А.В. Булинский, А.Н. Ширяев - Теория случайных процессов (1134115), страница 6
Текст из файла (страница 6)
0, 1 { - (. . ??) .. !) N = N (!) , n > Nsup jBn+1(t) ; Bn(t)j 6 n22;n=2;1 :t201]50*, B1(t !) +1Xn=2(Bn+1 (t !) ; Bn (t !)) .. ! , .. O0 1] B (t).0 ) 3.1 ) (3.13) , n > 0 fBn(t) 0 6 t 6 1g .E. 3.1. ( EBn(t) cov(Bn(s) Bn(t)) s t 2 O0 1] n > 0.E. 3.2. C, B (t) { .E.
3.3. C, EB (t) = 0 cov(B (s) B (t)) = min(s t) s t 2 O0 1].9 3.2 3.3 , B (t) { .. O0 1].=, & ' '% &%, -%,% %% % , % % % I. @, +" (1934) , n ;11 2XXp t+ 2 sin(kt) 0n=1 k=2n;1kk(3.23) 0 1 : : : { ... N (0 1) , .. O0 1] , , ) O0 1]. * " ], ( M), 12t)Xf (t) = sin(nn t 2 R2n=1, . O?, . 10] ) 1 , r Xnt(!)20(n)W (t !) = p + k k(!) sin ktk=1 fnmg .. O0 ].
M (10.31) (10.48).4'%, % O0 1] & '- %% % 2.11 % 0 (. C2.22). C,E(Wt ; Ws )4 = 3(t ; s)2 s t > 0:E. 3.4. = , ) 2.15, , ApA (x) = j det Aj;1p (A;1x)(3.24) Rn, ) p (x), A { n- ", .-.. .514 &% & "%," & ' , % x 2 R, 0. =, Wx(t !) = x + W (t !):(3.25)+, " ( x 2 R), . K , 0 = t0 < t1 < : : : < tn 6 1 n 2 N Qxt0t1:::tn , ""Qxt0t1::: tn (B0 B1 : : : Bn) = Qx0 (B0)ZB1dx1 : : :ZBndxnYnk=1ptk ;tk;1 (xk ; xk;1)(3.26) x0 = x t0 = 0 Bk 2 B(R), k = 0 : : : npt(x) = (2t);1=2 expf;x2=(2t)g x 2 R t > 0 Qx0 (B ) = 1 B (x) B 2 B(R): (3.27)E. 3.5. - Qxt :::tn 0 < t1 < : : : < tn 6 1, Qx, = (s1 : : : sk ) 0 6 s1 < : : : < sk 6 1, k 2 N .-..
Xt t 2 O0 1]?1= R0 O0 1]. + - ) Xt t 2 R0, ) .-.. Qxt0t1::: tn(tk 2 R0 k = 0 : : : n n 2 N), ", , X (t !) = !(t) E, ) , R0. =Qx (RR0 BR0 ) .E. 3.6. C, Qx(C0) = 1, C0 { R0 .@ , , R0 (7, " ), '% , O0 1]. +" X (t) 0 6 t 6 1, ) .. O0 1].=7, X .-.. ( R0), (3.26)?E. 3.7. C, X (t) (3.25) O0 1]. + " PX B(C O0 1]) , Qxg, g { " C O0 1] R0.
+ " .E. 3.8. + ( ), , , < 1=2, ..jX (t) ; X (s)j 6 C jt ; sj s t 2 O0 1] C = const > 0:(3.28)E. 3.9. C, 1lim sup W (t)=t1=2 = 1:t#0C , 0 : 1=2.52(3.29) ) .A 93.10 (F%). + Rn n 2 N, #) O0 t] t > 0 t(mn) = tm2;n m = 0 : : : 2n . X2n ;1m=0)(W (t(mn+1) ; W (t(mn)))2 ! t ..n ! 1:(3.30)E. 3.11. C, ) (3.30) ) Rn n 2 N.= && & '.1 ( ) 2 (0 2] { " W ()(t) t > 0 cov(W ()(s) W ()(t)) = 1 (s + t ; jt ; sj) s t > 0:(3.31)2+ = 1 .E.
3.12. C, , ) (3.31), . (2 %),&% , . ??.)+ X (t) t > 0 % % ), n > 1, 0 6 t1 < : : : < tn h > 0(X (t2) ; X (t1) : : : X (tn ) ; X (tn;1)) =D= (X (t2 + h) ; X (t1 + h) : : : X (tn + h) ; X (tn;1 + h)) =D . * , { " ).E. 3.13. + X = fXt t > 0g { , 06s6t<1E(Xt ; Xs) = (t ; s)c D(Xt ; Xs ) = f (t ; s)(3.32) c 2 R, f : R+ ! R+ (R+ = O0 1)).
@ X { ).E. 3.14. +, 2 (0 2]E(Ws() ; Wt())2 = js ; tj s t > 0:(3.33)+ (T ) { . F () T B L = fB L(t) t 2 T g (3.34)R(s t) = 21 ((s ) + (t ) ; (s t)):0, , , (3.34) .53E. 3.15. : . . X = fXt t 2 T g 3 T , X = 0 .. E(Xs ; Xt)2 = (s t) ( " (3.34) ).D (T k k) { ( , Rd j j), 3 . . (3.35)R(s t) = 21 (ksk + ktk ; ks ; tk): (3.31) , {?.
2 . . V () = fV ()(t) t 2 Rd+ = O0 1)d g, cov(V ()(s) V ()(t)) = 12 (jsj + jtj ; jt ; sj) s t 2 Rd+:(3.36)( , { @% X = fXt t 2 Rd+g , EXt = 0 cov(Xs Xt) =Ydk=1minfsk tk g(3.37) t = (t1 : : : td) s = (s1 : : : sd) 2 Rd+.9', % % %%. + Wk (t) t > 0 k = 1 : : : d{ ( Wk (Ek Fk Pk ), (E F P ) = (E1 F1 P1): : :(Ed Fd Pd ). + Y (t) = W1(t1) Wd (td) t 2 Rd+ = O0 1)dg. @EY (t) = 0 cov(Y (s) Y (t)) =Q0, dYdk=1minfsk tk g:(3.38)k=1 minfsk tk g .
@ , 3.6.E. 3.16. T 3 { T Rd?( ) fXt t 2 Rdg () B = (a b] = (a1 b1] : : : (ad bd] Rd . . Y (B ) =X(;1)k"kX ("1a1 + (1 ; "1)b1 : : : "dad + (1 ; "d)bd)(3.39) P " = ("1 : : : "d), ) 0 1, k"k = dk=1 "k .E. 3.17. C, fY (B ) B 2 Rg, R { B = (a b], .
( .E. 3.18. C, n > 2 ) B1 : : : Bn 2 R Y (B1) : : : Y (Bn) { . C 3 { T Y (B ) B 2 R, ,) 2.15 .54= B=% { E& > 0 Vt = e;tW (e2t) t 2 R(3.40) W { .E. 3.19. C, fVt t 2 Rg { .E. 3.20. ( .@ < %% , < . ( .E. 3.21. + X = fXt t 2 Oa b]g { , t 2 Oa b] (. (2.35)). @ X Oa b], .. " > 0 ^ = ^(" ), P (jXt ; Xs j > ") 6 js ; tj 6 ^ s t 2 Oa b]:(3.41)E. 3.22. + . 3.21.
@ X , ..lim sup P (jXtj > c) = 0:c!1 t2ab](3.42)E. 3.23. + . 3.21. @P ( sup jXtj < 1) = 1t2M \ab](3.43) M { - . 9: % B%%: Yk k = 1 : : : n { 2 O0 1), r > 0 Sk =P (jSn ; Sk j > r) 6 k = 1 : : : n(3.44)1 P (jS j > c):P (1maxjSj>r+c)6kn6k6n1;(3.45)Pk Y , c > 0j =1 j= ( DO0 1) , O0 1), ) t 2 (0 1).E.
3.24. C, %% O0 1) % .. < %% %% DO0 1).E. 3.25. C, O0 1).55A 93.26 ( K, ., ., O?]). fXt t 2 O0 1)g { % ). # t 2 O0 1) 2 R E expfiXt g = expft(ia +Z1;1g( x)(dx))g(3.46)a 2 R, { % B(R), (expfixg ; 1 ; i sin x)(1 + x2)=x2 x 6= 0g( x) =2; =2x = 0: (3.46) , ..
$ .(3.47)a A 93.27 ( , ., ., O?]). ) . # t 2 O0 1) 2 R E expfiXtg = expft(ia ;22 =2 +Z1;1(eix ; 1 ; i sin x)L(dx))g(3.48)a 2 R, > 0, L { % () , ) B(R), , L(f0g) = 0Z1;1x2=(1 + x2)L(dx) < 1:(3.49) a, L, $#) (3.49), .E. 3.28. +, ] 3 . - " a a 2 L?E. 3.29. - 3 Wx(t) = x + W (t), t > 0, W { , x 2 R?* ) ) O?]. + ) ) .A 93.30 ( 2L= { M,, ., O?]).
4 c > 0 .limT !1sup06t6T ;c log TpjW (t + c log t) ; W (t)j= log T = 2c ..M ) " O?].56(3.50) 4. $ $$% &5 # .. 70 1). 4 . 4 , - F . . !. = . -, 70 t]. = .(# . 3 .0) , .A 4.1. ( # % % W $$% O0 1).2 M Ok k + 1), k 2 f0 1 : : : g. C ! 2 E W ( !) s 2 Ok k + 1) s, " , ) q l 2 N (q = q(! s),l = l(! s q(s !))), jW (t !) ; W (s !)j < l(t ; s) t 2 Os s + q;1) Ok k + 1): (4.1)C l n i 2 N ( k) j j ; 1 7lAlni = ! : W k + n ! ; W k + n ! < n j = i + 1 i + 2 i + 3 :(4.2)M l q, ) (4.1). D 4=n < 1=q i = i(s n) (i 2 f1 : : : ng) , k + (i ; 1)=n 6 s < k + i=n, j = i + 1 i + 2 i + 3 !,rkrs + q1sk + i;n1i+2i+3k + ni k + i+1n k+ n k+ n-k+1. 4.3) (4.1), j j ; 1 j W k + ! ; W k + ! 6 W k + ! ; W (s !) +nn n 4 3 7lj;1+ W (s !) ; W k + ! 6 l + l = :T Snnnnn+" ! (4.1), ! 2Alni.
+ Dk = f! : W ( !)n>4q i=1 s 2 Ok k + 1)g ( s = k, ). * , Dk 1 1 \ nq=1 l=1 n>4q i=1Alni:(4.3)57@ , Bn 2 F , n 2 N,P\1n=1Bn 6 liminf P (Bn ):n!1+" q l 2 N, ) W ,P \ nn>4q i=1Alni 6 liminf Pn!1 ni=1Alni 6 1 7l 36 liminf P (Alni) 6 liminf n P W n < n=n!1n!1i=1 1 14 l 37l 3nX= liminf n P jW (1)j < pnn!16 liminf n p pn = 0:n!12(4.4)4 , W (t) N (0 t), t > 0, z > 0Z x21P (jW (1)j < z) = pe; 2 dx 6 p1 2z:2 ;z2z= (4.4) 7, (4.2) ) W O(j ; 1)=n j=n), j = i + 1 i + 2 i + 3. 9, 7 , (E F P ) , (4.3), (4.4) , P (Dk ) = 0 k = 0 1 2 : : : .
D D | !, W ( !) S1s 2 O0 1), D = Dk . 0, P (D) = 0. 2k=09 ,= %% & ' &% % % %, %'. 4.2. A1 A2 | F , . .P (A1 A2) ; P (A1)P (A2) = 0 # A1 2 A1 A2 2 A2:(4.5) fA1g fA2g, . . (4.5) A1 2 fA1g,A2 2 fA2g.2 C A 2 fAg " > 0, A | F , )B" 2 A, P (A 4 B") < ". - , ) , -. C, E 4 E 1= ?, A 4 1B " = A 4 B""SS;n;1 P (An 4 Bn" ) < "2 n 2 N, PAn 4 Bn" < 2 ,n=1n=1111SSS. .
An 4 Bn" (An 4 Bn"). = n0(") , P S1n=1n=1n=1< "=2.@ A 2 fA1g, B 2 fA2g " > 0 A" 2 A1 B" 2 A2, P (A 4 A") < ", P (B 4 B") < ". 9, AB 4 A"B" (A 4 A") (B 4 B" ), , jP (AB ) ; P (A)P (B )j < 4". 258n=n0 Bn"+ . . X = fXt t 2 T g, . . F jBt- .".Xt : E ! Xt, t 2 T . C V T X (V ) = fXt t 2 V g := fXt;1(Bt) t 2 V g.0 1.1 1.4 X (V ) = X;1(BV ) (Xt = Tt X, ";1 Bt) t 2 V g = fX;1 (f ;1 Bt t 2 V g)g = X;1 ( f ;1BtfXt;1(Bt) t 2 V g = fX;1(TtTtTtt 2 V g) = X;1 (BV )). (.$.
fX (t) t 2 V g ) - E , X (V ) E . D . . X T R, F6t == X ((;1 t] \ T ).A 4.3 ( %). 4 # $ a > 0 % X (t) = W (t + a) ; W (a), t > 0, %, ) - F6a = fW (s): 0 6 s 6 ag.2 =, X (0) = 0, X , ) X (t) ; X (s) = W (t + a) ; W (s + a) N (0 t ; s), 0 6 s 6 t. XT (T R) fx : (x(s1) : : : x(sn)) 2 B g si 2 T , i = 1 : : : n (si 6= sj i 6= j ), B 2 B(Rn) fx : (x(t1) : : : x(tn)) 2 B^ g, t1 < t2 < : : : < tn | " ) s1 : : : sn, . . (s1 : : : sn) = (t1 : : : tn), B^ = U;1B , .
(2.6). +,C = f! : (X (t1) : : : X (tn)) 2 B g, B 2 B(Rn), n 2 N, 0 = t0 6 t1 < : : : < tn.+ j = W (tj + a) ; W (tj;1 + a), j = 1 : : : n. @ C = f! : (1 1 + 2 : : : 1 + : : : + n ) 2 B g = ((1 : : : n ) 2 B~ ), B~ = H ;1B , n - H , " 1 ( , , H , ).
K, m 2 N, 0 = u0 6 u1 < : : : < um 6 a,G 2 B(Rm) f(W (u1) : : : W (um)) 2 Gg = f(1 : : : m ) 2 G~ g, G~ 2 B(Rm),i = W (si) ; W (si;1), i = 1 : : : m. = 1.5 4.2. 2D : ' && %, % 4.3, % %% a < ? =, " .+ fFt t 2 T g, T R, | - F (%$% &),. . Fs Ft s 6 t (s t 2 T ) Ft F t 2 T .= : E ! T f1g fFt t 2 T g, f! : (!) 6 tg 2 Ft t 2 T . D (!) < 1 .., .9 F F6t (t 2 T ) .4' % %A 4.4. X = fXt t > 0g | .$. (X ) t > 0. X ..
! . # F XF (!) := inf ft > 0: Xt (!) 2 F g(4.6) F6t = fXs : 0 6 s 6 tg, (F (! ) = 1, Xt (! ) 2= F t > 0).2 1 ! 2 E~ , X (P (E~ ) = 1).1. + G | X G (4.6) F G. @ 0 6 t < 1f! : G(!) < tg 2 F6t :(4.7)59', fG < tg =S fX 2 Gg, Q | r+r<tr2Q+ . C, r < t, r 2 Q+ , Xr (!) 2 G, G (!) 6 r < t. =, G (!) < t. @ s = s(!) < t, Xs(!) 2 G. + G | , Xt(!) , Xz (!) 2 G z, s .0 z r < t. C (4.7) , fXr 2 Gg 2 F6r F6t r < t.2. M Gn = fx 2 X : (x F ) < 1=ng, n 2 N, (x F ) = inf f(x y): y 2 F g. + n = Gn , n (!) ! F (!) n ! 1 ! ( E~ ). =, n (!) 6 F (!) n 2 N, ! 2 E~ , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
