Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если е~)з(0), то условия (21) удовлетворяются при зр=О и )г=)г(0) =А*(АА') '„ (27) что совпадает с (16). Для е=О согласно (21) Я=О. Для доказательства равенства (19) найдем, воспользовавшись (22), д(в) =(г(1((в) А — 1) (й(в) А — 1) *= = вгаз(г (А РА+ваЧ) — г (28) 226 н далее — = 2оФ (г (А'А + оюо 1)-о — 2оРоо 1г (А'А + охго 1)-о. Ыа Отсюда и из (23) следует (19).
А Как видно из равенств (27) и (15) прн еъЬ(0) решения задач (17) и (13) совпадают, причем в этом случае задача редукции имеет решение Я.5=Я(0) $ вида (4) и ему сопутствует шум Я(0)т максимальной интенсивности М)Я(0) тзо =по(г (А'А)-'. Прн этом синтезированный прибор Я(0)А точно совпадает с идеальным 1. Если а(Ь(0), то согласно теореме при ограничении МЯтМе на уровень шума в -(4) редукция к идеальному прибору невозможна, а ближайший к идеальному прибор, редукция к которому возможна, удовлетворяет ограничению М1Я.т1о=а на шум и задается матрнцей ЯаА=Ао(ААог(-а о'1) 'А=1 — ввоз(АоА+ььогго1)-1, где в.— корень уравнения (18). Невязка, характеризующая отличие Я.А от 1, определяется равенством (28): , д(го,) = в.ооо(г (Ао А+гооо1) '.
Рассмотрим отношение [Ь(е,) — Ь(0)]/Д((со,) — й(0)), я(0) =О, (29) показывающее, насколько эффективно подавляется шум Ь с ростом 'уклонения д. При в.-о.+О отношение (29) можно представить в виде отношения дробей: а (эо) а (0) к (мо) — я (0) Первая дробь стремится к Ь'(в)! о= — 2о4(г (АоА)-', вторая — к +О. Следовательно, при о4-~+О отношение (29) стремйтся к — оо. Впрочем, этот факт следует из закона сохранения (19) при в- О, если учесть, что производные Ь'(ы) н я'(в) непрерывны в нуле.
Как было отмечено, при в — ~0 решение задачи редукции (17) сходится к решению задачи редукцин (13). Поскольку при этом отношение (29) стремится к — оо, то в задаче (17) ценой небольшого уклонения прибора Я.А от идеального 1 можно получить значительное подавление шума. . Связь между невязкой д и уровнем шума Ь п(а) =и, Ь(е) =Ь, аъО, (30) называется оперативной характеристикой задачи редукции (17) н может служить «паспортом» комплекса оприбор+ 227 +ЭВМ» в задаче редукции к идеальному прибору. Оператнвную характеристику можно также задать зависимостью д=д(Ь), 0(Ь~Ь(0), а(0) =1г1, (31) исключив нз (30) вт. Оперативная характеристика фнкснрует следующее важное свойство комплекса «прнбор+ЭВМ». Для заданного уровня шума Ь=в~Ь(0) может быть ~ 1г~ синтезирован единственный блнжайшнй к идеальному прибор Я,А, прячем [1г()т,А — !) Я,А — !)*]'/а=два(Ь) Для всякого другого прибора тгА, для которого [1г(ЯА — 1)(тгА †' 1) "]'" ( Ь ~я'п(Ь): М'аРи'аа:.»Ь=е.
2'. Задача редукции к заданному прибору. Понятие об общей задаче Рис. 2. ОпеРативная характеристика В задаче редукции сигнала $ к ви- ду, какой он имел бы на выходе заданного прибора У, рассматривается линейное преобразованне.равенства (3) (т в= Ба+ (йА — О) п+йт. (32) Если )тА= У, то сигнал тт$ в (32) можно интерпретировать как искаженный шумом )тт выходной сигнал прибора У, на вход которого подан сигнал а. Однако, как н в задаче редукцнн к идеальному прибору, определять матрицу тт нз условня ЛА= У нецелесообразно по той причине, что, допуская небольшой ложный сигнал ()~А — У)а, мы получаем возможность значительно снизить уровень шума Ят.
Поскольку для каждой матрицы тт эффект ошибки ттт известен н определяется «энергней» М(Ят~Р, а эффект ошнбкн (ттА — У)а проявляется как ложный сигнал, неизвестный, как н сигнал а, то естественная постановка задачи редукции в данном случае сводится к минимизации ложного сигнала прн заданном ограничении на уровень шума МйЯт~Р~и. Поскольку сигнал с априори совершенно произволен, в данном случае следует минимизировать невязку [1г (ттА — У) ()тА— — и) *) 1л. Итак, рассмотрим задачу на минимум ш|п([1г(ЯА — У) ()тА — У)*]'~т(МзЯтП'~е)=р,.
(ЗЗ) Если )т, — ее решение, то сигнал ЙД можно ннтерпретнровать как искаженный шумом тт',т, М~~Р,»~Р~е, выходной сигнал прибора )т,А, с точностью до р. совпадающего с заданным прибором У, Решение задачи (33) вполне аналогично решению задачи редукции к идеальному прибору (17). 228 Теорема 2. Решение задачи редукции (ЗЗ) (У~О) имеет вид О,а=О, Я(е) = УА'(АА'+ моаl)-', в ='в„ О ( е < оз (г У (А' А) — ' У', У(А' А)-' А', е ~ пз (г У (А А)- ' У', где в. — единственный. корень уравнения наг УА*(АА'*+гзо'1) 'АУ*= а.
При ыъО имеет место закон сохранения пзга — М~Я(а)т(з+ — (гЯ(га)А — У) (Я(в)А — У)'=О. дв йа Доказательство может быть получено по схеме доказательства теоремы 1. На практике часто требуется редукция не к заданному прибору, а к любому прибору, удовлетворяющему некоторым требованиям к его параметрам. Так, например, в задаче редукции данных $, полученных на микроскопе, к виду, какой они имели бы на приборе с более высоким разрешением, исследователю, как правило, важно контролировать лишь те параметры прибора, которые в конечном счете определят разрешение.
При атом прочие параметры синтезируемого прибора могут меняться в достаточно широких пределах. Такой подход означает, что в задаче редукции следует фиксировать не прибор, а класс прйборов, некоторые параметры которых подчинены заданным ограничениям. Пусть % †так класс приборов. Тогда задача редукции может быть поставлена как задача на минимум пип(((г ()гА — У) (ЯА — У)']'Р(МЯт!Р<е, Узна)=р..
(34) Если )г„ У. — решение задачи (34), то сигнал К.К = К.Аи+й.т = Уих+ (1(.А — У,) а+ Р;ч следует интерпретировать как искаженный шумом )г'.т„ МИ.т!Р~е, выходной сигнал прибора 11,А, с точностью до р. совпадающего с прибором У,~Я (гарантированного качества). В задаче (34), которую будем называть общей задачей редукции, отыскивается как преобразование Й., подчиненное ограничению на уровень шума МИ.тР(е, так н прибор У. из класса Ф приборов с достаточно высоким качеством, причем фактически синтезированный прибор 11,А будет ближайшим к У..
Линейные приборы, используемые в физических исследованиях, часто представляются интегральными преобразова- 229 ннямн вида ь ~(х) = ~А(х — у) а(у)сгу,хея [а,Я; Р здесь А(г), ген[а — Ь, Ь вЂ” а[, так называемая импульсная переходная функция прибора, а(у), у~[а, Ь), входной н [(х), хан[а, Ь), выходной сигналы. Пусть А(х) — непрерывная функция н на вход прибора поступает сигнал а(у)= .Рис. 3.
а — импульсная переходная Функция, б— входной сигнаа, в — выходной ~згнал =6(у — уо), где 6(у) — 6-функцня Днрака. Тогда для уюея ь ~[а, Ь) [(х) = ~ А (х — у) 6 (у — уо) Ну = А (х — уо) в отклик прибора на импульс в точке уо. Еслн на вход поступает сумма-двух импульсов 6(у — уо)+6(у — У1), то отклик прибора будет равен сумме А(х — уо)+А(х — У|). Уо, У~ец ен[а, Ь).
230 На рис. 3, а, 6, в'представлены отклики на сумму импульсов приборов с «узкой» и «широкой» импульсными переходными'функциями. В первом случае говорят, что прибор «разрешает» импульсы, во втором — нет. При этом качество прибора для импульсных входных сигналов можно грубо охарактеризовать «шириной» импульсной переходной функции.
Чем «шире» переходная функция, тем .хуже прибор. Не вдаваясь в подробности, характеризующие связь модели (35) и ее конечномерного аналога, рассмотрим модельную задачу повышения разрешения. Зададим класс %=%, приборов квадратными матрицами размера ЙХЬ, подчиненными условиям: ам=О, если ~1 — 1~>з, аи=Ьн д, если ~1 — )(~з, где Ьо=1, Ьь 1=1,...,з, произвольны, 2з+1<Й, 1, 1=1, ..., й. Будем считать, что число зъ О определяет границу разрешающей способности приборов из класса %.. Зададим з так, чтобы разрешение приборов класса %. было выше, чем у прибора А. Тогда задачу повышения разрешения можно поставить как следующую общую задачу 'редукции: ппп(1г ()гА — У) (КА — У)'~М(птт$'ма, УыЯ,). (36) Если )т..., У.,— решение задачи (36), то зависимости л(е, з) = 1г(К,ЗА — 'У,л)(Н.ИА — У,,)', й (а, з) = М ) )г,, т )», а )~ О, з )',О, определяют оперативную характеристику, связывающую уровень шума И, разрешение з и невязку д.
Если в задаче (36) з выбрано как минимальное число,' при котором Асей„то ее можно рассматривать как задачу шумоподавления без ухудшения разрешения. Для этого сле- ' дует выбрать з меньшим, чем уровень шума в исходных данных а(МЬ!Р. С решениями некоторых общих задач редукции можно ознакомиться в [8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
