OK-metodichka-2010-part1 (1132792), страница 3
Текст из файла (страница 3)
, fm ), ñîñòîÿùèõ èç m òàêèõ ôóíêöèé, ÷åðåç P2m (X). Êàê ïðàâèëî,ìû áóäåì âûäåëÿòü èç X ìíîæåñòâî ÁÏ X(n) = {x1 , . . . , xn },ãäå n ∈ N, áóäåì ñîïîñòàâëÿòü åìó íàáîð ÁÏ x(n) == (x1 , . . . , xn ) è áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî ÔÀË P2 (n) =P2 (X(n)), à òàêæå åãî ñòåïåíè P2m (n) = P2m (X(n)).ðàçìåðíîñòüþ18Ãëàâà 1.Äèçúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìûÄëÿ çàäàíèÿ ÔÀË f èç P2 (n) ìîæíî èñïîëüçîâàòü åånòàáëèöó çíà÷åíèé, òî åñòü ìàòðèöó M èç ìíîæåñòâà B 2 ,n+1 ,i-ÿ ñòðîêà, i ∈ [1, 2n ], êîòîðîé èìååò âèäM hi, [1, n + 1]i = (α, f (α)) ,ãäå ν (α) = i − 1.
Ïðè ýòîì ñòîëáåö M h[1, 2n ] , n + 1i, îäíîçíà÷íî çàäàþùèé ÔÀË f , ñ÷èòàåòñÿ åå ñòîëáöîì çíà÷åíèéè îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå òðàíñïîíèðîâàííîé ñòðîêè,îáîçíà÷àåìîé ÷åðåç αef . Îòñþäà ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òîn2|P2 (n)| = 2 . Íà ðèñ. 2.2a (2.2b) ïðèâåäåíû òàáëèöû âñåõ(ñîîòâåòñòâåííî ¾îñíîâíûõ¿) ÔÀË îò ÁÏ x1 (ñîîòâåòñòâåííî x1 , x2 ), à íà ðèñ. 2.2c ïåðå÷èñëåíû ñòîëáöû çíà÷åíèé αef èíàçâàíèÿ äëÿ âñåõ óêàçàííûõ ÔÀË. Ñòîëáåö çíà÷åíèé ÔÀËf èç P2 (n) ïðè ëþáîì k ∈ [1, n) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ïðÿìîóãîëüíîé òàáëèöû (ìàòðèöû)äëèíû 2k è âûñîòû 2n−k , i-ÿn−kñòðîêà êîòîðîé, i ∈ 1, 2, èìååò âèäDiE(i − 1) 2k , i2k .αefÊðîìå òîãî, ÔÀË f îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîæåñòâîì, êîòîðîå ñîñòîèò èç âñåõ íà-áîðîâ α ∈ B n òàêèõ, ÷òî f (α) = 1, è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Nf ,à òàêæå åãî äîïîëíåíèåì N f = Nf = B n \ Nf .
Çàìåòèì, ÷òîÔÀË f ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ìíîæåñòâàNf .Íà ðèñ. 2.3a ïîêàçàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ÔÀË òðåõ ïåðåìåííûõ H (x1 , x2 , x3 ), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé, íà ðèñ. 2.3b ïðèâåäåíû ïðÿìîóãîëüíûå òàáëèöû ååçíà÷åíèé, à íà ðèñ. 2.3c âûïèñàíû íàáîðû ìíîæåñòâ NH èNH.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî áèíàðíûå îïåðàöèè &, ∨,⊕ óäîâëåòâîðÿþò îáû÷íûì ¾àëãåáðàè÷åñêèì¿ òîæäåñòâàìàññîöèàòèâíîñòè è êîììóòàòèâíîñòè, à îïåðàöèÿ &, êðîìåòîãî, òîæäåñòâàì äèñòðèáóòèâíîñòè îòíîñèòåëüíî ∨ è ⊕,âàíèÿãîëîñî-2.Ïðåäñòàâëåíèå ÔÀË ñ ïîìîùüþ ÄÍÔx1 x2 x30 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1H00010111a)x1001l x3x2l0110001x2l x3x1l0110110 0 1 10 1 0 10 0 0 10 1 1 1b)NH = {(011) , (101) , (110) , (111)}N H = {(000) , (001) , (010) , (100)}c)Ðèñ.
2.3: ôóíêöèÿ ãîëîñîâàíèÿ1920Ãëàâà 1.Äèçúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìûñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ðàñêðûâàòü ñêîáêè1 . Çàìåòèì,òàêæå, ÷òî èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òîæäåñòâà ïðèâåäåíèÿïîäîáíûõx · 0 = x · x = x ⊕ x = 0,x ∨ 1 = x ∨ x = x ⊕ x = 1, (2.1)x · x = x ∨ x = x ∨ 0 = x ⊕ 0 = x · 1 = x,(2.2)x1 ∨ x1 x2 = x1 ,(2.3)ïîñëåäíåå èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ¾òîæäåñòâîì ïîãëîùåíèÿ¿.Íàïîìíèì, ÷òî ÔÀË âèäàf (x1 , .
. . , xn ) = α1 x1 ⊕ · · · ⊕ αn xn ⊕ α0ëè-èç P2 (n), ãäå α0 , . . . , αn áóëåâû êîíñòàíòû, íàçûâàåòñÿÔÀË è çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâåííûìè ÁÏ ýòîé ÔÀËÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå ÁÏ xi èç ìíîæåñòâà X (n), äëÿ êîòîðûõ ¾êîýôôèöèåíò¿ αi ðàâåí 1. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ÔÀË`n = x1 ⊕ · · · ⊕ xn è `n = x1 ⊕ · · · ⊕ xn ⊕ 1 ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè ñóùåñòâåííûìè ëèíåéíûìè ÔÀË â P2 (n).Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ôîðìóëû ¾àëãåáðàè÷åñêîãî¿ òèïà íàä ìíîæåñòâîìíåéíîéÁ0 = {x1 · x2 , x1 ∨ x2 , x1 } .áóêâàìèÁÏ xi è, êàê îáû÷Ôóíêöèè xi è xi áóäåì íàçûâàòüíî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî x0i = xi , x1i = xi .
Êîíúþíêöèÿ (äèçúþíêöèÿ) r, 1 6 r 6 n, áóêâ ðàçëè÷íûõ ÁÏ èç ìíîæåñòâà X (n) íàçûâàåòñÿ(ñîîòâåòñòâåííî)rX (n). Èç (2.1), (2.2) ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíòàðíàÿýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåéýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé ðàíãà îò áóëåâûõ ïåðåìåííûõ1Ïðè çàïèñè ôîðìóë íàäP2 (2)áóäåì ïðèìåíÿòü îáû÷íûå ñîãëà-øåíèÿ î ¾ñèëå¿ îïåðàöèé, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûìè ÔÀËÔÀˬ ñèëüíåå&, à ÔÀË & ñèëüíåå âñåõ îñòàëüíûõ ÔÀË îò äâóõ ÁÏ. Êðîìå òî-ãî, âíåøíèå ñêîáêè è ñêîáêè, çàäàþùèå ïîðÿäîê ìíîãîêðàòíîãî âûïîëíåíèÿ îäíîé è òîé æå áèíàðíîé àññîöèàòèâíîé îïåðàöèèáóäåì, êàê ïðàâèëî, îïóñêàòü.&, ∨, ∼, ⊕,2.Ïðåäñòàâëåíèå ÔÀË ñ ïîìîùüþ ÄÍÔ21αr1êîíúþíêöèÿ (ÝÊ) K = xαi1 · · · xir è ýëåìåíòàðíàÿ äèçúþíêαr1öèÿ (ÝÄ) J = xαi1 ∨ . .
. ∨ xir , ãäå 1 6 i1 < · · · < ir 6 n,ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ÔÀË ãðàíè NK = Γβ è ååäîïîëíåíèÿ NJ = B n \ Γβ , ãäå íàáîð β èç ([0, 2])n îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî β hip i = αp ïðè âñåõ p ∈ [1, r] èβ hii = 2 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Òàê, ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè x1 x2 x3 x4 , x1 x3 x4 , x1 x4 è x1 ðàíãà 4, 3, 2 è 1 ñîîòâåòñòâåííî îò ÁÏ x1 , x2 , x3 , x4 ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìèÔÀË ãðàíåé êóáà B 4 , ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 2.1b.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíñòàíòà 1 (êîíñòàíòà 0) ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîéêîíúþíêöèåé (ñîîòâåòñòâåííî ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé)ðàíãà 0. Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ îòëè÷íàÿ îò x1 ⊕ x2 è x1 ∼ x2ñóùåñòâåííàÿ ÔÀË îò ÁÏ x1 , x2 ÿâëÿåòñÿ ëèáî ÝÊ, ëèáîÝÄ ðàíãà 2.Äèçúþíêöèÿ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé íàçûâàåòñÿ(ÄÍÔ), à êîíúþíêöèÿ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòàðíûõ äèçúþíêöèé (ÊÍÔ). Ïðè ýòîì ÄÍÔ (ÊÍÔ)ñ÷èòàåòñÿ, åñëè âñå åå ÝÊ (ñîîòâåòñòâåííî ÝÄ)ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò îäíèõ è òåõ æå ÁÏ, à èõ ðàíã ðàâåí ÷èñëó ýòèõ ÁÏ. ×èñëî ÝÊ (ÝÄ) â ÄÍÔ (ñîîòâåòñòâåííîÊÍÔ) A íàçûâàåòñÿ ååè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç λ (A).Ëþáóþ ÔÀË f (x1 , .
. . , xn ), îòëè÷íóþ îò êîíñòàíòû, ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå åå ñîâåðøåííûõ ÄÍÔ è ÊÍÔ ñëåäóþùèì îáðàçîì:äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîéòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîéñîâåðøåííîéêîíúþíê-äëèíîéf (x1 , . . . , xn ) =_xα1 1 . . . xαnn =(α1 ,...,αn )∈Nf=^ββx1 1 ∨ . .
. ∨ xnn . (2.4)(β1 ,...,βn )∈N fÒàê, ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ ÔÀË g (x1 , x2 , x3 ), äëÿ êîòîðîé N g =22Ãëàâà 1.Äèçúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû{(000) , (111)}, (ñì. ðèñ. 2.1a) èìååò âèäg (x1 , x2 , x3 ) == x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 .Çàìåòèì, ÷òî ëþáóþ ÔÀË f èç P2 (n), îòëè÷íóþ îò êîíñòàíòû 0, ìîæíî ïðåäñòàâèòü åå ñîâåðøåííîé ÄÍÔ âèäà(2.4), à ÔÀË f ≡ 0 ôîðìóëîé x1 · x1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ ÔÀË èç P2 ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà ôîðìóëîé íàä Á0 ,è ïîýòîìó ìíîæåñòâî Á0 ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì P2 .Cîâåðøåííóþ ÄÍÔ (2.4) îáîáùàåò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå, êîòîðîå íàçûâàþò, îáû÷íî, ðàçëîæåíèåì Øåííîíà:_σq+1f x0 , x00=xq+1· · · xσnn fσ00 x0 , (2.5)σ 00 =(σq+1 ,...,σn )ãäå q ∈ [0, n], x0 = (x1 , .
. . , xq ), x00 = (xq+1 , . . . , xn ) è fσ00 (x0 ) =f (x0 , σ 00 ). Çàìåòèì, ÷òî ïðè q = 0 âñå ¾îñòàòî÷íûå¿ ÔÀËfσ00 (x0 ) ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè.Ïðåäñòàâëåíèå ÔÀË â âèäå ÄÍÔ èëè ÊÍÔ èìååò ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Ïóñòüf (x1 , . . . , xn ) = K1 ∨ . . . ∨ Ks = A,(2.6)f (x1 , .
. . , xn ) = J1 · · · Jt = B,(2.7)ãäå K1 , . . . , Ks (J1 , . . . , Jt ) ðàçëè÷íûå ÝÊ (ñîîòâåòñòâåííî ÝÄ) îò ÁÏ x1 , . . . , xn . Èç (2.1), (2.2) ñëåäóåò, ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ (2.6) è (2.7) ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèì ïîêðûòèÿììíîæåñòâ Nf è N f ãðàíÿìè êóáà B nNf = NK1 ∪ . . . ∪ NKs ;(2.8)N f = N J1 ∪ . . . ∪ N Jt .(2.9)Òàê, ïðåäñòàâëåíèåg (x1 , x2 , x3 ) = K1 ∨ . . . ∨ K6 ,(2.10)3.Ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ è ñïîñîáû åå ïîñòðîåíèÿ23ãäå N g = {(000) , (111)} èK1 = x1 x3 ,K 2 = x2 x3 ,K 3 = x1 x2 ,K4 = x1 x3 ,K 5 = x2 x3 ,K 6 = x1 x2 ,ñîîòâåòñòâóåò ïîêðûòèþ Ng = N1 ∪ . . .
∪ N6 , ãäå Ni = NKiïðè âñåõ i = 1, . . . , 6 (ñì. ðèñ. 2.1a). Çàìåòèì, ÷òî ñîâåðøåííûå ÄÍÔ è ÊÍÔ ÔÀË f èç (2.4) çàäàþò ïîêðûòèå ìíîæåñòâ Nf è N f ñîîòâåòñòâåííî ãðàíÿìè ðàçìåðíîñòè 0. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óêàçàííóþ âûøå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ, ìû íå áóäåì â äàëüíåéøåì äåëàòü ñóùåñòâåííûõðàçëè÷èé ìåæäó ÝÊ Ki è ñîîòâåòñòâóþùåé åé ãðàíüþ NKi ,à òàêæå ìåæäó ÄÍÔ âèäà (2.6) è ñîîòâåòñòâóþùèì åé ïîêðûòèåì (2.7).Ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ ÔÀË f , f ∈ P2 (n), ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ÄÍÔ îò ÁÏ X (n), êîòîðàÿ ðåàëèçóåòýòó ÔÀË, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âî ìíîæåñòâå Nfíåò ñîñåäíèõ íàáîðîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñîâåðøåííàÿ ÄÍÔ ÔÀË f ÿâëÿåòñÿ åäèíËåììà 2.1.ñòâåííîé ÄÍÔ îò ÁÏ X (n), êîòîðàÿ ðåàëèçóåò ýòó ÔÀË,òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ìíîæåñòâå Nf íåò ãðàíåé ðàçìåðíîñòè áîëüøå 0, ÷òî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî â ìíîæåñòâåNf íåò ñîñåäíèõ íàáîðîâ.Ñîâåðøåííûå ÄÍÔ ÔÀË `n, `n ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè ÄÍÔ ýòèõ ÔÀË îò ÁÏ X (n).Ñëåäñòâèå.3Ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ è ñïîñîáû åå ïîñòðîåíèÿÐàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå âèäû ÄÍÔ èèõ ¾ãåîìåòðè÷åñêóþ¿ èíòåðïðåòàöèþ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òîÔÀË f 0ÔÀË f 00 , èëè, èíà÷å, ÔÀË f 000ÔÀË f , åñëè Nf 0 ⊆ Nf 00 , òî åñòü èìïëèêàöèÿãëîùàåòèìïëèöèðóåòïî-24Ãëàâà 1.Äèçúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû(f 0 → f 00 ) òîæäåñòâåííî ðàâíà 1.
Ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ, êîòîðàÿ èìïëèöèðóåò ÔÀË f , íàçûâàåòñÿýòîé ÔÀË. Çàìåòèì, ÷òî îòíîøåíèå èìïëèöèðóåìîñòèÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà è ÷òî f 0 èìïëèöèðóåò f 00 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f 00 = f 0 ∨ f 00 èëèf 0 = f 0 · f 00 . Îòñþäà ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ÝÊ K 0 èìïëèöèðóåò ÝÊ K 00 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâî áóêâK 00 ñîäåðæèòñÿ âî ìíîæåñòâå áóêâ K 0 , òî åñòü K 0 = K 00 · Käëÿ íåêîòîðîé ÝÊ K , íå èìåþùåé îáùèõ áóêâ ñ ÝÊ K 00 . Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ÝÊ K 0 ìîæåò áûòü ¾óñòðàíåíà¿ èç ÄÍÔ K 00 ∨ K 0 ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ(2.3).Äèçúþíêòèâíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó A âèäà (2.6) áóäåìíàçûâàòü, åñëè ñîîòâåòñòâóþùåå åé ïîêðûòèåÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì (ñì.
1), òî åñòü íè îäíà èç ãðàíåéNK1 , . . . , NKs íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîé èç äðóãèõ ãðàíåéïîêðûòèÿ (2.8). Íà ¾ÿçûêå èìïëèöèðóåìîñòè¿ ýòî îçíà÷àåò,÷òî íè îäíà èç ÝÊ Ki , i ∈ [1, s], íå ÿâëÿåòñÿ èìïëèêàíòîéÝÊ Kj , ãäå j ∈ [1, s] è i 6= j . Çàìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ (2.3) èç ëþáîé ÄÍÔ A ìîæíî ïîëó÷èòüb.íåïðèâîäèìóþ ÄÍÔ AÈìïëèêàíòà K ÔÀË f íàçûâàåòñÿýòîé ÔÀË, åñëè îíà íå ïîãëîùàåòñÿ íèêàêîé äðóãîéîòëè÷íîé îò íåå èìïëèêàíòîé ÔÀË f . Èç îïðåäåëåíèé è îòìå÷åííûõ âûøå ôàêòîâ ñëåäóåò, ÷òî â ïðîñòóþ èìïëèêàíòóÔÀË f íå âõîäÿò áóêâû íåñóùåñòâåííûõ ÁÏ ýòîé ÔÀË è ÷òîèç ëþáîé èìïëèêàíòû ÔÀË f ìîæíî ïîëó÷èòü åå ïðîñòóþèìïëèêàíòó óäàëåíèåì íåêîòîðûõ áóêâ.
Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ èìïëèêàíòà ÔÀË f èìïëèöèðóåò íåêîòîðóþïðîñòóþ èìïëèêàíòó f . Ñ ¾ãåîìåòðè÷åñêîé¿ òî÷êè çðåíèÿïðîñòûå èìïëèêàíòû ÔÀË f ñîîòâåòñòâóþò ìàêñèìàëüíûìïî âêëþ÷åíèþ ãðàíÿì ìíîæåñòâà Nf .Äèçúþíêöèÿ âñåõ ïðîñòûõ èìïëèêàíò ÔÀË f íàçûâàåòñÿ ååÄÍÔ. Çàìåòèì, ÷òî ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔèìïëèêàí-òîéíåïðèâîäèìîéïðîñòîé èìïëèêàí-òîéñîêðàùåííîé3.Ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ è ñïîñîáû åå ïîñòðîåíèÿ25ÔÀË f ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìîé ÄÍÔ è ÷òî åé ñîîòâåòñòâóåòïîêðûòèå ìíîæåñòâà Nf âñåìè ìàêñèìàëüíûìè ïî âêëþ÷åíèþ ãðàíÿìè ìíîæåñòâà Nf ýòîé ÔÀË. Óêàçàííîå ñîîòâåòñòâèå ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ íà îñíîâå ¾ãåîìåòðè÷åñêèõ¿ ñîîáðàæåíèé.
Òàê, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 2.1ïðàâàÿ ÷àñòü (2.10) ÿâëÿåòñÿ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ ÔÀË g , à èçðèñ. 3.1a âûòåêàåò, ÷òî ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ ÔÀË g 0 (x1 , x2 , x3 , x4 ),äëÿ êîòîðîé αeg0 = (1111 1011 1101 1010), èìååò âèäg 0 = K10 ∨ . . . ∨ K70 ,(3.1)ãäå K10 = x3 x4 , K20 = x2 x3 , K30 = x2 x4 , K40 = x1 x3 , K50 == x2 x4 , K60 = x1 x4 , K70 = x1 x2 , ïðè÷åì ÝÊ Ki0 , i = 1, . . . , 7,ñîîòâåòñòâóåò ãðàíè Ni0 = NKi0 íà ðèñ. 3.1a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
