Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следовательно, (Ф/е„Ф/е1) — искомый доверительный интервал уровня у для оз. Проиллюстрируем полученные результаты на примере задач о взвешивании двух предметов. Пусть а1 и аз в истинные веса двух предметов. Рассмотрим следующие три схемы взвешивания: 1 Ш В схеме 11: в а, = (1, О, 1), а, = (О, 1, 1), . 2 1 д2 1! ((а„ас)) = ~ ), ((а,, ас)-) = 3 3 ~1 2) — 1/3 2/3 н по формулам (8) 2 ° 1 ! -а, = — Ь1; — — $в+ — $в, 3 ' 3 3 ' (20) 2 1 1 ав = — 5в — — $ + — $в 3 3 3 причем Отсюда, в частности, следует, что дополнительное взвешивание привело к уменьшению дисперсий оценок пь ю'='1, 2: ов в схеме 1, 2ав/3 в схеме 11: В схеме П возможно несмещенное оценивание дисперсии ов.
Заметив, что ава,+ ссвав = 1 = — ((2$. — $в+ $в). (25* — 5 + $в) ($ + $в+ ив)) найдем $ — П,$ =$ —.а,а,— ава!г= 1 3 Отсюда следует 1 а'. = — ($1+ $3 — $3)'. 3 Малая полуось характеризует точность измерения а!+ав и 'в 113 раз короче большой. Доверительный интервал для а; записывается в виде (а; — еб($), а!+еб(е)), 219 Доверительный эллипсоид для этого случая определяется неравенством 2(а, †' а,)' + 2(а! — а",) (ав — а,) + 2(ав — а,)' ( 2еов. где 3 ~~'+ 3' Ы т'2 и ~ад определено в (20), д=1, 2. Наконец, в случае схемы 1П ((ад, ас)) = ~ /1, ((а„ас)-) = ~ /2 0 /1/2 О! ~0 2/' " ~0 1/2) ! ад — — — ($ +3), а, = — (8 — $,).
г 3 1Ч < $д = сдд+ т„ $а =а + ад-+ и„ $~ =а,— а +та; Ч ( $, =,ад+а.+ чь $д = а +а, +т„ 84 = ад — ад + та! п =(1,1,1), п,=(О',1,— 1); и =(1,1,1), о,=(1,1,— 1); /3 О! /3 1д ((а,, а!)) = ~ ~, ((ао а!)) ~ ), ((аоа;) — )= (,О 2~' ~1 3) /а /д сот а, а, = о'/3, сот а, а, = а'/2. сот а, ад = Зад/8, сот ад ад = Зад/8. Каждая из этих схем дает результаты лучшие, чем схемы 1, 11 и 111. Схема Ч.предпочтительнее схемы 1Ч, если в качестве критерия выбрать суммарную ошибку оценивания: 3, 3 ' 3 1 1 5 — од = — од + — од " — од+ — оа = — и'. 4 8. 8 3 3 6 220 В этом случае разумно организованное взвешивание позволило уменьшить дисперсию оценок вдвое по сравнению с результатом схемы 1 и в 4/3 раза — по сравнению с результатом схемы 11.
В схеме 111 сота, а =сочад ад =64/2. Как следует изменить стратегию взвешиваний в схеме Н, чтобы, не увеличивая число взвешиваний, повысить точность результатов? Для этого, очевидно, следует стремиться к тому, чтобы при каждом взвешивании на чашках весов находились оба предмета.
Рассмотрим едце две'схемы: $19. ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ РЕДУКЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ В ЗКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Рассмотрим линейную схему измерений (18.3) с несколько иной точки зрения. Для этого представим ее в виде записав векторы $, т, а;И, 1=1,...,й, и аИь в виде столбцов и затем объединив столбцы аь 1=1,...,А, в Матрицу (21 размера аХА: В таких обозначениях схема (1) записывается следующим образом: Ф=Аа+ч (3) и допускает следующую интерпретацию, которой 'мы будем придерживаться в этом параграфе: вектор (сигнал) $ рассматривается -как результат измерения вектора (сигнала) е„ полученный на линейном измерительном приборе, заданном.
матрицей А (на приборе А). Вектор т определяет погрешность (шум) измерения сигнала Аа. Итак, на вход линейного прибора А подается сигнал а„ измеряется сигнал Аа на выходе прибора, но в силу неизбежных ошибок результат измерения $ представляется равенством (3). Схемой .(3) охватывается довольно широкий класс измерительных приборов, таких, например, как спектрометры, микроскопы оптические и электронные и т. п. Для микроско-, пов, например, а можно понимать как идеальное, без искажений и шума, изображение объекта, а 5 — как реальное изображение.
'Современное экспериментальное оборудование, как правило, содержит вычислительную технику (ЭВМ), которую можно использовать для обработки результатов измерений. В частности, ЭВМ можно использовать для решения задачи редукция измерений, т. е. для такого преобразования сигнала 5- )г$, в результате которого сигнал )г$ можно интерпретировать так, будто он получен на выходе другого прибора, параметры которого могут быть лучше, чем параметры А.
Так, например, можно решать задачу повышения разрешающей способности микроскопа, спектрометра и т. п. В связи со.сказанным возникает математическая задача описания комплекса «прибор+ЭВМ» как нового прибора с 221 существенно более широкими возможностями. Прн этом, в частности, оказывается, что если в нашем распоряжении имеются два прибора, один из которых имеет «плохие» параметры, а другой — «хорошие»,'то, после того как к каждо, му будет «подключена» ЭВМ, может случиться, что комплекс «прибор+ЭВМ», соответствующий прибору с «плохими» параметрами, будет лучшим из двух. 1». Задача редукции к идеальному прибору Рассмотрим линейное преобразование равенства (3) (($ = 1(Аа+1(т. (4) Вектор »1$ можно интерпретировать как искаженный шумом Ят сигнал на выходе прибора 1(А, на вход которого подан сигнал а.
Условимся считать, что идеальный прибор задается единичной матрицей 1 О ... О 0 1 ... 0 0.. 01 размера ((хй. Поэтому результат редукции к идеальному прибору должен иметь вид (1 =Р$=а+Щ, (5) где матрица (( размера ЙХа удовлетворяет уравнению КА=!.. (6) Однако условием (6) матрица ((, вообще говоря, не определяется однозначно.. Если 1( — некоторое ре(уеиие уравнения (6), то ((+«, также решение, если Я вЂ” решение однородного уравнения ЕА=О.' (() Обозначим 1((А) линейное подпространство 1( векторов вида Ах, х~Яю 1((А) называется пространством значений матрицы А и. совпадает с введенной ранее линейной оболочкой Ь, векторов аь ('= 1, ...,((. Следовательно, оператор ортогонального проектирования на (('(А) определяется равенством П,у= ~' (а„а;) — (у, а()а(, у~Я„ (8) с('-! которое можно также переписать в терминах матрицы А: П.'у=А(А*А)-'А*у, уз=((; .
(9) здесь А« — обозначение для траиспонированиой матрицы. , 222 Впрочем, равенство (9) можно получить и непосредствен- но, рассмотрев вариационную задачу на минимум гпш Ц!у — Ах!! (хен)та)=!1у — П,у(!. (101 Действительно, вектор х, доставляющий минимум (10),удов- летворяет уравнению А*(у — Ах) =,0; которое является не- обходимым и достаточным условием .минимума квадратич- ной функции ~(х) = (у в Ах, у в Ах). Отсюда следует (9)..
Теперь мы можем выписать общее решение уравне- ния (7). Умножив его справа на матрицу (А'А) — 'А', найдем.- ЕП =О. (11) . С другой стороны, умножив уравнение (11) справа на мат- рицу А, вновь получим уравнение (7). Следовательно, урав- нения (11.) н (7) зквивалентны. А так как согласно (11) о =2(1 — П,), то общее решение уравнения (7) можно записать в виде г= У(7 — П,), где У в произвольная матрица ЙХл. Поскольку 17= (А*А) 'А* удовлетворяет уравнению (6)„ то его общее решение имеет вид )7= (АеА) 'А*+У(7 — П,), (12) где У вЂ” произвольная матрица ЙХп.
Рассмотрим задачу редукции к идеальному прибору в " следующей постановке: найти матрицу Я размера йХп, та- кую, что ' ЯА=!, М(ЯтР-гп)п. (13~ Согласно такой постановке речь идет о редукции к идеаль- ному прибору при минимальном уровне шума )то в (5). Так как а М'1Ят'(а =Мат, ггч) = ~' ~' Йчй„Мт;т, еем .па =1 и 1 о',. )=з, Мчгч =оебг =[ ' 1,з=1, г...л, ('О, )чьз, то' М (~ Я т !Р = па 1г И~'. и ' для квадратной матрицЫ 5-(ао)~" по определению 1т5= ~ ап. е ! 223 Л поскольку (1 — П„) А=О, то для Л из (12) 1г )И* =4г ((А*А),'А*+ У(7 — П,) )(А(А*А) ~+ + (1 — П,) У*) =1г (А*А) '+1г У(7 — П,) У*. (14) Учитывая, что для любой матрицы У 0~1г У(7 — П,) (7 — П )*У*=1г У(! — П ) У*, из (14) получаем, что решение задачи (13) имеет вид 11=(А*А) 'А~ М!ЯтР=ог1г(А*А) ', (15) что совпадает с результатом теоремы Гаусса †Марко.
Именно 15= (АьА) 'А*Аа+(А~А) 'А*т=а+(А~А)-'А*т есть не что иное, как вектор -(-'1 жесмещеннык оценок минимальной дисперсии вектора .-(') Однако такое решение задачи редукции удовлетворительно лишь в случае достаточно низкого уровня шума М~!ЛтР= =аЧг (А*,А)-'. На практике обычно это не так, и требование несмещенности оказывается неоправданным.
Рассмотрим постановку задачи редукции к идеальному прибору, в которой ценой минимального смещения достигается значительное подавление 'шума. С этой целью опре. делим расстояние между произвольными матрицами (7 и У одного размера числом р(и, У) =(1г (и — У) (и — У) *) Л (16) н рассмотрим задачу на минимум ппп((1г ()гА — 7) ЯА — 1)')'Р~МПРтР~е)=р.. (17) Ясли )1.— ее решение, то согласно (4) вектор РД можно рассматривать дак искаженный шумом Р.~ выходной сигнал прибора )г,А, с точностью до р. совпадающего с идеальным прибором 1,'при заданном ограничении на уровень шума МК.тР се, Теорема 1. Решение задачи редукции (17) имеет вид Л(в) =А'(АА'+ аюз7) ', е =-в„О< е < а'1г(А'А) А'е О, е О,' (А*А) — ' А', е ) пз1г(А" А) — ', где в, — единственный корень уравнения ок(г Ае(ААв+вов1) 'А=к.
При в~О имеет место закон сохранения аов — 'М1Я(в) т(в + ов (1а) + — (г()ьв(в)А — 1) ()1(в)А — 1)' = О. (19) оа Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим линейное пространство аахм матриц Й размера ЙХп и определим в )аахм расстояние по формуле (16). Пос(тольку для всякого е~О множество М. матриц Л, удовлетворяющих условию М1!ЛтР=оа(г)111в~е, (20) Из первого уравнения (21) для в) 0 найдем й=)т(а) =А*(АА*+ваЧ) '. (22) Интенсивность шума 1(т Ь(а) гшок(г Я (в) 11е(в) =от(г Ае(ААа+аоЧ)-'А является дифференцируемой функцией в>0, и ее производная равна* = — 2о'1гА (АА'+вов1)-зА ка (23) Докажем, что производная (23) строго отрицательна для аъО.
Так как А' (АА*+аоЧ) =. (А" А+аоЧ) Ав (24) Так квк (АА'+ аоа 1) (АА'+шов 1) ' =1, то м' (АА' + аое 1) — (АА* + во' 1) '+ за 1 (АА" + ао' 1) "' = О, ов м' . — (АА'+ воа1) ' = — ов(АА*+воа1) а. ов 225 3 ю. и. Пмтьев, н. А. швшмарев выпукло, ограничено и замкцуто в Лох, а (г (ЯА — 1) ((тА — 1)' как функция Я на М. выпукла и дифференцируема (как функция матричных злементов й), то задача (17) выпукла и имеет единственное решение, которое можно найти из условий ЯА — 1) Ае+вокрт=О, а~О, в(о2(г КК' — е) =О, (21) 1г 1Ие — е~О. то, умножив (24) слева на (А*А+ваЧ) ' и справа нн (АА*+воЧ) ', найдем А*(АА*+ваг1) '= (А*А+вог1) 'Аз.
(25) Поэтому 1г А' (АА'+ваЧ) -'А =(г (А* А+ваг1) -'А" А. Пусть Ль ..., Лз — собственные значения матрицы АРА. Если хр — собственный вектор, соответствующий Лр, т. е АА'хр=Хрхэь то Лр(хр, хр) = (хр, А"Ахр) = (Ахр, Ахр) ~0. На самом.деле собственные значения Ль 1=1, ...,)з строго положительны, поскольку матрица А*А невырождена. Пусть У вЂ” ортогональная матрица, такая, что, УР(А*А) У= 6(ац (Ль ..., Лз).
Тогда (поскольку для ортогональной матрицы УУз=У*У= =1) (г(А"А +ваз1)-з А*А = (г У'(А'А -(-ва'1) — з А"АУ = =(гУ'(А*А-)- ваг1) зУУ'А"АУ= з' ' ' 0 а з з(Л;+ ваг)з г=з Поэтому еа(в) % з Л; = — 2аг у ' (О в~~О. дв з-'И (Лс+ваг)з г 1 Отсюда следует; что й(в) строго монотонно убывает для в)0 и, в частности, так()г(в) (в>0)=)г(0) =~аз(г (АРА+ваЧ) гА"А! =з= (26) =юг(г (АРА) Следовательно, для е<)г(0) уравнение (18) Й(в) =е' однозначно разрешимо относительно 'в, и если в.— корень уравнения (18), то Р(в,) (22) удовлетворяет условиям (21) и является решением задачи (17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
