Теормин (1135255)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

(О достаточном условии факторизации). Пусть все главные миноры матрицыА отличны от нуля (|Ai | =6 0). Тогда представление матрицы A в виде (1) возможно.Утверждение 1b11 b21B=bm1Определение 1.A = BC, где100 C=. . . bmm00b22.........bm2cij..1.(1)1Матрица A−1 — обратная для матрицы A, еслиAA−1 = A−1 A = EОпределение 2.Матрица A — самосопряженная, еслиA = A∗ , aij = ajiМетод Якоби.xn+1=−ii−1Xaijj=1aiixnj −mXaij nfixj +, n = 0, 1, . .

.aaiij=i+1 ii(2)Метод Зейделя.xn+1=−ii−1Xaijj=1aiixn+1−jmXaij nfixj +, n = 0, 1, . . . x0 − − − заданоaaiij=i+1 ii(3)Канонической формой записи двухслойного итерационного метода решения системы уравнений вида (4) называется его запись в виде:Определение 3.Bn+1xn+1 − xn+ Axn = f, гдеτn+1−1τn+1 > 0, . ∃Bn+1, n = 0, 1, . . . , x0 — заданоAx = f,где A - квадратная невырожденная матрица m-го порядкаОпределение 4.онарным.(4)Если τn+1 = τ, Bn+1 = B (не зависит от итерации), то метод называется стаци-Определение 5.Если Bn+1 = E , то метод называется явным.Определение 6.Набор параметров при котором достигается наилучшая сходимость называетсяоптимальным.Метод простой итерации.xn+1 − xn+ Axn = f, гдеτ−1τ > 0, . ∃Bn+1, n = 0, 1, . .

. , x0 — заданоМетод Ричардсона.xn+1 − xn+ Axn = f, гдеτn+1−1τn+1 > 0, . ∃Bn+1, n = 0, 1, . . . , x0 — заданоПопеременно-треугольный метод. Пусть A = R1 + R2 , где10.5a11R1 = ..0.0.5a11 , R2 = aij..aij.00.5amm0.5ammТогда каноническая форма записи ПТИМ имеет следующий вид:(E + ωR1 )(E + ωR2 )xn+1 − xn+ Axn = fττ > 0, n = 0, 1, . . . , x0 — заданоОпределение 7.Линейное пространство H.H = {x|x = (x1 , .

. . , xm )}Определение 8.Скалярное произведение.∀x, y ∈ H : (x, y) =mXxi yii=1Определение 9.Евклидова (среднеквадратичная) норма.pkxk = (x, x)Определение 10.Энергетическая норма.pkxkD = (x, x)D , если D = E ,то kxkD = kxkПусть D = D∗ > 0 — самосопряженная, положительная матрица.Введём скалярное произведение: (x, y)D = (Dx, y)Итерационный метод (5) решения задачи (6) сходится при любом начальном приближении, тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы S по модулю меньше1 (без доказательства)∀x0 lim kV n k = 0 ⇔ |λsk | < 1, k = 1, mТеорема 1.n→∞Bxn+1 − xn+ Axn = f, гдеττ > 0, ∃B −1 , n = 0, 1, . .

. , x0 — задано(5)Ax = f, |A| =6 0, A(m × m)(6)V n+1 = SV n , гдеS = E − τ B −1 A — матрица перехода от n-ой итерации к (n+1)-йТеорема 2(Самарского). Если1. A = A∗ > 0, τ > 02. B − 0.5τ A > 0Тогда итерационный метод (5) решения задачи (6) сходится в среднеквадратичной норме прилюбом начальном приближении, то естьmXlim kxn − xk = lim ((xnj − xj )2 )1/2 ) = 0n→∞n→∞j=12Следствие. Если A = A∗ > 0, 2D > A, тогда метод Якоби сходится в среднеквадратичной нормепри любом начальном приближении, где D - диагональная матрицаa110..D=,.0annPСледствие. A = A∗ > 0 A обладает диагональным преобладанием (aii > mj=1 |aij |, i 6= j ) Тогдаметод Якоби сходится в среднеквадратичной норме при любом начальном приближении.Следствие.

Если A = A∗ > 0, тогда метод Зейделя сходится в среднеквадратичной норме прилюбом начальном приближении.2Следствие. Если A = A∗ > 0, γ = max |λAk | и 0 < τ < γ , тогда метод простой итерации сходится1≤k≤mв среднеквадратичной норме при любом начальном приближении.(Оценка скорости сходимости). Пусть А, В - самосопряженные, положительно определенные операторы (A = A∗ > 0, B = B ∗ > 0), 0 < ρ < 1 и пустьТеорема 31−ρ1+ρB<A<Bττ(7)Тогда итерационный метод (9) сходится и имеет место оценка:kV n+1 kB ≤ ρkV n kB(8)xn+1 − xn+ Axn = f, гдеττ > 0, n = 0, 1, . .

. , x0 — задано(9)BСледствие. Пусть1. A = A∗ > 0, B = B ∗ > 02. ∃ γ1 > 0, γ2 > 0 : γ1 < γ23. γ1 B ≤ A ≤ γ2 BТогда, положив τ = τ0 =2γ1 +γ2 ,имеет место оценка:kV n+1 kB ≤ ρkV n kB , где ρ =Следствие.1−ξγ1, ξ=1+ξγ2(10)xn+1 − xn+ Axn = fτПусть1. A = A∗ > 0, B = EA2. γ1 = min λAk , γ2 = max λkkТогда, при τ =k2γ1 +γ2МПИ сходится и справедлива оценка:kV n+1 k ≤ ρkV n k, где ρ =1−ξγ1, ξ=1+ξγ2(О сходимости ПТИМ). Пусть A = A∗ > 0.

При выполнении условия ω > τ4 попеременно треугольный итерационный метод сходится в среднеквадратичной норме при любомначальном приближении.Теорема 43Теорема 5(Об оценке сходимости ПТИМ). Пусть A = A∗ > 0 и пусть δ > 0, ∆ > 0 :A ≥ δE, R2∗ R2 ≤Положим ω =√2 , δδ∆=2γ1 +γ2 ,∆A4где√√δδ∆δ∆√√ , γ2 =2 δ+ ∆4√γ1 =Тогда ПТИМ сходится и имеет место оценка:√1− ηδkV n+1 kB ≤ ρkV n kB , где ρ =√ , η = , B = (E + ωR2∗ )(E + ωR2 )1+3 η∆Утверждение 2.Пусть матрица A удовлетворяет следующим условиям:1.

A - имеeт базис из собтвенных векторов ({ei }m1 )2. λλm−1 < 1 (требуется для сходимости)m3. x0 = c1 e1 + . . . + cm em , cm 6= 0Тогда, найденные по степенному методу xn такие, что:lim xn = em ,n→∞где em - собственный вектор, отвечающий максимальному по модулю собственному значению.Максимальное по модулю собственное значение можно найти по формулам:(i)(i)λm=xn+1(i)xn(n), λm=С точностью:(i)λm= λm + O(xn+1 , xn )(xn , xn )λm−1λmnЕсли есть хотя бы 1 комплексное собственное значение λk = λ0 + iλ1 , λ1 6= 0Тогда, отвечающий ему собственный вектор — комплесный и начальное приближение для негодолжно быть комплекснымУтверждение 3.Форма Хессенберга (верхняя почти треугольная форма матрицы, × - вообщеговоря, ненулевые элементы)Определение 11.×××..... × × ×.... 0 × ×ВПТФ =  0 0 × ... ... .

... .....0 0 ... 0Определение 12.×.........×××.........×Преобразование Хаусхолдера вектора VH =E−24VV TkVk2(11)Пусть задан произвольный вектор x = (x1 , . . . , xn )T . Тогда можно выбратьвектор V = (v1 , v2 , . . . vm )T таким образом, что построенное по нему преобразование H подавляетвсе координаты вектора кроме первого.−σ 0Hx =  . , σ = kxk. .0Утверждение 4.Утверждение 5.Преобразование подобия сохраняют спектр матрицыЛемма 1. Пусть задано произведение матриц C = BA, где B — верхнетреугольная, A — ВПТФ.Тогда C — ВПТФ.Лемма 2.Пусть C = BA, где A — верхнетреугольная, B — ВПТФ.

Тогда C — ВПТФ.Определение 13.Интерполяционным полиномом Лагранжа называется полином вида:Ln (x) =nXck (x)f (xk ), ck — полином n-й степениk=0Разделённой разностью первого порядка для функции f (x), построенной поузлам xi , xj , называется отношение:Определение 14.f (xi , xj ) =f (xi ) − f (xj ), i = 0, N , j = 0, N , i 6= j.xi − xj(12)Разделённой разностью второго порядка для функции f (x, y), построенной поузлам xk−1 , xk , xk+1 ,называется отношение:Определение 15.f (xk−1 , xk , xk+1 ) =Утверждение 6.f (xk , xk+1 ) − f (xk−1 , xk ), k = 1, N − 1.xk+1 − xk−1Разделённые разности порядка k представляются в виде:f (x0 , x1 , . .

. , xk ) =Определение 16.kXf (xi )0 (x ) .ωi=0 0,k i(13)Ua (x∗ ) = {x : |x − x∗ | = a} — a-окрестность корня x∗ .S(x) — Липшиц–непрерывна (удовлетворяет условию Липшица) с q = const > 0на (a, b), если ∀x1 , x2 ∈ (a, b)|S(x1 ) − S(x2 )| ≤ q|x1 − x2 |.Определение 17.Если S(x) удовлетворяет условию Липшица с 0 < q < 1 на Ua (x∗ ) и |x −x0 | < a, то метод простой итерации (14) для решения уравнения (15) сходится (со скоростьюгеометрической прогрессии с знаменателем q ).Утверждение 7.Утверждение 8.xn+1 = S(xn ), n = 0, 1, . . .(14)f (x) = 0,(15)Если ∃M :0 1 f (x)f 00 (x) < M ∀x ∈ Ua (x∗ ),2 (f 0 (x))21,Mто итерационный метод Ньютона сходится и для него справедлива оценка:|x0 − x∗ | <|xn − x∗ | ≤n1(M |x0 − x∗ |)2 .M5(16)(17)(18)Остаточная функция ψin — погрешность аппроксимации разностной схемы(19)—(20) на решении исходной задачи.Определение 18.Утверждение 9.Теорема 6.0, xij ∈ ωh .ny n − 2yin + yi−1yin+1 − yin= i+1+ f (xi , tn ), (xi , tn ) ∈ ωτ h ;τh2(19)yi0 = u0 (xi ), xi ∈ ωh .(20)Если γ ≤ 0.5, то разностная схема (19) − (20) сходится в равномерной норме.Система линейных алгебраических уравнений (21) имеет единственное решение vij ≡( 2h212h22+vij =vi+1,j +vi−1,jh21+vi,j+1 +vi,j−1h22vij |Γh = 0(21)Следствие.

Разностная задача (22) имеет единственное решение для любых правых частей f, µ.∂2u ∂2u+= f (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ G∂x21∂x22(22)u|Γ = µ(x1 , x2 )(23)Теорема 7 (Принцип максимума). Пусть vij ≥ 0, xij ∈ Γh , и Lh vij ≥ 0, xij ∈ ωh . Тогда vij ≥ 0всюду (xij ∈ ωh ).Следствие. Рассмотрим две разностные задачи:Lh yij = φij , xij ∈ ωhyij задано, xij ∈ ΓhLh Yij = Φij , xij ∈ ωhYij задано, xij ∈ Γh(24)(25)Пусть выполнены следующие условия:|yij | ≤ Yij ,xij ∈ Γh(26)|φij | ≤ Φij ,xij ∈ ωh(27)Тогда |yij | ≤ Yij всюду (xij ∈ ωh ).Пусть решение задачи (22) – (23) u(x1 , x2 ) ∈ C 4 (G). Тогда разностная схема (28) –(29) сходится со вторым порядком по h1 и h2 и имеет место оценка:Теорема 8.ky − ukC(ωh ) ≤ M (h21 + h22 )где M > 0 и не зависит от h1 и h2 .yx1 x1 ,ij + yx2 x2 ,ij = fij ,yij |Γh =Определение 19.µ(xi1 , xj2 ),(xi1 , xj2 ) ∈ ωh(xi1 , xj2 )∈ ΓhНормы в B0 и в Bh согласованы, еслиlim kuh kh = kuk0h→0Определение 20.Сеточная функция (30) называется погрешностью разностной схемы (31).6(28)(29)zh (x) = yh (x) − uh (x), x ∈ GhLh yh (x) = φh (x),x ∈ Gh(30)(31)Сеточная функция (33) называется погрешностью аппроксимации разностнойсхемы (31) на решении исходной задачи (34).Определение 21.Lh zh (x) = ψh (x),(32)где ψh (x) = φh (x) − Lh uh (x)(33)x∈GLu(x) = f (x),Определение 22.(34)Говорят, что разностная схема (31) аппроксимирует исходную задачу (34), еслиkψh kh → 0, h → 0Говорят, что разностная схема имеет порядок аппроксимации k , если ∃M1 >0, k > 0, которые не зависят от h и имеет место оценка:Определение 23.kψh kh ≤ M1 hkОпределение 24.Дифференциальная задача (34) называется корректно поставленной, если:• ∀f (x) решение существует и единственно;• решение непрерывно зависит от f (x).Определение 25.h:Разностная схема (31) называется корректной, если при всех достаточно малых• ∀φ(x) решение существует и единственно;• ∃M2 = const, M2 > 0, M2 не зависит от h, такая что:kyh kh ≤ M2 kψh khОпределение 26.(35)Говорят, что разностная схема сходится к решению исходной задачи (34), если:kzh kh = kyh − uh kh → 0, h → 0Говорят, что разностная схема имеет порядок точности k , если ∃M3 = const, M3 >0, M3 не зависит от h, что:kzh kh ≤ M3 hkОпределение 27.(теорема Филиппова).

Пусть исходная задача (34) поставлена корректно и пусть разностная схема (31) аппроксимирует задачу (34) и является корректной. Тогда решение разностной задачи (31) сходится к решению задачи (34), причём порядок точности разностной схемысовпадает с порядком аппроксимации.Теорема 9Линейным m-шаговым разностным методом решения задачи (37) называетсяметод, записанный уравнением:mmXXakbk fn−k(36)yn−k =τОпределение 28.k=0k=0τ > 0 - шаг, ak , bk - константы, a0 6= 0, bm 6= 0. Уравнение (36) определено для n = m, m + 1, . .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)