М.И. Афанасов и др. - Основы радиохимии и радиоэкологии (Практикум) (2016) (1133852), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Экспериментальную кривую можно проводить в любыхместах доверительных интервалов.При построении доверительных интервалов для небольшой выборки используютраспределение Стьюдента или t-распределение, которое имеет нормированная случайная величинаtx  x sxs/ nформуле (1.16) sx  выборочное квадратическое отклонение(1.16) Всреднего, которое вn раз меньше квадратического отклонения отдельного измерения s:ns1( x  xi )2n( n  1 ) i 1n2где sx - выборочная дисперсия среднего арифметического.sx  sx2 (1.17),Значения t для задаваемой вероятности  и числа степеней свободы ƒ, связанного свыборочной дисперсией среднего арифметического sx2 , приведены в табл. П.2.

Используя значения t,f, можно определить доверительный интервал для генеральногосреднего  при вероятности :ss   x  t , f(1.18),nnгде s- выборочное квадратическое отклонение измеряемой величины, рассчитанное для совокупности из n результатов; (n-1)=ƒ.x  t , fСоотношение (1.18) используют для интервальной оценки  в тех случаях, когдазначение генеральной дисперсии 2 не известно.

Доверительной погрешностью илипогрешностью среднего при доверительной вероятности  называется величина:  ,t  t , f sn(1.19)Среднее х из n случайных величин само по себе является случайной величиной ираспределение х , в общем случае, может подчиняться различным законам. Показано,что значения х для нескольких выборочных совокупностей, которые содержат n результатов, являющихся составными частями одной нормальной совокупности с параметрами  и 2, также подчиняется нормальному распределению с тем же значениемгенерального среднего  и генеральной дисперсией 2х , равной(1.20)2х  2 / nВведем вместо случайной величины х нормированную случайную величину z, которая распределена по нормальному закону с параметрами =0 и 2z  1 :x x z(1.21)x/ n10В этом случае вероятность  того, что случайная величина z попадет в интервал с доверительными границами (-u, +u) определяется выражениемP( u x  u  )  / n(1.22)Значения u для вероятности  приведены в табл.

1.2.1. Отметим, что t-распределениепри n превращается в нормальное, а значения t в табл. П.2 равны значениям u.u = t10,6831,2810,81,50,8661,6450,91,9600,9520,9552,5760,99Таблица 1.2.133,2910,997 0,999Соотношение (1.22) позволяет определить границы доверительного интервала длягенерального среднего при вероятности , если известно значение генеральной дисперсии 2:x  u   x  unn(1.23)Доверительная погрешность в данном случае определяется как:  ,u  un(1.24)Таким образом, результат измерений среднего следует записывать, указывая при этомвероятность , в виде:х    ,uх    ,t или(1.25)Относительная доверительная погрешность () среднего арифметического равна: (1.26)хСтатистический критерий пуассоновского характера распределения числазарегистрированных импульсовРассеяние результатов измерения радиоактивности, в общем случае, может бытьобусловлено не только статистическим характером распада и колебаний фона, но идругими случайными факторами (аппаратурные помехи, погрешности процедуры измерений и т.п.).

Поэтому по завершению серии опытов проверяют соответствие распределения результатов измерения числа импульсов (скорости счета) закону Пуассона. Для оценки степени близости наблюдаемого распределения к пуассоновскому(теоретическому) распределению рассчитывают 2–критерий:ns2 2p  ( n  1 ) 2 N п( N ) ( Ni  N )2i 1Nnилиs2 2p  ( n  1 ) 2 I п( I )( Ii 1i I )2I /t(1.27)Выборочная дисперсия s2 учитывает все источники случайных погрешностей прирегистрации импульсов, а дисперсия  2 – только статистику радиоактивного распада.Различие между наблюдаемым и теоретическим распределениями считается несущественным, если экспериментальная величина 2эксп. не превышает табличного значения 20,05 для заданного уровня значимости (p=0,05) и данного числа степеней свободы ƒ (табл. П.3).

В этом случае для оценки генерального среднего используют доверительный интервал вида (1.23). Например, доверительную погрешность среднего11( N ) из n измерений числа импульсов (Ni), обусловленную статистическим характе-ром распада и(или) колебаний фона, рассчитывают на основании (1.24):  ( N )  uп( N )n uNn(1.28)В этом случае, т.е. в отсутствие аппаратурных помех, доверительную погрешностьотдельного измерения Ni можно определить как: ( Ni )   ( N )  u п( N )  1,96 Ni(1.29),где для доверительной вероятности =0,95 постоянная u=1,96 (табл. 1.2.1).Если 2эксп. > 20,05 , то расхождение между указанными распределениями признается значимым.

В этом случае генеральное среднее оценивают на основании величиныs, вычисленной по (1.10), и доверительную погрешность среднего (Ī или N ) находят всоответствии с (1.19).С помощью 2 – критерия можно также проверить стабильность (надежность) работы регистрирующего прибора (см.

раздел 1.3).Погрешность косвенного измерения. Закон накопления погрешностейВ экспериментальной практике подлежащая определению величина Y во многихслучаях не измеряется непосредственно, а рассчитывается по результатам прямогоизмерения нескольких параметров, от которых она зависит. Погрешность такого косвенного «измерения» можно вычислить с помощью закона накопления погрешностей.Если определяемая величина Y=(x1,x2,x3,…,xk) представляет собой функцию «k» переменных и известны выборочные дисперсии результатов непосредственных измерений sx2 ,sx2 ,sx2 ,...,sx2 , то дисперсия Y равна:123k2222 Y  2 Y  2  Y  2  Y  2s  sх3  ...   sxk sх1   sх2   х1  х2  х3  хk 2Y(1.30)В это соотношение вместо выборочных дисперсий можно подставить генеральныедисперсии 2x или квадраты доверительных погрешностей  2( x ) (см. (1.19, 1.24)).Применение (1.30) для двух важных частных случаев дает следующие результаты:iiФункцияДоверительная погрешностьx xY 1 2x3  2x1  2x2  2x3Y  x1  x2  x3Y2   2x1   2x2   2x32YПримером косвенных «измерений» является определение скорости счета препарата (Iпр=IcIФ), которая рассчитывается по результатам измерений двух величин: суммарной скорости счета препарата вместе с фоном (Ic) и скорости счета фона (Iф).

Всоответствии с (1.30) доверительная погрешность определения Iпр равна: ( Iс  Iф )    2 ( Ic )   2( Iф )(1.31)Погрешности отдельного (единственного) измерения Ic и IФ можно вычислить,предполагая отсутствие иных источников рассеяния результатов, кроме статистического характера распада и колебания фона, по уравнениям (1.29) и (1.13). В этом случае относительная погрешность скорости счета Iпр для доверительной вероятности определяется уравнением вида:12  ( I пр )    ( Iс  Iф )   ( Ic  Iф )Ic  Iф u I1I c  tффI c  I ф tc(1.32)Если проводится nc параллельных измерений одного препарата и nф измеренийфона, то доверительные погрешности для средних значений Īс и Īф рассчитывают, взависимости от значения 2 – критерия, согласно (1.19) или (1.24).

В этом случае  ( Ic  Iф )   t2 , fcsI2cnct2 , fфsI2фnф  ( I с  I ф )  u илиIcI nффtфnc tc(1.33)Регистрация радиоактивности имеет свои особенности. Одной из них является выбор оптимального соотношения между временем измерения скорости счета препарата с фоном tc и временем измерения фона tф, которое, при фиксированной общейпродолжительности измерения t, обеспечивает минимальное значение погрешностиопределения Iпр.Комбинируя (1.30) и (1.13), можно получить выражение для абсолютной квадратической флуктуации скорости счета препарата за вычетом фона:п( Iс  Iф )  2п( Ic )   2п( Iф ) I c Iфt c tф(1.34)После дифференцирования уравнения (1.34), используя условия минимума погрешности dп(I)=0 и постоянства t (t= tс+tФ = const), можно найти искомое соотношение:tсtфIсIф(1.35)Соотношения (1.35) и (1.32), позволяют рассчитать время отдельного измерения препарата с фоном (tc,min) и фона (tФ,min), необходимое для того, чтобы погрешность скорости счета препарата Iпр не превышала заданной величины  ( I ) .прtc ,min  u2Ic  Ic Iф2 ( I пр )и( Ic  Iф )2tф,min  u2Iф  Ic Iф2 ( I пр ) ( I c  I ф )2(1.36)Если предполагается провести n параллельных измерений одного препарата или фона, то время каждого из этих измерений, соответствующее заданному значению  ( I ) ,прдолжно быть в n раз меньше, чем рассчитанное по (1.36).Фон счетчиков Гейгера-Мюллера равен нескольким десяткам имп/мин и обычно вомного раз меньше скорости счета препарата с фоном.

Поэтому в большинстве случаев, согласно (1.32), погрешность (Iпр) будет меньше 10% даже при одном измеренииIс и Iф продолжительностью по 12 мин. Оптимизация измерений необходима, еслиосновной целью эксперимента является прямое определение Iпр, а скорость счета Iссопоставима со скоростью счета фона. Заметного снижения погрешности прямых радиометрических измерений следует добиваться также в тех случаях, когда эти погрешности вносят существенный вклад в погрешность результата косвенного определения величины Y (см. (1.30)). Напротив, если предварительный расчет показал, чтопогрешность непосредственного измерения I окажется заведомо меньше известной(или задаваемой) погрешности одного из параметров Y, можно ограничиться проведением нескольких измерений скорости счета препарата продолжительностью по 1мин (см. работу 2).131.3.

Установка со счетчиком Гейгера-МюллераЦель работыПриобрести навыки измерения скорости счета препаратов с помощью радиометрической установки;проверить стабильность работы регистрирующей аппаратуры;определить разрешающее время установки.Оборудование и препаратыРадиометрическая установка со счетчиком Гейгера-Мюллера типа СТС.Набор препаратов 90Sr(90Y) с известной абсолютной активностью и регистрируемойскоростью счета от 5 до 500 имп/с.Выполнение работы1. Измерение фонаОпределение скорости счета фона проводят в тех же условиях, что и измерения радиоактивности препарата, т.е.

Характеристики

Список файлов книги