 и дваждь1 про- интегрируем по частям. В результате получим равенство вцда ,7 = д(х) + й А где д(х) — известная функция, а й — число. Отсюда 9(х) 1 — й Указанные виды интегралов часто встречаются на практике, но не исчерпыящот всего множества интегралов„берущихся по частям. Пример 13, Вычислить интеграл третьего вида: ,Г =- сх зш2хдх =- вш2хд(е ) = с* впг2х — схд я1п2х = =- е'а1п2х — 2 соя2хд(е') = ехь4п2х — 2ехсоя2хч + 2 с~И соа2х = е'"'аш2х — 2ехсов2х — 4 ехв1п2хдх.
Итак, ,Г =- ех (зш 2х — 2 соз 2х) — 4.1 =ь З.Х ==- ех (вш2х — 2 соа 2х) ,х ,Г =- — (вш2х, — 2соа2х) + С. 5 Пример 14. Вычислить интеграл третьего вида: ~Гхг + иг ' ' у"хг + аг —.-хъ'хг+ па Ф и ( — -'- — — ухг+пгдх, Г г Г йх / т / Г:.', +' Тогда 2,Г .. х~/хг.~ „г+ „г1п~х+,Я+„г! 1 С.
3 =- — УГхг + ег + —, 1п ~х + ~/хг + ог~ + С. 2 2 14 15 Если в интегралах вида Р„(х)е~"'Мх, Р„(х)е'" сов 1)х г1х, Г Рв(х)е™ Яш 13х дх степень п многочлена велика (и > 2), то метод интегрирования по частям становится громоздким. В этом случае удобнее пользоваться методом неопределенных коэффициентов. 3 гх Пример 15. Пусть требуется вычислить интеграл ~ х е "дх. Очевидно, что первообразной для этого интеграла может быть функция вида Р(х) =- ег (Ахз+ Вхг+Сх+ Р),где А,В,С,.0— подлежащие определению коэффициенты.
Подберем эти коэффициенты так, чтобы в любой точке интервала (а, Ь) выполнялось равенство 1 (х) = Р(х), т. е. хзег' =.- ( ег' (Ахз + Вхг + Сх + О) ): хз ег" =- 2ег* (Ахз + Вхг + Сх+ Х)) + ег' (ЗАхг + 2Вх+ С) ~ хз = 2 (Ахз + Вх' + Сх+ 0) + ЗАхг + 2Вх+ С. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа последнего равенства, получаем 1 хз: 1=2А=ьА=-; 2' 3 хг: 0 = 2В + ЗА =~ В = — —; 3 х: О = 2С+ 2В =~ С =- —; 4' 3 хо: 0= 20+С ~ В = — —. 3 Таким образом, гх71,3 З,г х' е ' Их = е * (-х — -х + -х — — ~| + С.
(2 4 4 3| Для вычисления методом неопределенных коэффициентов интегралов вида Р„(х) е"г соя Ьх г)х, Р„(х) е"* вш Ьх с1х, где п— степень многочлена Р„(х), о, Ь вЂ” числа, первообразную нужно искать в виде Р(х) = е"х(Я„(х) соя дх+ В„(х) вшЬх), где 9 (х) н Я(х) — многочлены степени п с неопределенными коэффициентами. Для их определения необходимо: а) продифференцировать Р(х); б) записать равенство |(х) = Р'(х) и сократить его на е в) приравнивая коэффициенты прн одночленах вида хЬ сов Ьх и хь В1п Ьх (й = О, 1,..., и) в левой и правой частях этого равенства, составить алгебраическую систему из п уравнении с и неизвест- зАВ С... ными, решив которую, определить коэффициенты Найти интегралы: 4.1) 1п 5хйх; 4.2) агсвш Зхйх; 4.3) х езЧх; 4.4) (хг — 1) сов 5хдх; «С | '~ а ~В |,/Р- .т4 ( ~О); 1пвш х 4.7) т, атосов хйх: 4.8) ~ — "" г1х; я1п х 4.9 ™м 4.10) агс18 5х Их.
9) Л+ 4.11) 1пгхс1х; 4.12) (х — 3) я1п2хдх; г,, 4.13) 2х соя гя1х; 4.14) (агсяш х) Их; 4.15) хг агс$8 хйх; 4.16) я1п (1п х)дх; 4.17) 4.18) е "Ъх. Применяя метод неопределенных коэффициентов, вычислить интегралы: 4.19) хэви вш хс1х; 4.20) (х~ — хз + х ) е~Нх. 5. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫН ТРЕХЧЛЕН В $НАМЕНАйвг4Е Простейшими интегралами от функций,.содержйщ~, квадратный трехчлен, являются интегралы следующегв вйгЬз: 17 + — )т) + С. 23 х — 1 4 2х+1 18 Г "'*'" l ~ В ~~ г ~ ~ ~ ~ ~ б ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ! ~ ~ ~ х 2 х ~ с З При этом интеграл вида б) — это частный случай интеграла вида в) при 1 = 1 и может быть вычислен по тому же правилу, что и в).
Если Ь = О в знаменателе дроби, то интеграл берется с помощью подведения под знак дифференциала. 5 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ 1 '*+3 Пример1б. дх = 1 2 + 1 з/2хв 4Ч 7 7/ у'2хв -/- 7 / зт2хв+ 7 5 (' ((Лх) + 7/ З | 4/ (ъ'2х) )1(2 .) -В 7 ~ ~ ~ ~ 5 ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 1 — (2х2+ 7) 2(1(2х2+ 7) + — 1п/ъ2х+ тгт2х2+ 7~+ С = 5 =- — т/2хя 4 7 Р— 1п ъ'2х+ т(72х2+ 7~+С. 2 з772 Если Ь ф О, то в знаменателе будет трехчлен ах2 + Ьх+ с.
Тогда можно рассмотреть три типа интегралов. 1. Инте тегралы типа ~, и ) приводятпт/х Г и(/х / ахв+ Ьх+ с / в)ахв ) Ьх-/-с ся к табличным с помощью выделения полного квадрата в выражении ах2 + Ьх + с. Пример 17. 2 5а)х 5 | (/х — В 41 2/ . В 1 хв — -х -)-— 5 (х 8) 5 5 1' 54 9 =- — 1п х — — + (х — "-) — — + С =- 2 5 9 2 8 8 04 ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ х ~ а ~ ~ ~ ~ | ( — -)' —— 8 64 5 5 2 5 1 = — !и х — — + х2 — — х -/- - -/- С. 8 2.
Если (тпх + и) 41х = 71(ахз + Ьх + с), то интегралы ~~ 2 ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~~ ~ ~ 2 С ~ ~ 2 (/(ахв + Ьх + с) /'4/(ахв + Ьх+ с) — табличные. ° '24-4.4 ° '7 дтв44.4 в 3. Если тп и и — произвольные числа и тп ф О, го интегратпх + и Г тпх+ и Ы 4 Ве 4. Д ФФР д ~. »В 2'Р коэффициентов представляются в виде суммы двух интегралов, один из которых 2-го типа, другой — 1-го тина. 2х+ 3 Вр рВВ.В р: ( ' .4.. ./ *' — 4*+ В Н д 4( — 4* — В) = (2» — 4)4 д ражение в числитель: Г 2х+3 / 2х — 4+7 (/х =. (/х = 722-4..42 т дг2-4*42 (2х — 4) йх 1' (/ (х — 2) 'Р-4 42 / В(*-22) ) 41-44 ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г 1 — ( — 4*42) 24( — 4 42)47/ 7 (* — 2) 4 4 =277' — 4 121 77 (.
--2).1-17* -4 -3- ° 4С. Пример19,, (/х ==10(2х — Зх+1) = х+5 „ / 2 2хз Зх + 1 1 3 (4х — 3) ') + 5 1 (4х — 3) /х = (4х — З)(/х = 1 ' (/х =- —, + 2хв — Зх+1 4 / 2ха — Зх+1 23 Г 0х 1 Г (/(2хз — Зх+ 1) + — ) 4 / т' 2 3 12) 4/ 2хт — Зх+1 2 ~хт — -х+ -) 2 2) + — ) = — 1п/2х~ — Зх+ 1(+ х Рассмотрим частные случаи. Если тп =- а =- 1, то целесообразно воспользоваться методом разложения, который поясним на следующем примере. 1 3' Пример 26. ~ <1х = 1 а+в = — !и ~х + х + Ц + — — егеря + С =- 2 2 3 3 1 „я 2 =- — 1п)х + х+ Ц+ Лрргстйр — + С. 2х+1 При выделении полного квадрата в квадратном треячлене необходимо воспользовюъся равенством д — ".')- и' 2 ах +бх+с=а х +-х+- .=а х+ — | — —,+— а а) ~1 2а,~ 4аа а/ Интегралы вида в) вычислжотся с помощью применения формулы р (*) 5 =().,(.) .е .5..5ь,5| | 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
