М.И. Афанасов и др. - Основы радиохимии и радиоэкологии (Практикум) (2012) (1133850), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Вероятность P(N) того, что за данный промежуток времени будет зарегистрировано N импульсов, если их среднее число равноN , определяется выражением:NNP( N ) exp(  N )N!(1.11)Практически уже при N 10 распределение Пуассона аппроксимируется нормальнымраспределением(), оба параметра которого равны N .Таким образом, дисперсия пуассоновского распределения числа импульсов равна(1.12)2п( N )  NСоответствующее абсолютное среднее квадратическое отклонение п(N) называюттакже абсолютной квадратической флуктуацией, чтобы подчеркнуть, что это отклонение обусловлено статистикой (флуктуацией) радиоактивного распада.Распределение Пуассона позволяет определить абсолютную квадратическую флуктуацию отдельного измерения числа импульсов Ni, зарегистрированных за время t,или скорости счета Ii:п( N )  N  Niп( I ) иNtItIit(1.13)Доверительный интервал и доверительная погрешность среднегоПри обработке результатов эксперимента исследователю важно ответить на вопрос,насколько близки полученные данные к истинному значению измеряемой величины.Среднее арифметическое х и выборочная дисперсия s2 являются лишь точечнымиоценками генеральных параметрови2  s2(1.14)хВ пределе, при n  , среднее х стремится к генеральному среднему, а выборочнаядисперсия - к дисперсии генеральной совокупности 2.Однако приближенные равенства (1.14) не дают представления о надежности иточности оценки.

Например, для скорости счета I, в отсутствие иных источников рассеяния, кроме статистического характера распада можно записать: sI  п( I ) (1.15).При этом значение sI в некоторых экспериментах может случайно оказаться меньшеп(I), хотя именно величина п(I) характеризует минимально возможное, при заданныхусловиях измерения, среднее квадратическое отклонение скорости счета. Поэтомупри обработке результатов рассчитываются границы доверительного интервала,внутри которого с заранее заданной доверительной вероятностью  может находиться истинное значение параметра.

Одновременно устанавливается уровень значимостиРаспределение Пуассона, в отличие от нормального, дискретно: N - целое положительноечисло.9p  вероятность появления отклонений, лежащих вне доверительных границ: p=1-.Ширина этого интервала определяет точность результата измерений, а доверительнаявероятность характеризует надежность оценки. Доверительные интервалы обычновычисляют для 95%-ной вероятности (=0,95; p=0,05).Доверительный интервал нужен как для корректного представления экспериментальных данных, так и для построения графиков, особенно при отсутствии теоретического описания данных.

Экспериментальную кривую можно проводить в любыхместах доверительных интервалов.При построении доверительных интервалов для небольшой выборки используютраспределение Стьюдента или t-распределение, которое имеет нормированная случайная величинаtx  x sxs/ n(1.16)В формуле (1.16) sx  выборочное квадратическое отклонение среднего, которое вn раз меньше квадратического отклонения отдельного измерения s:ns1( x  xi )2n( n  1 ) i 1n2где s x - выборочная дисперсия среднего арифметического.sx  sx2 (1.17),Значения t для задаваемой вероятности  и числа степеней свободы ƒ, связанного свыборочной дисперсией среднего арифметического sx2 , приведены в табл.

П.2. Используя значения t,f, можно определить доверительный интервал для генеральногосреднего  при вероятности :ss(1.18),   x  t , fnnгде s- выборочное квадратическое отклонение измеряемой величины, рассчитанное для совокупности из n результатов; (n-1)=ƒ.x  t , fСоотношение (1.18) используют для интервальной оценки  в тех случаях, когдазначение генеральной дисперсии 2 не известно. Доверительной погрешностью илипогрешностью среднего при доверительной вероятности  называется величина:  ,t  t , f sn(1.19)Среднее х из n случайных величин само по себе является случайной величиной ираспределение х , в общем случае, может подчиняться различным законам. Показано,что значения х для нескольких выборочных совокупностей, которые содержат n результатов, являющихся составными частями одной нормальной совокупности с параметрами  и 2, также подчиняется нормальному распределению с тем же значениемгенерального среднего  и генеральной дисперсией  2х , равной(1.20)2х  2 / nВведем вместо случайной величины х нормированную случайную величину z, которая распределена по нормальному закону с параметрами =0 и 2z  1 :x x (1.21)zx/ n10В этом случае вероятность  того, что случайная величина z попадет в интервал с доверительными границами (-u, +u) определяется выражениемP( u x  u )  / n(1.22)Значения u для вероятности  приведены в табл.

1.2.1. Отметим, что t-распределениепри n превращается в нормальное, а значения t в табл. П.2 равны значениям u.u = t10,6831,2810,81,50,8661,6450,91,9600,9520,9552,5760,99Таблица 1.2.133,2910,997 0,999Соотношение (1.22) позволяет определить границы доверительного интервала длягенерального среднего при вероятности , если известно значение генеральной дисперсии 2:x  u   x  unn(1.23)Доверительная погрешность в данном случае определяется как:  ,u  un(1.24)Таким образом, результат измерений среднего следует записывать, указывая при этомвероятность , в виде:х    ,t илих    ,u(1.25)Относительная доверительная погрешность () среднего арифметического равна: (1.26)хСтатистический критерий пуассоновского характера распределения числазарегистрированных импульсовРассеяние результатов измерения радиоактивности, в общем случае, может бытьобусловлено не только статистическим характером распада и колебаний фона, но идругими случайными факторами (аппаратурные помехи, погрешности процедуры измерений и т.п.).

Поэтому по завершению серии опытов проверяют соответствие распределения результатов измерения числа импульсов (скорости счета) закону Пуассона. Для оценки степени близости наблюдаемого распределения к пуассоновскому(теоретическому) распределению рассчитывают 2–критерий:ns22p  ( n  1 ) 2 N п( N ) ( Ni  N )2i 1Nnили( I i  I )22s2p  ( n  1 ) 2 I  i 1п( I )I /t(1.27)Выборочная дисперсия s2 учитывает все источники случайных погрешностей прирегистрации импульсов, а дисперсия  2 – только статистику радиоактивного распада.Различие между наблюдаемым и теоретическим распределениями считается несущественным, если экспериментальная величина 2эксп.

не превышает табличного значения 20,05 для заданного уровня значимости (p=0,05) и данного числа степеней свободы ƒ (табл. П.3). В этом случае для оценки генерального среднего используют доверительный интервал вида (1.23). Например, доверительную погрешность среднего11( N ) из n измерений числа импульсов (Ni), обусловленную статистическим характе-ром распада и(или) колебаний фона, рассчитывают на основании (1.24):  ( N )  u п( N )n u Nn(1.28)В этом случае, т.е. в отсутствие аппаратурных помех, доверительную погрешностьотдельного измерения Ni можно определить как: ( Ni )   ( N )  u п( N )  1,96 Ni(1.29),где для доверительной вероятности =0,95 постоянная u=1,96 (табл. 1.2.1).Если 2эксп.

> 20,05 , то расхождение между указанными распределениями признается значимым. В этом случае генеральное среднее оценивают на основании величиныs, вычисленной по (1.10), и доверительную погрешность среднего (Ī или N ) находят всоответствии с (1.19).С помощью 2 – критерия можно также проверить стабильность (надежность) работы регистрирующего прибора (см.

раздел 1.3).Погрешность косвенного измерения. Закон накопления погрешностейВ экспериментальной практике подлежащая определению величина Y во многихслучаях не измеряется непосредственно, а рассчитывается по результатам прямогоизмерения нескольких параметров, от которых она зависит. Погрешность такого косвенного «измерения» можно вычислить с помощью закона накопления погрешностей.Если определяемая величина Y=(x1,x2,x3,…,xk) представляет собой функцию «k» переменных и известны выборочные дисперсии результатов непосредственных измерений sx2 ,sx2 ,sx2 ,...,sx2 , то дисперсия Y равна:123k2222 Y  2 Y  2  Y  2  Y  2s  sх3  ...

  sxk sх1   sх2   х1  х2  х3  хk 2Y(1.30)В это соотношение вместо выборочных дисперсий можно подставить генеральныедисперсии  2x или квадраты доверительных погрешностей  2( x ) (см. (1.19, 1.24)).Применение (1.30) для двух важных частных случаев дает следующие результаты:iiФункцияДоверительная погрешностьx xY 1 2x3  2x1  2x2  2x3Y  x1  x2  x3Y2  2x1  2x2   2x32YПримером косвенных «измерений» является определение скорости счета препарата (Iпр=IcIФ), которая рассчитывается по результатам измерений двух величин: суммарной скорости счета препарата вместе с фоном (Ic) и скорости счета фона (Iф).

Характеристики

Список файлов книги