Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Речь идет о задаче отыскания' критического множества Рг=.й„„ для которого Цх,й,) а— при условии Ь(х,О,)бх и, где х= (хь...,х ), Ь(х, 8) =1(хь 8) ((хп 8)...1(х„, 8) — фуикпия правдоподобия. Выберем в лемме 10(х) =Ь(х, 81), ~~(х) =Ь(х,Оо) и определим область Р условием Р =(хтйп 1о(х) > йД (х)), . (16) где й, находится из уравнения ) ~,(х)(Ьт = а. (1?) о Если существует йь удовлетворяющее- уравнению (16), то для любого критического множества Р уровня а, т.
е. такого, что ~6~(х)бх =а, согласно лемме о ) ~, (х) йх )~ ~ ~,(х) дх. ' о Это-и означает, что критерий, отвечающий Р (16), наиболее мощный среди всех критериев уровня сь Сформулируем полученный результат. Теорема 2. В задаче проверки гипотезы Н=(Оо) при альтернативе К=(ОД критическая область Р=( Н Цх 8) йЦх 8)) определяет наиболее мощный . критерий уровня а, если й~ удовлетворяет:условию ~ Е (х, Оо) Их = а. В Вернемся еще раз к задаче проверки.
гипотезы о параметре и нормального распределения Х(п, Ф) при известной дисперсии о'. Пусть Н=(пр), К=(и1), и1>ро. Согласно тео- 239 реме 2 критическую область 11, отвечающую наиболее мощнему критерию, можно искать в виде 0=(хонго, Е(х, р!)ъИЕ(х, ро)), . (18) где функция правдоподобия Л(х, р) имеет вид (11). Семейство областей (18) можно задать иначе, воспользовавшись явным видом функции правдоподобия, л л 1) = ~ х аи й„Я (х; — р)' < ~», (х; =. р,)' + С) = »=! ,!=! (19) л И 1 %ч = ~х я )!„, (р, — ро)~~» х! ~ с,~ = ~хиЯ„, =- у (х! — ро) ~ )с,~.
! ! /=1 240 Постоянную со в (19) следует определить из уравнения л а = ~С(х,ро)»1х =Р ~=~~1 К,— р,) 3всо~. (20) и ! В (19) и (ЯО) использовано условие р! — ро>0, а также тот а 1 факт, что статистика = ~ ($» — р,) имеет распределеог !! »=! ние Л»(0, 1), если ($», ...,С„) выборка из распределения Ф(ро, о'). Поскольку уравнение (20) разрешимо относительно со при любом пан[0, 1), то равенство (19) при см удовлетворяющем (20), определяет критическую область, отвечающую наиболее 'мощному критерию уровня а, О~а<1. В данном случае характерно, что критическая область не зависит от альтернативы р! и, следовательно, определяет наиболее мощный критерий при любом р»>'ро.
Поэтому найденный ранее локально наиболее мощный критерий (14) в задаче проверки гипотезы Н=(ро) при альтернативе К= =(оо>р>ро) на самом деле является равномерно наиболее мощным. Зо. доверительные множества и задачи проверки гипотез Напомним, что 100 уо»о-ным доверительным множеством для параметра 8 распределения Р(х, О), или, иначе, доверительным множеством уровня у, называется случайное подмножество А(Ц выборочного пространства Я», такое, что Р(ОенА Я) ~8)=у, где с=($!,...,$„) выборка из распределения Г(х, О). Можно сказать, что случайное множество А($) покрывает истинную параметрическую точку О с вероятностью у.
Семейство множеств А(х), х~й„, зависит от вида рас- пределения Р(х, 0), уровня у и называе я семейством до- верительных множеств уровня Т. Связь между задачей построения доверительных мно- жеств и задачей проверки статистических гвротез устанав- ливает Теорема 3. Рассмотрим для каждого Оа~й какой-либо. критерий уровня а для проверки гипотезы Н=(Оц) Обозна- чим через 5(Оа) =К ~~0 область выборочного пространства Р„принятия гипотезы Н ()) — критическое множество).
Для каждого х~К определим множество А(х) в пространстве- параметров 6, полагая А(х) =(Озим, хяЯ(0)). Тогда А(х), хенЯ„, семейство доверительных множеств длм уровня 1 — а, т. е. Р(ОеиА(4) ~8)=1 — а.- Если Б(Оо) определяет равномерно наиболее мощный критерий уровня а для проверки гипотезы Н=(0,) при аль- тернативе К(Оз), то А(х) минимизирует вероятность Р(0'яА ($) ).8) для всех ОеиК(0') в классе всех доверительных множеств уровня.
1 — рь Доказательство. По определению множества А(х) ".: ОяА(х) тогда и только тогда, когда хаим(8). Следователь- но, Р(ОепАЯ) ~8)=Р($М(0) ~0)=1 — а, Ос=9. Это равенство описывает 'структуру доверительных мно-- жеств А(х): А(х) есть совокупность тех значений О, для ко- торых принимается гипотеза Н=(0), когда' наблюдается 4= =хИ . Пусть А(х) — любое семейство доверительных множеств уровня 1 — а и Я'(8) =(хМ„, ОеиХ(х)).
Тогда по определению РфепЯ(8) ~8) Р(ОяХф)0)=1 — а, так что о(Оз) является областью Н„принятия гипотезы Н= =(Оо) уровня а. Так как о(Оо) — область принятия гипотезы соответствующая равномерно наиболее мощному критерию„ то при любом О~К(Оз) Р(Вяжи(Оз) ~ 0)> Р($Ы(8з) ~ 8) и, следовательно Р(О~яХ($) ЯьР(ОзенАЯ ~0).4 В качестве яр~той иллюстрации рассмотрим задачу проверки гипотезы линейной модели измерений (18.3). Будем считать, что дн ереня измерений ог известна, но неизвестны векторы аь 1= ',,й.
Рассмотрим гипотезу Н о том, что аг= =аь 1 — — 1... при альтернативе К: агФаг хотя бМ для одного 1=1,...,й. Если гипотеза, Н верна, то согласно (18.17) Д вЂ” П; Цг = паХ, г, где П.е — оператор ортогонального г о о проектирования на линейную оболочку векторов ап...,аг. Поэтому для заданного у, 0<Т<1, пользуясь таблицей распре. деления Х' м можно построить доверительный интервал (вь аг) уровня Т: Р(Х' ~~(е,е,)) =у. Соответственно критическое множество В~Я„в задаче проверки гипотезы Н прн альтернативе К можно выбрать следующим образом: д = ~хее )г„, ' "~ Я )с ~~(аг,ег)~. Прн этом вероятность ошибочно отвергнуть гипотезу Н равна 0 Р~ДенО~а,=аь 1=1, ..., й)=1 — у. Как известно, з~ н ег не определяются однозначно по заданному у.
Поэтому для определения еь ег можно привлечь результаты пункта 1' о локально наиболее мощных крите. риях. $2Е ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ Рассмотрим простейшую ситуацию, в которой возникает -задача принятия решения. Будем считать известными возможные гсостояння природы» Оса, например Оь Оь ...,Ом н возможные «действия» Ы~11, например, йь ..., г(л, которые связаны с состояниями природы таким образом, что действие А, выполненное прн 'состоянии природы Оь влечет' потери 1(Оь 4). Будем считать, что потери, сопутствующие каждой комбинации Оь Щ, известны, нлн, иначе говоря, известен риск 1(0, Ы), Ояй, йн1). Разумеется, множества-6 и 0 не обязательно конечны. Если известно состояние природы О, то вопрос о действии д естественно решается следующим образом: в каждом состоянии природы 0~6 следует выполнять то нлн те действия, при которых риск 1(О, л) минимален.
В данном случае стратегня действия состоит в наблюдении за состояниями природы н принятии определенного решения о действии И=А, если минимум 1(0, л) как функции й~11 достигается на одном действии 4. Еслн минимум 1(0, И), соответствующий состоянию природы' О, достнгается на нескольких г7ен11, скажем, на А,, ..., 4ы, то можно предпринять любое нз 242 них. Но можно также воспользоваться чайным экспериментом с ш исходами с!, аь...,!х, которы отвечают вероятности р!, рь ...,р .
В этом случае в состоянии природы 0„ прежде чем принять решение о действии, можно разыграть случайный эксперимент и принять решение о действии !(!р, если исходом эксперимента окажется аг. Такая стратегия называется рандомизированной, в отличие от предыдущик„ которые называются чистыми. В, случае рандомизированной. стратегии риск 1(0, И) при фиксированном О является слу-. чайной величиной, причем М((0, !!) =1(0, А) , На самом деле, конечно, состояние природы в момент принятия решения, как правило, неизвестно. Если, однако,. о состоянии природы неизвестно ничего, то нет и задачи принятия решения: можно принимать любое решение, так как в терминах риска невозможно привести аргументов в.
пользу какого-либо одного из них. Поэтому будем считать,. что возможны наблюдения над природой х~Х, например,-с возможными значениями х!,...,х„. Наблюдения должны содержать некоторую информацию о состоянии природы.' Будем считать, чтО эта информация задается условным распределением р(х~О) наблюдений АХ для каждого Ояй. Теперь решение о действии может приниматься 'на основе результата наблюдения над природой. Определим стратегию з как отображение множества наблюдений Х на множество действий О. Если з(х) =И, (1) то стратегия г при наблюдении х предписывает действие- А При этом с каждой, стратегией з связано разбиение (которое мы также обозначим з) множества наблюдений Х на.
подмножества: Х= Р!+ ... +1Ь, где 1У!=(хенХ, з(х) =Ы!), 1= 1„...,Ф. (2) Каждая стратегия действия сопряжена с риском, и, естественно, лучшей является та стратегия, которой соответствует меньший риск. Вопрос сводится к выбору лучшей стратегии.
1'. Средний риск. Рандомизация решения Пусть з — некоторая стратегия.. Тогда распределение. р(х~ О) можно пересчитать в распределение р,(40) и вычислить средние потери, которые влечет применение стратегии з в состоянии природы О!~Вч! л 1.! (з)'= ~ 1(0, !(г) р, Щ ! 0,), 1 = 1,..., й. (3). ! ! 243 Поскольку та или,нная стратегия интересует нас лишь с точки зрения сопутствующих потерь, то исчерпывающей характеристикой з является точка с координатами Ь»(з),..., .1ь(з). На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
