OK-metodichka-2010-part3 (1132794)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòèìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÔàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêèÑ. À. ËîæêèíËåêöèè ïî îñíîâàìêèáåðíåòèêè(âàðèàíò 2010 ã., ãëàâà 3)Ìîñêâà 2010ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå43 Ñèíòåç è ñëîæíîñòü óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì71234567Çàäà÷à ñèíòåçà. Ïðîñòåéøèå ìåòîäû ñèíòåçàñõåì è ñâÿçàííûå ñ íèìè âåðõíèå îöåíêèñëîæíîñòè ôóíêöèé. . . .
. . . . . . . . . . . . 7Ïðîñòåéøèå íèæíèå îöåíêè ñëîæíîñòè ÔÀË.Íèæíèå ìîùíîñòíûå îöåíêè ôóíêöèéØåííîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ìåòîä êàñêàäîâ äëÿ êîíòàêòíûõ ñõåì èñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.Ìåòîä Øåííîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Ðåãóëÿðíûå ðàçáèåíèÿ åäèíè÷íîãî êóáà èìîäåëèðîâàíèå ôóíêöèé ïåðåìåííûìè.Ñèíòåç ñõåì äëÿ íåêîòîðûõ äåøèôðàòîðîâ èìóëüòèïëåêñîðîâ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . 28Äèçúþíêòèâíî-óíèâåðñàëüíûå ìíîæåñòâàôóíêöèé. Àñèìïòîòè÷åñêè íàèëó÷øèéìåòîä Î. Á. Ëóïàíîâà äëÿ ñèíòåçàñõåì èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîââ áàçèñå {&, ∨, ¬} . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Àñèìïòîòè÷åñêè íàèëó÷øèé ìåòîä ñèíòåçàêîíòàêòíûõ ñõåì . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 40Àñèìïòîòè÷åñêè íàèëó÷øèé ìåòîä ñèíòåçà ôîðìóëâ áàçèñå {&, ∨, ¬}. Ïîâåäåíèå ôóíêöèè Øåííîíàäëÿ ãëóáèíû ÔÀË. . . . . . . . . . . . . . . . . 462Îãëàâëåíèå83Ñèíòåç ñõåì äëÿ ÔÀË èç ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ.Îöåíêè ñëîæíîñòè èíäèâèäóàëüíûõ ÔÀË,ìèíèìàëüíîñòü íåêîòîðûõ ñõåì. . . . . . . . . . 49Ëèòåðàòóðà56ÂâåäåíèåÊóðñ ¾Îñíîâû êèáåðíåòèêè¿ (ðàíåå ¾Ýëåìåíòû êèáåðíåòèêè¿), ñîçäàòåëåì è îñíîâíûì ëåêòîðîì êîòîðîãî áûë÷ë.-êîðð. ÐÀÍ Ñ. Â. ßáëîíñêèé, ÷èòàåòñÿ íà ôàêóëüòåòåÂÌèÊ ÌÃÓ ñ ïåðâûõ ëåò åãî ñóùåñòâîâàíèÿ.  íàñòîÿùååâðåìÿ îí ÷èòàåòñÿ â 68 ñåìåñòðàõ è ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûìäëÿ âñåõ ñòóäåíòîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè 01.02 ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà, à òàêæå áàêàëàâðîâ îäíîèìåííîãî íàïðàâëåíèÿ 510200 è íàïðàâëåíèÿ 010400 èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè.
Ïðè ýòîì îáúåì è, â íåêîòîðîé ñòåïåíè, ïðîãðàììà êóðñà ¾Îñíîâû êèáåðíåòèêè¿ âàðüèðóþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò ñïåöèàëèçàöèè è íàïðàâëåíèÿ.Êóðñ ¾Îñíîâû êèáåðíåòèêè¿ ïîñâÿùåí èçëîæåíèþ òåîðèè äèñêðåòíûõ óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîéêèáåðíåòèêè.  íåé ðàçðàáàòûâàþòñÿ è èçó÷àþòñÿ äèñêðåòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàþùèå ôóíêöèîíèðîâàíèå è ñòðóêòóðó ñëîæíûõ ñèñòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè (èíòåãðàëüíûõ ñõåì, ïðîãðàìì è ò.
ï.).  îñíîâå ýòèõìîäåëåé ëåæàò ðàçëè÷íûå ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþ äèñêðåòíûõ ôóíêöèéè èõ ñòðóêòóðíàÿ ðåàëèçàöèÿ â òåõ èëè èíûõ êëàññàõ ãðàôîâ (êëàññàõ ñõåì). Ïðè èññëåäîâàíèè óïðàâëÿþùèõ ñèñòåìñòàâÿòñÿ è ðåøàþòñÿ äâå îñíîâíûå çàäà÷è: çàäà÷à àíàëèçàè çàäà÷à ñèíòåçà.Çàäà÷à àíàëèçà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ äàííîé ñõåìû, à çàäà÷à ñèíòåçà â ïîñòðîåíèè ñõåìû,èìåþùåé (ðåàëèçóþùåé) çàäàííîå ôóíêöèîíèðîâàíèå. Êàæäàÿ èç ýòèõ çàäà÷ ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ëèáî êàê èíäè4Ââåäåíèå5âèäóàëüíàÿ çàäà÷à, è òîãäà åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ êîíêðåòíîå ôóíêöèîíèðîâàíèå (ñõåìà), ëèáî êàê ìàññîâàÿ çàäà÷à,è òîãäà åå ðåøåíèåì äîëæåí áûòü àëãîðèòì íàõîæäåíèÿôóíêöèîíèðîâàíèÿ (ñõåìû). Çàäà÷à ñèíòåçà èìååò, êàê ïðàâèëî, ìíîæåñòâî ðåøåíèé, èç êîòîðûõ âûáèðàþò ðåøåíèå,îïòèìàëüíîå ïî êàêîìó-ëèáî êðèòåðèþ.
×àùå âñåãî â êà÷åñòâå òàêîãî êðèòåðèÿ âûñòóïàåò ñëîæíîñòü ñõåìû, ïîíèìàåìàÿ êàê ñóììà ñëîæíîñòåé ñîñòàâëÿþùèõ åå ýëåìåíòîâèëè çàäåðæêà ñõåìû, ïîíèìàåìàÿ êàê ìàêñèìàëüíàÿ ñóììà çàäåðæåê äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâñõåìû.Ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ðàçëè÷íûå êðèòåðèè îïòèìàëüíîñòè îòðàæàþò ðàçëè÷íûå ïàðàìåòðû ìîäåëèðóåìûõ ýëåêòðîííûõ ñõåì èëè ïðîãðàìì. Òàê, íàïðèìåð, ñëîæíîñòü ìîæåò õàðàêòåðèçîâàòü ñòîèìîñòü, ðàçìåðû èëè ïîòðåáëÿåìóþ ìîùíîñòü ÑÁÈÑ, à òàêæå âðåìÿ âûïîëíåíèÿïðîãðàììû íà îäíîì ïðîöåññîðå. Ïðè ýòîì çàäåðæêà ñõåìûõàðàêòåðèçóåò âðåìÿ ñðàáàòûâàíèÿ ÑÁÈÑ èëè âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ïðîãðàììû íà ïàðàëëåëüíûõ ïðîöåññîðàõ è ò. ï.Åñëè çàäà÷à ñèíòåçà ðåøåíà â îäíîé ìîäåëè, ìîæíî ïûòàòüñÿ ïåðåíåñòè ýòî ðåøåíèå â äðóãèå ìîäåëè ñ ïîìîùüþñòðóêòóðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Êðîìå òîãî, ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ìîæíî ¾óëó÷øèòü¿ ñ ïîìîùüþ ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè çàäà÷à ñèíòåçà ðåøåíàäëÿ îäíèõ ôóíêöèé, ìîæíî ïûòàòüñÿ ¾ðàçáèòü¿ (äåêîìïîçèðîâàòü) íîâóþ ôóíêöèþ íà óæå ðàññìîòðåííûå è ïîñòðîèòüèç ñèíòåçèðîâàííûõ äëÿ íèõ ñõåì ñõåìó äëÿ íîâîé ôóíêöèèñ ïîìîùüþ îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè.Óêàçàííûå âûøå çàäà÷è ðàññìàòðèâàþòñÿ â ëåêöèÿõ äëÿâñåõ îñíîâíûõ êëàññîâ ñõåì (äèçúþíêòèâíûå íîðìàëüíûåôîðìû, ôîðìóëû è ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ,êîíòàêòíûå ñõåìû), à òàêæå äëÿ íåêîòîðûõ ìîäèôèêàöèéýòèõ êëàññîâ.Ïåðâàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ðàçëè÷íûì âîïðîñàì ïðåäñòàâ-6Ââåäåíèåëåíèÿ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè ñ ïîìîùüþ òàáëèö è äèçúþíêòèâíûõ íîðìàëüíûõ ôîðì (ìèíèìèçàöèÿ äèçúþíêòèâíûõíîðìàëüíûõ ôîðì).Âòîðàÿ ãëàâà ñîäåðæèò îïèñàíèå ñòðóêòóðû è ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñõåì èç îñíîâíûõ êëàññîâ óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì,à òàêæå èç íåêîòîðûõ êëàññîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé èõîáîáùåíèÿ èëè ìîäèôèêàöèè.
 íåé óñòàíàâëèâàþòñÿ âåðõíèå îöåíêè ÷èñëà ñõåì ðàçëè÷íûõ òèïîâ, ðàññìàòðèâàþòñÿîñîáåííîñòè ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè â ðàçëè÷íûõ êëàññàõ ñõåì è íåêîòîðûå âîïðîñû èõ ñòðóêòóðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.Âî âòîðîé ãëàâå èçó÷àþòñÿ òàêæå ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñõåì íà îñíîâå òîæäåñòâ âî âñåõ îñíîâíûõ êëàññàõ óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì. Äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïðèâîäèòñÿñèñòåìà ¾îñíîâíûõ¿ òîæäåñòâ, äîêàçûâàåòñÿ ïîëíîòà ýòîéñèñòåìû è èçó÷àþòñÿ âîïðîñû åå èçáûòî÷íîñòè. òðåòüåé ãëàâå ïîäðîáíî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ñèíòåçà óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì.
 íåé ïðèâîäèòñÿ öåëûé ñïåêòðìåòîäîâ ñèíòåçà ñõåì (îò ïðîñòåéøèõ äî àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûõ), óñòàíàâëèâàþòñÿ íèæíèå ìîùíîñòíûå îöåíêèôóíêöèé Øåííîíà è îöåíêè ñëîæíîñòè ðÿäà êîíêðåòíûõôóíêöèé, äîêàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîñòü íåêîòîðûõ ñõåì. ÷åòâåðòîé ãëàâå ïðåäñòàâëåíû íåêîòîðûå âîïðîñû íàäåæíîñòè è êîíòðîëÿ ñõåì (ïîñòðîåíèå òåñòâ äëÿ òàáëèö,ñèíòåç ñàìîêîððåêòèðóþùèõñÿ êîíòàêòíûõ ñõåì).Ãëàâà 3Ñèíòåç è ñëîæíîñòü óïðàâëÿþùèõñèñòåì1 Çàäà÷à ñèíòåçà. Ïðîñòåéøèå ìåòîäû ñèíòåçà ñõåì è ñâÿçàííûå ñ íèìè âåðõíèå îöåíêèñëîæíîñòè ôóíêöèé. îáùåì âèäå çàäà÷à ñèíòåçà ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ïî çàäàííîé ñèñòåìå ôóíêöèé ðåàëèçóþùåé åå ñõåìû, êîòîðàÿïðèíàäëåæèò çàäàííîìó êëàññó è íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå çàäàííîãî ôóíêöèîíàëà ñëîæíîñòè.×àñòíûì ñëó÷àåì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåííàÿ â 7ãëàâû 1 çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ÄÍÔ.
Äàäèì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ çàäà÷åé ñèíòåçà ñõåì, è ââåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ.Ïóñòü U îäèí èç ââåäåííûõ â ãëàâå 2 êëàññîâ ñõåì,êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì â òîì ñìûñëå, ÷òî êàæäóþ ñèñòåìó ÔÀË F ìîæíî ðåàëèçîâàòü íåêîòîðîé åãî ñõåìîé Σ,à Ψ êàêîé-ëèáî ôóíêöèîíàë ñëîæíîñòè ñõåì êëàññà U,òî åñòü îòîáðàæåíèå U âî ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèîíàë ñëîæíîñòè Ψ îáëàäàåò ñâîéñòâîì ìîíîòîííîñòè, òî åñòü Ψ (Σ) >Ψ (Σ0 ), åñëè Σ, Σ0 ∈ U, è Σ0 ïîëó÷àåòñÿ èç Σ â ðåçóëüòàòåóäàëåíèÿ âåðøèí èëè ðåáåð (ñð.ñ 7 ãë.
1). Âñå ââåäåííûå âãëàâå 2 ôóíêöèîíàëû ñëîæíîñòè ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò.Îïðåäåëèì ñëîæíîñòü Ψ (F ) ñèñòåìû ÔÀË F îòíîñèòåëüíî78Ãëàâà 3. Ñèíòåç è ñëîæíîñòü óïðàâëÿþùèõ ñèñòåìôóíêöèîíàëà Ψ â êëàññå U êàê ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû Ψ (Σ) íà ìíîæåñòâå òåõ ñõåì Σ èç U, êîòîðûå ðåàëèçóþò F . Ïðè ýòîì ñõåìà Σ, ïðèíàäëåæàùàÿ êëàññó U, êîòîðàÿðåàëèçóåò F è äëÿ êîòîðîé Ψ (Σ) = Ψ (F ), íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé ñõåìîé â êëàññå U îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà Ψ. ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèîíàëà Ψ, ìèíèìàëüíàÿ ñõåìàâñåãäà ìîæåò áûòü íàéäåíà ñðåäè ïðèâåäåííûõ ñõåì.Âåëè÷èíó Ψ (F ), â òîì ñëó÷àå êîãäà ôóíêöèîíàë Ψ ñîâïàäàåò ñ ââåäåííûì â ãëàâå 2 ôóíêöèîíàëîì L (D, R, è ò. ä.),áóäåì íàçûâàòü ñëîæíîñòüþ (ñîîòâåòñòâåííî ãëóáèíîé, ðàíãîì, è ò.
ä.) ñèñòåìû ÔÀË F . Ââåäåì ôóíêöèþΨ (n) = max Ψ (f ) ,f ∈P2 (n)êîòîðàÿ, îáû÷íî, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Øåííîíà äëÿ êëàññà U îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà ñëîæíîñòè Ψ.  äàëüíåéøåì ñëîæíîñòü ñèñòåìû ÔÀË F îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàAëà Ψ äëÿ ëþáîãî èç ââåäåííûõ êëàññîâ âèäà UAÁ (âèäà U )AAáóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ΨÁ (F ) (ñîîòâåòñòâåííî Ψ (F )), àôóíêöèþ Øåííîíà äëÿ ýòîãî êëàññà îòíîñèòåëüíî Ψ ÷åAðåç ΨAÁ (n) (ñîîòâåòñòâåííî Ψ (n)).  îáîçíà÷åíèÿõ êëàññîâΦUCÁ , UÁ , à òàêæå ñâÿçàííûõ ñ íèìè ôóíêöèîíàëîâ ñëîæíîñòè è ôóíêöèé Øåííîíà, íèæíèé èíäåêñ Á âèäà Á0 áóäåì,êàê îáû÷íî, îïóñêàòü.Îòìåòèì íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ââåäåííûìè ôóíêöèÿìè.
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ñëîæíîñòåé Ψ0 (F )è Ψ00 (F ) ñèñòåìû ÔÀË F îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà Ψ âêëàññàõ ñõåì U0 è U00 ñîîòâåòñòâåííî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîΨ0 (F ) 6 Ψ00 (F ) ,åñëè U0 ⊇ U00 .  ÷àñòíîñòè,ΦΨCÁ (F ) 6 ΨÁ (F ) ,ΨK (F ) 6 Ψπ (F )1. Çàäà÷à ñèíòåçà9è ò. ä. Äîâîëüíî ÷àñòî âûäåëåíèå ïîäêëàññîâ èç îñíîâíûõêëàññîâ ñõåì ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò íàëîæåíèÿ ðàçëè÷íûõ äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ íà ðàññìàòðèâàåìûå ñõåìû.  ÷àñòíîñòè, èç êëàññà ÊÑ âûäåëÿþò π -ñõåìû, ÊÑ, îáëàäàþùèåñâîéñòâàìè ðàçäåëèòåëüíîñòè, è. ò. ï.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñëîæíîñòè L (F ) ñèñòåìû ÔÀË F =(f1 , . .
. , fm ) â ëþáîì èç ðàññìàòðèâàåìûõ êëàññîâ ñõåì âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàmax L (fi ) 6 L (F ) 616i6mmXL (f )i .i=1Çàäà÷à ñèíòåçà äîïóñêàåò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, ñâÿçàííîå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðåáîðíîãî àëãîðèòìà, êîòîðûé, îäíàêî, èìååò áîëüøóþ òðóäîåìêîñòü è ïðàêòè÷åñêè íå ïðèìåíèì, åñëè ÷èñëî ÁÏ áîëüøå 5.Äëÿ ðåàëèçàöèè ïðîèçâîëüíûõ ÔÀË è ïîëó÷åíèÿ âåðõíèõ îöåíîê èõ ñëîæíîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äðóãîé ïðîñòåéøèé ìåòîä ñèíòåçà ñõåì, îñíîâàííûé íà ìîäåëèðîâàíèèñîâåðøåííîé ÄÍÔ. Íà îñíîâå ýòîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, â ÷àñòíîñòè, äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ëåììà 1.1. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè f (x1 , . .
. , xn ),f 6= 0, ñóùåñòâóþò ôîðìóëà Ff , Ff ∈ UΦ , è π -ñõåìà Σf ,êîòîðûå ðåàëèçóþò f è äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:L (Ff ) 6 2n · |Nf | − 1,L (Σf ) 6 n |Nf | .(1.1)Ñëåäñòâèå 1.  ñèëó (1.1), ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ÔÀË 0ìîæíî ðåàëèçîâàòü π -ñõåìîé ñëîæíîñòè 2, à òàêæå ôîðìóëîé èç UΦ , èìåþùåé ñëîæíîñòü 2, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàLC (n) 6 LΦ (n) 6 n · 2n+1 − 1,LK (n) 6 Lπ (n) 6 n · 2n .10Ãëàâà 3. Ñèíòåç è ñëîæíîñòü óïðàâëÿþùèõ ñèñòåìÑëåäñòâèå 2.
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 1 è ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ 2èç òåîðåìû 2.1 ãëàâû 2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîD(n) 6 n + dlog ne + 2.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ ìîäåëèðîâàíèåìñîâåðøåííîé ÄÍÔ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîíòàêòíîãî äåðåâà.Ëåììà 1.2. Äëÿ ëþáîé ÔÀË f, f ∈ P2 (n) è f 6= 0, ñó-ùåñòâóþò π -ñõåìà Σf è ôîðìóëà Ff , Ff ∈ UΦ , êîòîðûåðåàëèçóþò f è äëÿ êîòîðûõ, íàðÿäó ñ (1.1), ñïðàâåäëèâûòàêæå íåðàâåíñòâà:L (Σf ) 6 2n + |Nf | − 2,L (Ff ) 6 2n+1 + |Nf | − 4.Äîêàçàòåëüñòâî.  êà÷åñòâå Σf ìîæíî âçÿòü π -ñõåìó, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç (1, 2n )-ÊÄ ïîðÿäêà n îò ÁÏ x1 , . . . , xn(ñì.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
