А.В. Булинский, А.Н. Ширяев - Теория случайных процессов (1134115), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. BT , ;1 = QJ BJ J 2 F (T ). 1.5. + " (2.2) QTJG & Q . *, ' %, QT CT , . . Q(Cn) ! 0, Cn # ? n ! 1 (Cn 2 CT , Cn+1 Cn, n 2 N, Cn = ?).n;1 Bn , Jn 2 F (T ), Bn 2 BJ , n 2 N. 1 )+ Cn = TJnn( Q CT ) & %%, Jn Jn+1, n 2 N. C, Q(Cn) > "0 > 0 n ( n 2 N, Cn+1 Cn, n 2 N).
9, " Cn # ?.+ , ' %, =, '% Cn =;1 Bn , Bn | % XJ , Jn 2 F (T ) (- Jn Jn+1 , n 2 N).= TJnn , Bn 2 BJn 2.4 XJn Kn Bn ,;1 Kn 2 CT . @ QJn (Bn n Kn ) < "02;n;1 . = Hn = TJn n ;1 (Bn n Kn )) = QJ (Bn n Kn ) < "0 2;n;1 :Q(Cn n Hn ) = Q(TJnnTn TnTn;1 ;1 Ki = ;1J;n1Ji Ki . =, Ln # ?, Ln = Hi = TJTJnJn Jini=1i=1i=1Ln+1 Ln Ln Hn Cn . = Ln , Dn =Tn= J;n1Ji Ki, XJn i=1Kn J;n1Jn Kn ( ).
C, , Cn Ci, i = 1 : : : n, Q(Cn n Ln ) = Q Cn \ n i=1Hi n=Q(Cn n Hi ) 6 ni=16Qi=1 Xn(Ci n Hi) 6i=1Q(Ci n Hi) < "0=2:0, "0 6 Q(Cn) = Q(Ln) + Q(Cn n Ln) 6 Q(Ln) + "0=2, . . Q(Ln) > "0=2;1 Bn , Bn | % XJ , n 2 N. 3%, < Cn = TJnnJn Jn+1, Jn 2 F (T ), n 2 N.24 XT yn 2 Cn (Cn 6= ?, Bn 6= ? n, . . Q(Cn) == QJn (Bn) > 0, (?) = 0 - ).
@ TJn yn 2 Bn,;1 Bn = Cn Cm = ;1 Bm = ;1 ( ;1 Bm ) ,n 2 N. C n > m TJTJmTJn Jn Jmn, Bn J;n1Jm Bm, JnJm Bn Bm. +"ynjJm = TJm yn = JnJm TJn yn 2 Bm n > m:9, B1 | (XJ1 J1 ), fn(1)j g N x1 2 B1, yn(1)j ! x1 (XJ1 J1 ) j ! 1, . . (2.1) yn(1)j (t) ! x1(t)j J1 (Xt t ) j ! 1 t 2 J1. * fn(1)j g (2)fnj g, yn(2)j jJ2 ! x2 2 B2 (XJ2 J2 ) j ! 1. C , m > 2 fn(jm)g fn(jm;1)g xm 2 Bm , yn(jm) jJm ! xm 2 Bm (XJm Jm ) j ! 1, . .yn(jm) (t) ! xm(t) (Xt t ) t 2 Jm m 2 N (j ! 1):(2.3)+ , ) , , xm(t) = x(t) m 2 N t 2 U =1m=1Jm : fnj g, .
. nj = n(jj). @ynj (t) ! x(t) (Xt t ) j ! 1 t 2 UUJm x = xm = (x(t) t 2 Jm) 2 Bm m 2 N:;1 x, x = (x(t) t 2 U ) 2 XU ( - y 2 TUTU XT XU ). @ m 2 NTJm y = UJm TU y = UJm x 2 BmT1;1 Bm = Cm m. 0,. . y 2 TJCm 6= ?. + mm=1. 2C , . + , -% %% % % ( ). +, ,(Xt Bt) t 2 T { . = X (t1 : : : tn) { , ) (x(t1) : : : x(tn)), t1 : : : tn 2 T , x(tk ) 2 Xtk ,k = 1 : : : n, n 2 N.
" (2.1) t1:::tn (x y) = 1max (x(tk ) y(tk)):6k6n tk- 2.1 , -B(t1 : : : tn) := B(X (t1 : : : tn)) Bt1:::tn , " " Bt1 Btn , Btk 2 Btk k = 1 : : : n.25+", X = fXt t 2 T g { . ., .. Xt : E ! Xt FjBt- t 2 T , 1.2 t1 : : : tn 2 T n 2 N, (Xt1 : : : Xtn ) 2 FjB(t1 : : : tn). 4 B(t1 : : : tn), Pt1 :::tn (C ) = P (! : (Xt1 : : : Xtn ) 2 C )(2.4) (-..) . . X. * (2.4) , n > 2, t1 : : : tn 2 T C = Bt1 : : : Btn , Btk 2 Btk ,k = 1 : : : n, (i1 : : : in) (1 : : : n)1: Pt1 :::tn (Bt1 : : : Btn ) = Pti1 :::tin (Bti1 : : : Btin ), 2: Pt1 :::tn (Bt1 : : : Btn;1 Xtn ) = Pt1 :::tn;1 (Bt1 : : : Btn;1 ).' 1 2 , 1 3, 3 , Btm = Xtm m = 1 : : : n Pt1 :::tn (Bt1 : : : Btn ) " tm Btm , ..3: Pt1:::tm:::tn (Bt1 : : : Xtm : : : Btn;1 ) == Pt1 :::tm;1tm+1:::tn (Bt1 : : : Btm;1 Btm+1 : : : Btn ):@ 2.5.
3% %%, < ' & % t1 : : : tn, .. ) %& , ) (, Ptt(B 0B 00) = P (Xt 2 B 0 Xt 2 B 00) == P (Xt 2 B 0 \ B 00) = Pt(B 0 \ B 00)).% 2.6. (X (t1 : : : tn) B(t1 : : : tn)), (Xtk Btk ), tk 2 T , k = 1 : : : n (n 2 N) Qt :::tn , #) 1 2 ( P Q). ) (E F P ) .$. X , T E, Qt ::: tn1# .-..12 C J T %& BJ = fy 2 XJ : y(t) 2 Bt t 2 J g 2 BJ QJ (BJ ) := Qt1::: tn (Bt1 : : : Btn )(2.5) t1 : : : tn | - J .
= (2.5). C, 1 QJ (BJ ) J ( , t 2 J Bt). D B = BJ1 B = BJ2 , , I = J1 \ J2, BJi = fy 2 XJi : y(t) 2 Bt t 2 I y(t) 2 Xt t 2 Ji n I g, i = 1 2. + (, ) 3 1 , , QJ1 (BJ1 ) == QJ2 (BJ2 ) = QI (BI ), BI = fy 2 XI : y(t) 2 Bt t 2 I g.
+ Qt1:::tn | (X (t1 : : : tn) B(t1 : : : tn)), (2.5) , QJ %& XJ , , BJ .+ " 1 3 (1.10). +" 1.8 );1 . * (2.5) (1.11) . . X , QJ = PX TJ , " .-.. 29 % Qt1:::tn . C n > 2 (i1 : : : in) n : T n ! T n Un : X n ! X n,n(t1 : : : tn) = (ti1 : : : tin ) Un(x1 : : : xn) = (xi1 : : : xin ):(2.6) n : T n ! T n;1 Vn : X n ! X n;1 :n(t1 : : : tn) = (t1 : : : tn;1) Vn (x1 : : : xn) = (x1 : : : xn;1):(2.7)261 .
* n (2.6) (2.7) ) . 2.7. 4 n > 2 = (t1 : : : tn) T , t1 : : : tn , 1 2 ( 1 3 ) Q = Qt1 :::tn #):A) Q = Q U;18B) Q = Q V;1.2 0 Bt1 : : :Btn X (t1 : : : tn), t1 : : : tn 2 T (n 2 N), 1.6 . 2@ 2.8. C T R Q , = (t1 : : : tn) 2 T n, n 2 N, ) t1 < : : : < tn. C s1 : : : sn B1 : : : Bn Qs1::: sn (Bs1 : : : Bsn ) := Qsi1 ::: sin (Bsi1 : : : Bsin ) si1 < : : : < sin . @ 1 Qs1:::sn 3 Qt1:::tn ) t1 : : : tn. % , < %%,, & ,%, %%%' %% Rn ( & -&B(Rn)) %% . (, $% (.$.) Q (Rn B (Rn)) 'Q () :=PnZRnexpfi( x)gQ(dx) 2 Rn(2.8) ( x) = k xk i2 = ;1.k=14 Q $% F (x) :=:= Q((;1 x]), (;1 x] = (;1 x1] : : : (;1 xn]. x, F , . .
) :F (x) = (2);nlimZ!0+(;1x]Zdy d expf;i( y) ; 2jj2=2g'Q ()Rn(2.9) jj2 = ( ), d | 3. ' F , F , , Q B(Rn). ', 'Q 22 L1(Rn B(Rn) d), (2.9) = 0 .( ) % &. +g : X ! Y B jA- , h : Y ! Rn h 2 AjB(Rn).@ZXh(g(x))Q(dx) =ZYh(y)Qg;1(dy)(2.10) (2.10) ) ) ), .27#" ! #" ! #" !gx(X B Q)zy = gxh(Y A Qg;1)zhy(Rn B(Rn)). 3.19.$. Y : E ! Rn (F j B(Rn)-) -'Y () = E expfi( Y )g 2 Rn:* (2.8) (2.10) , ZZRn'Y () = expfi( Y (!))gP (d!) =expfi( z)gPY ;1(dz) = 'PY ():(2.11)(2.12)A 2.9. 4 Q , = (t1 : : : tn) 2 T n, (Rn B (Rn))n>1 , , # 2 Rn, 2 T n n > 2 (a) ' (U) = ' (),(b) ' (V) = ' (V 0), U V (2.6) (2.7) ( X n = Rn), ' = 'Q , 2 T n,(V 0) = (1 : : : n;1 0) = (1 : : : n ) 2 Rn.* , ..
' () ' %, % % % , %' .., 78 % , % .. ' % %1 : : : n % 78 % %.2 (Rn B(Rn)) (A) (B) 2.7 , n > 2' () = 'Q ;1 () 2 Rn' () = 'Q ;1 () 2 Rn;1:(2.13)(2.14)+ 1.6 Y Rn, Q = PY .@ Q U;1 UY , PY U;1(B ) = P (Y 22 U;1(B )) = P (UY 2 B ). C,'Y () = E expfi(UY )g = E expfi(Y U)g = 'Y (U;1)(2.15) U , ) " ( U = U;1, U { U). 0 (2.15) (2.13) ' () = ' (U;1), 2 Rn, " (a).K,'Y () = E expfi(VY )g = E expfi(Y ( 0))g = 'Y (( 0)) 2 Rn;1: (2.16)@ , (2.14) " (b). 228@ 2.10.
+ X (t) = (X1(t) : : : Xk (t)), t 2 T { Rk, .. X 2 FjB(Rk) t 2 T . C n 2 N t1 : : : tn 2 T t1:::tn = (X1 (t1) : : : Xk (t1) : : : X1(tn) : : : Xk (tn))) B(Rkn) Qt1:::tn . . t1:::tn (), = (1 : : : n ),(k)kj = ((1)j : : : j ) 2 R , j = 1 : : : n. 0 , 2.9 ( Q , (Rkn B(Rkn))n>1.@ (a) t1 : : : tn 1 : : : n , (b) n . = t1:::tn = (X1(t1) : : : X1(tn) : : : Xk (t1) : : : Xk (tn)) , (a) (b).4 &= .
:, %%, (..) X = fXt t 2 O0 1)g % , <& n 2 N 0 = t0 < t1 < : : : < tn Xt0 Xt1 ; Xt0 : : : Xtn ; Xtn;1 %.A 2.11. f'(s tQ )g | $%,#) Q(st] 0 6 s < t < 1, B (R). 4 ) (E F P ) % X = fXt t 2 O0 1)g ), .$. Xt ; Xs '(s tQ ) # 0 6 s < t < 1, , '(s tQ ) = '(s uQ )'(u tQ )0 6 s < u < t < 1 2 R. X0 .(2.17) 2 ( (2.17) , . .
. . .+ (2.17). C, Xt, PX0 = Q. @ 0 = t0 < t1 < : : : < tn . . = (Xt0 Xt1 ; Xt0 : : : Xtn ; Xtn ;1) ' (0 1 : : : n ) = 'Q (0)'(t0 t1Q 1) : : : '(tn;1 tnQ n ):@ , 0 1 01 0 Xt0 1Xt0100:::0BBBXt1 CXt1 ; Xt0 C1 1 0 : : : 0CBCBCBCBCBCBCXX;Xttt111:::02C =21 C:BBBCB@ ... CA @: : : : : : : : : : : : : : :A B@ ...
CA111:::1XtnXtn ; Xtn;1(2.18)C 2 Rq, A = (akm)qkm=1, akm 2 R(k m = 1 : : : q), 2 Rq'A () = E expfi( A)g = E expfi(A )g = ' (A):(2.19)29+" ), .-.. n > 1 0 = t0 < t1 < : : : < tn ) . .'t0t1 ::: tn (0 1 : : : n) = ' (A) = 'Q (0)'(0 t1Q 1) : : : '(tn;1 tnQ n) = A, A | , ) (2.18), . . 0 == 0 + : : : + n , 1 = 1 + : : : + n , : : : , n = n . - , 't0 (0) = 'Q (0)X Xnn't1::: tn (1 : : : n) = 'Qj ' 0 t1Q j : : :'(tn;1 tnQ n ):j =1(2.20)j =1= 2.9.
9 (a) 2.8, (b), , (b0), ) 0 ' () m , , .. (2.17) 1 6 m 6 n'(tm;1 tmQ 0 + m+1 + : : : + n )'(tm tm+1Q m+1 + : : : + n ) == '(tm;1 tm+1Q m+1 + : : : + n ) m = 0 (2.20)'t1::: tn (1 : : : n ) = 't0 t1::: tn (0 1 : : : n ): 2@ 2.12. @ 2.11 Rm (m > 1), .. Q(st] B(Rm). C " , ) (2.18), Im { m- , k 2 Rm, k = 0 1 : : : m.@ 2.13.
+ ) O0 1). D T = N Xt ), Xt = 1 + : : : + t, t 2 N, fj g1j=1 | . +" % %% && % .% 2.14. () % fNt t > 0g, , 1) N (0) = 0 ..82) % )83) Nt ; Ns , 0 6 s < t < 1, m((s t]), m() | - B (O0 1)). : , m((s t]) = (t ; s), 0 6 s < t < 1, > 0, % # .2 0 3) '(s tQ ) = 'Nt;Ns ( ) = em((st])(ei ;1) 2 R:9 (2.17) , m((s t]) = m((s u]) + m((u t]), Q , 0. 230% 2.15. () % fW (t) t > 0g, ( ), -1) W (0) = 0 ..82) W () | % )83) W (t) ; W (s) N (0 t ; s) t > s > 0.= ) .. .
C , " 1), 2), 3). 2 0) ,2 )(u;s) 2(t;u) 2(t;s);;; 1), 2), 3), 2.11, e 2 = e 2 e 2 ,0 6 s < u < t, 2 R, . . (2.17). 2C W (t) = W (t) ; W (0) N (0 t), " EW (t) = 0 t > 0. + 0 6 s 6 t ( , )cov(W (s) W (t)) = cov(W (s) ; W (0) W (t) ; W (s) + W (s) ; W (0)) == D(W (s) ; W (0)) = s:@ ,EW (t) = 0 cov(W (s) W (t)) = minfs tg s t 2 O0 1):(2.21) .+, &% , 1, % ,< & ,%%, %, , % (. O?]) %,% % 0. 2 .2 I 1. B % %< -% , % , %%.+ (Xt t)t2T { . 1 , t O0 1) t 2 T ( et(x y) = t(x y)=(1+ t(x y)) x y 2 Xt, " tQ " (Xt t) (Xt et) (Xt et) { ). Xt Mt = (x(1t) x(2t) : : : ) ht : Xt ! O0 1]1, ht(x) = (t(x x(1t)) t(x x(2t)) : : : ): O0 1]1 d(y z) =1Xk=12;k jyk ; zk j(2.22) y = (y1 y2 : : : ), z = (z1 z2 : : : ).E. 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
