М.И. Афанасов и др. - Основы радиохимии и радиоэкологии (Практикум) (2008) (1133848), страница 3
Текст из файла (страница 3)
числонезависимых измерений минус число связей между ними (минус число определяемыхпараметров). В этих уравнениях ƒ = (n-1), так как на n независимых результатов прирасчете выборочного среднего накладывается только одна связь вида (1.8).sI =8Следует отметить, что дисперсия и квадратическое (стандартное) отклонение характеризуют воспроизводимость результатов измерений.Статистический характер радиоактивного распада.
Распределение ПуассонаРадиоактивный распад ядра – процесс, которому присущ вероятностный характер.Пусть время наблюдения t над достаточно большим числом ядер существенно меньше периода их полураспада. Тогда число распавшихся в единицу времени ядер и, приусловии стабильной работы приборов, число зарегистрированных импульсов N будутподчиняться распределению Пуассона. Вероятность P(N) того, что за данный промежуток времени будет зарегистрировано N импульсов, если их среднее число равноN , определяется выражением:NNP( N) =exp(− N )(1.11)N!Практически уже при N ≥10 распределение Пуассона аппроксимируется нормальнымраспределением(∗), оба параметра которого равны N .Таким образом, дисперсия пуассоновского распределения числа импульсов равнаσ п2 ( N ) = N(1.12)Соответствующее абсолютное среднее квадратическое отклонение σп(N) называюттакже абсолютной квадратической флуктуацией, чтобы подчеркнуть, что это отклонение обусловлено статистикой (флуктуацией) радиоактивного распада.Распределение Пуассона позволяет определить абсолютную квадратическую флуктуацию отдельного измерения числа импульсов Ni, зарегистрированных за время t,или скорости счета Ii:INIσ п( N ) = N ≅ N iиσ п( I) ==≅ i(1.13)tttДоверительный интервал и доверительная погрешность среднегоПри обработке результатов эксперимента исследователю важно ответить на вопрос,насколько близки полученные данные к истинному значению измеряемой величины.Среднее арифметическое х и выборочная дисперсия s2 являются лишь точечнымиоценками генеральных параметровμ≅хиσ2 ≅ s2(1.14)В пределе, при n → ∞, среднее х стремится к генеральному среднему, а выборочнаядисперсия - к дисперсии генеральной совокупности σ2.Однако приближенные равенства (1.14) не дают представления о надежности иточности оценки.
Например, для скорости счета I, в отсутствие иных источников рассеяния, кроме статистического характера распада можно записать: s I ≅ σ п( I) (1.15).При этом значение s I в некоторых экспериментах может случайно оказаться меньшеσп(I), хотя именно величина σп(I) характеризует минимально возможное, при заданныхусловиях измерения, среднее квадратическое отклонение скорости счета. Поэтомупри обработке результатов рассчитываются границы доверительного интервала,∗Распределение Пуассона, в отличие от нормального, дискретно: N - целое положительноечисло.9внутри которого с заранее заданной доверительной вероятностью γ может находиться истинное значение параметра. Одновременно устанавливается уровень значимостиp − вероятность появления отклонений, лежащих вне доверительных границ: p=1-γ.Ширина этого интервала определяет точность результата измерений, а доверительнаявероятность характеризует надежность оценки.
Доверительные интервалы обычновычисляют для 95%-ной вероятности (γ=0,95; p=0,05).Доверительный интервал нужен как для корректного представления экспериментальных данных, так и для построения графиков, особенно при отсутствии теоретического описания данных. Экспериментальную кривую можно проводить в любыхместах доверительных интервалов.При построении доверительных интервалов для небольшой выборки используютраспределение Стьюдента или t-распределение, которое имеет нормированная случайная величинаx −μ x −μt==(1.16)sxs/ nВ формуле (1.16) s x − выборочное квадратическое отклонение среднего, которое вn раз меньше квадратического отклонения отдельного измерения s:s x = s 2x =ns12=∑ (x − x i )n (n − 1) i =1n(1.17),где s 2x - выборочная дисперсия среднего арифметического.Значения t для задаваемой вероятности γ и числа степеней свободы ƒ, связанного свыборочной дисперсией среднего арифметического s 2x , приведены в табл.
П.2. Используя значения tγ,f, можно определить доверительный интервал для генеральногосреднего μ при вероятности γ:ssx − t γ,f< μ < x + t γ, f(1.18),nnгде s- выборочное квадратическое отклонение измеряемой величины, рассчитанное для совокупности из n результатов; (n-1)=ƒ.Соотношение (1.18) используют для интервальной оценки μ в тех случаях, когдазначение генеральной дисперсии σ2 не известно. Доверительной погрешностью илипогрешностью среднего при доверительной вероятности γ называется величина:sΔ γ, t = ± t γ, f ⋅(1.19)nСреднее х из n случайных величин само по себе является случайной величиной ираспределение х , в общем случае, может подчиняться различным законам.
Показано,что значения х для нескольких выборочных совокупностей, которые содержат n результатов, являющихся составными частями одной нормальной совокупности с параметрами μ и σ2, также подчиняется нормальному распределению с тем же значениемгенерального среднего μ и генеральной дисперсией σ 2х , равнойσ 2х = σ 2 / n(1.20)Введем вместо случайной величины х нормированную случайную величину z, кото-рая распределена по нормальному закону с параметрами μ=0 и σ 2z = 1 :10x −μ x −μ=(1.21)σxσ/ nВ этом случае вероятность γ того, что случайная величина z попадет в интервал с доверительными границами (-uγ, +uγ) определяется выражениемx −μP( − u γ << +u γ ) = γ(1.22)σ/ nЗначения uγ для вероятности γ приведены в табл.
1.2.1. Отметим, что t-распределениепри n→∞ превращается в нормальное, а значения t∞ в табл. П.2 равны значениям uγ.z=u γ = t∞γ10,6831,2810,81,50,8661,6450,91,9600,9520,9552,5760,99Таблица 1.2.133,2910,997 0,999Соотношение (1.22) позволяет определить границы доверительного интервала длягенерального среднего при вероятности γ, если известно значение генеральной дисперсии σ2:σσx − uγ< μ < x + uγ(1.23)nnДоверительная погрешность в данном случае определяется как:σΔ γ, u = ± u γ(1.24)nТаким образом, результат измерений среднего следует записывать, указывая при этомвероятность γ, в виде:х ± Δ γ , t илих ± Δ γ, u(1.25)Относительная доверительная погрешность (δγ) среднего арифметического равна:Δδγ = γ(1.26)хСтатистический критерий пуассоновского характера распределения числазарегистрированных импульсовРассеяние результатов измерения радиоактивности, в общем случае, может бытьобусловлено не только статистическим характером распада и колебаний фона, но идругими случайными факторами (аппаратурные помехи, погрешности процедуры измерений и т.п.).
Поэтому по завершению серии опытов проверяют соответствие распределения результатов измерения числа импульсов (скорости счета) закону Пуассона. Для оценки степени близости наблюдаемого распределения к пуассоновскому(теоретическому) распределению рассчитывают χ2–критерий:ns 2N2χ p = (n − 1) 2σ п( N )∑ ( N i − N)= i =1Nn2илиχ 2p = (n − 1)s 2Iσ п2 (I)2∑ (I i − I)= i =1I/t(1.27)Выборочная дисперсия s2 учитывает все источники случайных погрешностей прирегистрации импульсов, а дисперсия σ 2 – только статистику радиоактивного распада.Различие между наблюдаемым и теоретическим распределениями считается несущественным, если экспериментальная величина χ2эксп.
не превышает табличного зна11чения χ20,05 для заданного уровня значимости (p=0,05) и данного числа степеней свободы ƒ (табл. П.3). В этом случае для оценки генерального среднего используют доверительный интервал вида (1.23). Например, доверительную погрешность среднего( N ) из n измерений числа импульсов (Ni), обусловленную статистическим характером распада и(или) колебаний фона, рассчитывают на основании (1.24):σ п( N )NΔ γ ( N) = ± u γ= ±u γ(1.28)nnВ этом случае, т.е. в отсутствие аппаратурных помех, доверительную погрешностьотдельного измерения Ni можно определить как:Δ γ ( N i ) ≅ Δ γ ( N ) = ± u γ σ п( N ) ≅ ±1,96 N i(1.29),где для доверительной вероятности γ=0,95 постоянная uγ=1,96 (табл. 1.2.1).Если χ2эксп. > χ20,05 , то расхождение между указанными распределениями признается значимым. В этом случае генеральное среднее оценивают на основании величиныs, вычисленной по (1.10), и доверительную погрешность среднего (Ī или N ) находят всоответствии с (1.19).С помощью χ2 – критерия можно также проверить стабильность (надежность) работы регистрирующего прибора (см.
раздел 1.3).Погрешность косвенного измерения. Закон накопления погрешностейВ экспериментальной практике подлежащая определению величина Y во многихслучаях не измеряется непосредственно, а рассчитывается по результатам прямогоизмерения нескольких параметров, от которых она зависит. Погрешность такого косвенного «измерения» можно вычислить с помощью закона накопления погрешностей.Если определяемая величина Y=φ(x1,x2,x3,…,xk) представляет собой функцию «k» переменных и известны выборочные дисперсии результатов непосредственных измере-ний s 2x , s 2x , s 2x ,..., s 2x , то дисперсия Y равна:123k2⎛ ∂Y ⎞ 2 ⎛ ∂Y2⎟⎟ s х + ⎜⎜s Y = ⎜⎜1 ⎝ ∂х 2⎝ ∂х1 ⎠222⎛ ∂Y ⎞ 2⎞ 2⎛ ∂Y ⎞ 2⎟⎟ s + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
