Теоремы и идеи доказательства (2012) (1133236)
Текст из файла
Ñâîäêà òåîðåì ñ èäåÿìè äîêàçàòåëüñòâà ïî êóðñóÎñíîâû êèáåðíåòèêèÑîçäàí ïî ëåêöèÿì Ëîæêèíà Ñ.À. â 2012 ãîäóÍåîôèöèàëüíàÿ ñâîäêà òåîðåì, ñîñòàâëåííàÿ ñòóäåíòàìè ËÒÏ ÀÑÂÊ. Èñïîëüçóéòå íà ñâîéñòðàõ è ðèñê. Ëèöåíçèÿ CC-BY-NC.Àâòîðû:Êàãàíîâ Â. Þ.Êîðîë¼â À. Ê.è äðóãèåËåììà.Ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ ÔÀËf, f ∈ P2 (n),ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ÄÍÔ îò ÁÏêîòîðàÿ ðåàëèçóåò ýòó ÔÀË, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âî ìíîæåñòâåNfX(n),íåò ñîñåäíèõíàáîðîâ.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ó ýòîé ÔÀË íåò ãðàíåé ðàçìåðíîñòèáîëåå 0.Ñëåäñòâèå.Ñîâåðøåííûå ÄÍÔ ÔÀË ln , ¯ln ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè ÄÍÔ ýòèõ ÔÀË îòÁÏ X(n).Òåîðåìà.
Ïóñòü U 0U 00 ñîêðàùåííûå ÄÍÔ ÔÀË f 0 è f 00 ñîîòâåòñòâåííî, à íåïðèâîäèìàÿ000ÄÍÔ U ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû U ·U â ðåçóëüòàòå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ.000Òîãäà U ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ ÔÀË f = f · f .Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Äîêàæåì, ÷òî â U âõîäèò ëþáàÿ ïðîñòàÿ èìïëèêàíòà f . ∀K 000000000ïðîñòîé èìïëèêàíòû f : K èìïëèêàíòà f è f .  U , U åñòü K , K , êîòîðûå èìïëèöèðó000000þòñÿ K .  U âîéäåò èìïëèöèðóåìàÿ K · K ÝÊ K̄ . K èìïëèöèðóåò K · K , ñëåäîâàòåëüíî,è K̄ . K̄ îäíîâðåìåííî èìïëèêàíòà f è èìïëèöèðóåòñÿ K ⇒ K̄ = K .
Ñëåäñòâèå. Åñëè íåïðèâîäèìàÿ ÄÍÔ U ïîëó÷àåòñÿ èç ÊÍÔ B ÔÀË f â ðåçóëüòàòå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ, òî U ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ ÔÀË f .Òåîðåìà.èÍåïðèâîäèìàÿ ÄÍÔ ÿâëÿåòñÿ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîíà íå èìååò ñòðîãèõ ðàñøèðåíèé.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Äîêàæåì, ÷òî, åñëè ÄÍÔ íåïðèâîäèâàÿ è íå èìååò ñòðîãèõ ðàñ-f . Ðàññìîòðèì ÝÊ k ìàêñèìàëüíîãî ðàíãàU . Ïîñêîëüêó åå ðàíã ñòðîãî ìåíüøå ÷èñëà âñåõ áóêâ, íàéäåòñÿ xi , íå âõîäÿùàÿ â íåå. Ðàññìîòðèì000000ÝÊ âèäà xi · k (x̄i · k).
Îíè ñóòü èìïëèêàíòû íåêîòîðûõ xi · K (x̄i · K ); K , K ñîñòîÿò èç áóêâ0 00k . Ïî îáîáùåííîìó ñêëåèâàíèþ, îíà åùå è èìïëèêàíòà K K = K̃ , êîòîðàÿ ñàìà èìïëèêàíòàíåêîòîðîé ÝÊ èç ôîðìóëû. Ïðîòèâîðå÷èå, ò.ê. ïîëó÷èëîñü, ÷òî k èìëèêàíòà íåêîòîðîé ÝÊøèðåíèé, òî îíà ñîäåðæèò âñå ïðîñòûå èìïëèêàíòûf,èç ìíîæåñòâà òåõ èìïëèêàíòêîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ èìïëèêàíòàìè íè îäíîé ÝÊ èçèç ôîðìóëû.Ñëåäñòâèå.Èç ëþáîé ÄÍÔUÔÀËfìîæíî ïîëó÷èòü ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ ýòîé ÔÀËâ ðåçóëüòàòå ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòðîãèõ ðàñøèðåíèé è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ äîïîëó÷åíèÿ íåïðèâîäèìîé ÄÍÔ, íå èìåþùåé ñòðîãèõ ðàñøèðåíèé.Ëåììà.ÄÍÔ∩TÔÀËfñîñòîèò èç òåõ ïðîñòûõ èìïëèêàíò ÔÀËf,êîòîðûå ñîîòâåò-ñòâóþò ÿäðîâûì ãðàíÿì ýòîé ÔÀË.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü â òóïèêîâîé íåò èìïëèêàíòû, ñîîòâåòñòâóþùåé ÿäðîâîéãðàíè. Òîãäàf =0íà ÿäðîâîé òî÷êå (âåäü ïîëó÷èëàñü íåïîêðûòàÿ ÿäðîâàÿ òî÷êà).
Çíà÷èò,ïðîñòàÿ èìïëèêàíòà, ïîêðûâàþùàÿ ÿäðîâóþ òî÷êó, âõîäèò âî âñå òóïèêîâûå ÄÍÔ. Òåïåðü,ïóñòüK ïðîñòàÿ èìïëèêàíòàf,íå âõîäÿùàÿ â ÿäðî. Çíà÷èò, åñòü äðóãèå èìïëèêàíòû, êî-òîðûå ïîêðûâàþò åå åäèíèöû, íàéäåòñÿ òàêàÿ òóïèêîâàÿ ÄÍÔ, â êîòîðîéâûäåëèòü òóïèêîâîå ïîäïîêðûòèå, íå ñîäåðæàùååÒåîðåìà.ãðàíüNKÏðîñòàÿ èìïëèêàíòàβÔÀËfKíå áóäåò (ìîæíîâ ïåðåñå÷åíèè åå íå áóäåò.âõîäèò â ÄÍÔΣTòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàíå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ãðàíüþ ýòîé ÔÀË.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà.èç âñåõKK ),ïîêðîåò âñåα.∀ðåãóëÿðíîé òî÷êèαíàéäåòñÿ íåðåãóëÿðíàÿβ.Ñèñòåìà ãðàíåéÏðîòèâîðå÷èå ñ òóïèêîâîñòüþ.
Ïó÷îê íåðåãóëÿðíîé òî÷êèβ ∈ Nf \NkαñòðîãîNKj ,β , èç ÷åãî ñëåäóåò íåðàâåíñòâî ïó÷êîâ), ãäå k ãðàíü, ñîäåðæàùàÿ α. Çíà÷èò,Nk óäàëèòü íåëüçÿ. Óòâåðæäåíèå. Åñëè ÔÀË f ìîíîòîííî çàâèñèò îò ÁÏ xi , òî íè îäíà èç åå ïðîñòûõèìïëèêàíò íå ìîæåò ñîäåðæàòü áóêâó x̄i .Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü åñòü èìïëèêàíòà x̄i K . Òîãäà íà íàáîðå, êîòîðûé îáðàùàåòK â 1, è xi = 0, èìïëèêàíòà ðàâíà 1, à íà íàáîðå, ãäå xi = 1 (áîëüøåì, ÷åì ïðåäûäóùèé)ìåíüøå ïó÷êà ëþáîé òî÷êè(èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî íàøëàñü òàêàÿ ãðàíüêîòîðàÿ ïîêðûëàèìïëèêàíòà ðàâíà 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìîíîòîííîñòè.Ëåììà. Ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ Uìîíîòîííîé ÔÀËêîâîé ÄÍÔ ýòîé ÔÀË è èìååò âèäU(x1 , .
. . , xn ) =f,2 (n), ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé òóïèWf ∈ PKβ+ (x1 , . . . , xn ). Ïðè ýòîì âñå íàáîðûβ∈Nf++èç Nf ÿâëÿþòñÿ ÿäðîâûìè òî÷êàìè ÔÀË f .+Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Kβ (α) = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà α ≥ β . Ñëåäîâàòåëüíî,β åäèíñòâåííàÿ íèæíÿÿ åäèíèöà Kβ+ , Kβ+0 èìïëèöèðóåò Kβ+00 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà2β 0 ≥ β 00 . Ïîëó÷èì, ÷òî Kβ+È β ÿäðîâàÿ òî÷êà f .
ïðîñòàÿ èìïëèêàíòàfâ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäàÑëåäñòâèå. Ìîíîòîííàÿ ÔÀË ÿâëÿåòñÿ ÿäðîâîé ÔÀË.Ëåììà. Ôóíêöèÿ ïîêðûòèÿ F (y1 , . . . , yp ) ìàòðèöû M, M ∈ B p,s ,çàäàåòñÿ ÊÍÔ âèäà:sVF (y1 , . . . , yp ) =(j=1Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòüìí-âî ñòðîê ñ íîìåðàìè èçòîëüêî òîãäà, êîãäàÑëåäñòâèå.I(β)I(β)JjWyi ). òî, ÷òî â ñêîáêàõ.j ñòîëáåö ⇒ïîêðûòèå. Jj (β) = 1äëÿ ïðîèçâîëüíîãîβ⇔âñÿ ÊÍÔ îáðàùàåòñÿ â 1 òîãäà è ðåçóëüòàòå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ èç óïîìÿíóòîé ÊÍÔìîæíî ïîëó÷èòü ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ ÔÀËF (y),ïðîñòûå èìïëèêàíòû êîòîðîé âçàèìíî îäíî-çíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò òóïèêîâûì ïîêðûòèÿì ìàòðèöûÒåîðåìà.áåç íóëåâûõ ñòîëáöîâ1≤i≤pM <i,j>=1ïîêðûâàþòîáðàçóþòβ ∈ Nf+ .M.â êàæäîì ñòîëáöå ìàòðèöû M, M ∈B p,s , èìååòñÿ íå ìåíüøå, ÷åì γ·p, åäèíèö. Òîãäà ïîêðûòèå ìàòðèöû M , ïîëó÷àåìîå ñ ïîìîùüþ++11ãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìà, èìååò äëèíó íå áîëüøå, ÷åì d ln (γs)e + .
ln x = ln x, åñëè x ≥ 1,γγ+ln x = 0, 0 < x < 1.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü ïîêðûòèå äëèíû q . Ðàññìîòðèì øàã t àëãîðèòìà. δt Ïóñòü äëÿ äåéñòâèòåëüíîãîγ, 0 < γ ≤ 1,äîëÿ îñòàâøèõñÿ ñòîëáöîâ. Ïîñêîëüêó çà îäèí øàã ìû óäàëÿåì íå ìåíåå îäíîãî ñòîëáöà,ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:γsδtq ≤ t + δt · s. ìàòðèöå íà øàãåtγpsδt åäèíèö, â ñðåäíåì,γsδt åäèíèö. Îòñþäàδt ≤ (1 − γ)t ≤ e−γt . Âçÿââñåãîâ ñòðîêå. Òàêèì îáðàçîì, â ìàêñèìàëüíîé ñòðîêå íå ìåíüøå, ÷åìïîëó÷àåìïàðàìåòðsδt+1 = st+1 ≤ st − γsδt = sδt (1 − γ).t íóæíûì îáðàçîì, è ïîäñòàâèâ åãî âÑëåäîâàòåëüíî,ïåðâîå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì íåîáõîäèìóþîöåíêó.Ëåììà.Ïðè ëþáûõ íàòóðàëüíûõìîùíîñòè íå áîëåå, ÷åìn · 2m ,nèm, m ≤ n,â êóáåBnïðîòûêàþùåå âñå ãðàíè ðàíãàâñåãäà íàéäåòñÿ ïîäìíîæåñòâîm.m è ñèñòåìó åãî ïîäìíîα.
Ðàññìîòðåòü ìàòðèöó, ñâÿçàííóþ ñ ýòîé ïàðîé è âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäûäóùåé òåîðåìîé. Ëåììà. Äëÿ ëþáîãî n, n ∈ N èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ λ(n) = 2n−1 (ýòî äëèíà), R(n) =n · 2n−1 (ýòî ðàíã).Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâî ãðàíåé ðàíãàæåñòâ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êóÝòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Íèæíèå îöåíêè èç ñîâåðøåííîé ÄÍÔ ëèíåéíîé.
Âåðõíèå èçðàçëîæåíèÿ Øåííîíà ïî âñåì ïåðåìåííûì, êðîìå ïåðâîé (òîãäà ïîëó÷èòñÿ íå áîëååñëàãàåìûõ ðàíãîì≤nóìíîæàåì íà 1 áóêâó)Óòâåðæäåíèå.èç-çà òîãî, ÷òî ðàñêëàäûâàåì ïîn−1Ïî÷òè äëÿ âñåõ ÔÀË èçP2 (n)âåðíî2n−1ïåðåìåííîé è åùå îïöèîíàëüíîn|Nf | = 2n−1 · (1 ± O(n · 2− 2 )).Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Îöåíèòü ìàòîæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ðàâíîé14 ), ïîòîì ïåðåéòè ê ñëó÷àþ ñóììû èç n òàêèõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (E = 2;D = 2). Çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà. Ëåììà. Äëÿ ïî÷òè âñåõ ÔÀË f èç P2 (n) âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà: λ(f ) ≤ 43 · 2n−1 · (1 ±nnO(n · 2− 2 )) è R(f ) ≤ 34 · n · 2n−1 · (1 ± O(n · 2− 2 )).0 èëè 1 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè (En−1= 21 ; D =n−2Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà.
Ðàññìîòðåòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó êàê äèçúþíêöèþ äâóõ, îöåíèòüåå äèñïåðñèþ è ìàòîæèäàíèå (Eñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (E=3 n−1;D423= 43 ; D = 16), çàòåì âû÷èñëèòü èõ äëÿ ñóììû èç n òàêèõ3 n−1= 16 2). Äàëåå, àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ.Ëåììà.P2 (n), n ≥ 4, âèäàn−4f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , x2 , x3 )·(x4 ⊕. . .⊕xn ), ãäå N̄ = {(000), (111)}, ðàâíî 52(ñîîòâåòñòâåííî,n−422 ).Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Âûâåñòè âèä ïðîñòîé èìïëèêàíòû èç ñâîéñòâ f è g (Âñåãî â ñîêðàùåííîé ÄÍÔ f 6 ðàçíûõ ÝÊ, à ⊕ âñåõ ñòåïåíåé ÝÊ g ðàâíà 1, âåäü îíà ëèíåéíà). Ïîëó÷èòün−4ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòâàëåíèå (öèêëû äëèíû 6, âñåãî èõ 2). Ëþáàÿ òóïèêîâàÿ (ìèíèìàëü×èñëî òóïèêîâûõ (ìèíèìàëüíûõ) ÄÍÔ ó ÔÀËfèçíàÿ) âêëþ÷àåò îäíî èç 5 (2) ðåáåðíûõ ïîêðûòèé äëÿ êàæäîãî öèêëà, ïîýòîìó ïîëó÷àþòñÿîöåíêè èç óñëîâèÿ.n−4Ñëåäñòâèå.
τ (n) ≥ 52Ëåììà. λñîêð (n) ≥ e1 ·3nn−4µn (n) ≥ 22 ., ãäå e1 íåêîòîðàÿ,n3êîíñòàíòà.Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïîÿñêîâàÿ ÔÀË îòWÄÍÔ1≤i1 <···<in+p−r ≤nσ1 +···+σn+p−r =r.xσi11 · · · xin+r−pn+r−pïåðåìåííûõ áåç îòðèöàíèÿ, à ïîòîì ñðåäèn−rCrn · Cn−p.åå äëèíà ðàâíàëåììûnïåðìåííûõ ñ ðàáî÷èìè ÷èñëàìènÒî åñòü ñíà÷àëà ìû âûáèðàåì ñðåäèn−rïåðåìåííûõn−p[r, p]èìååòrïåðåìåííûõñ îòðèöàíèåì. Òàê ÷òîÂîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé Ñòèðëèíãà, ïîëó÷èì óòâåðæäåíèåÒåîðåìà (Æóðàâëåâà).Ïðè ëþáîìâP2 (n)ñóùåñòâóþò ÔÀËf0èf 00 ,ΣM îäíîé, íî íå âõîäèò âSn−3 (NK , f 0 ) = Sn−3 (NK , f 00 ).Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïîñòðîèì öåïíóþ ôóíêöèþ f ÷åòíîé äëèíû t = 2k ≥ 2n − 2 ≥ 4,000äàëåå ïîëó÷èì öåïíûå ÔÀË f , fíå÷åòíîé äëèíû 2k − 1 óäàëåíèåì ïåðâîé è ïîñëåäíåéâåðøèíû èç ÔÀË f . Òîãäà êàæäîå ðåáðî Ni , ãäå i = 2, .
. . , t − 1, âõîäèò â ÄÍÔ ΣM îäíîé èçíèõ, íî íå âõîäèò â ÄÍÔ ΣM äðóãîé.  êà÷åñòâå NK âîçüìåì Nk . êà÷åñòâå f íàäî áðàòü ÔÀË äëèíû (2n − 2), ó êîòîðîé Nf èç òàêèõ íàáîðîâ, ãäå ïåðâûåi ïåðåìåííûõ ðàâíû 1, îñòàëüíûå íóëè, i ∈ [1, n] è îòðèöàíèé ê ýòèì íàáîðàì (âñåãî 2n − 1íàáîðîâ). Åå ðåáðà, (2n − 2) øòóêè, áóäóò èìåòü âèä {aj , aj+1 }. Ëåììà. Äëÿ ôîðìóëû F, F ∈ U Φ , âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà R(F) = L&,∨ (F) + 1 ≤L(F) + 1 ≤ 2D(F ) , ãäå L&,∨ (F) ÷èñëî ÔÑ & è ∨ â ôîðìóëå F .èìåþùèå îáùóþ ïðîñòóþ èìïëèêàíòóÄÍÔΣMK,n ∈ N, n ≥ 3,êîòîðàÿ âõîäèò â ÄÍÔäðóãîé èç ýòèõ ÔÀË è äëÿ êîòîðîéÝòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Âû÷èñëèòü ÷èñëî ðåáåð, âõîäÿùèõ â âåðøèíû äåðåâà è âûõîäÿ-ùèõ èç âåðøèí è ïðèðàâíÿòü èõ. Âòîðîå ñîîòíîøåíèå èíäóêöèåé (íàèáîëüøèé ðàíã áóäåòïðè ïîëíîì äåðåâå èç áèíàðíûõ îïåðàöèé, è îí áóäåòÑëåäñòâèå.
D(F) ≥ dlog(L(F) + 1)e.Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû F ñ ïîäíÿòûìèåé ôîðìóëàF0òàêàÿ, ÷òî2D ). îòðèöàíèÿìè èçUΦñóùåñòâóåò ïîäîáíàÿD(F 0 ) ≤ dlog(L(F) + 1)e + Alt(F).Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî èíäóêöèåé ïî ðàíãó. Äëÿ òðèâèàëüíîéôîðìóëû ïðèôîðìóëàFR=1óòâåðæäåíèå âûïîëíåíî. Ïóñêàé îíî âûïîëíåíî äëÿ ðàíãàèìååò ðàíãra.è àëüòåðíèðîâàíèåêîíúþíêöèè ôîðìóë ìåíüøåãî ðàíãà, ó êîòîðûõ àëüòåðíèðîâàíèå íå áîëüøå1)}. dðàâíî ñóììå ãëóáèíûFèa − a0 .
dir − 1.ÏóñòüÏðåäñòàâèì ôîðìóëó â âèäå äèçúþíêöèè èëè ãëóáèíàFi .tP2di ≤ 2d .a0 = max{0, (a −Äëÿ êàæäîé ôîðìóëûFii=1ïîñòðîèì ïîäîáíóþ åéF̌iD(F̌i ) ≤ di + a0 . Óïîðÿäî÷èì ôîðìóëû ïî âîçðàñòàíèþäâîè÷íîå d-ÿðóñíîå äåðåâî, óäàëèâ íå èñïîëüçóåìûå ÔÑ.òàêóþ, ÷òîãëóáèíû è ïîäñòàâèì èõ â ïîëíîåÒîãäàD(F̌) ≤ d + a0 ,Ñëåäñòâèå.÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Äëÿ ëþáîé ÝÊ èëè ÝÄD(K) = dlog(L(K) + 1)e,Kñóùåñòâóåò ïîäîáíàÿ ôîðìóëàK0òàêàÿ, ÷òîêîòîðàÿ ìèíèìàëüíà ïî ãëóáèíå.Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáîé ÄÍÔ èëè ÊÍÔ Uñóùåñòâóåò ôîðìóëàU 0 , ÷òî D(U 0 ) = dlog(L(U)+1) + 1e.Ëåììà.F(x1 , .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
