С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 58
Текст из файла (страница 58)
акад, Л. Г. Лейбензоном х). 0700 Фнг. 57 ') Этн ьрнвые построены С. Эрном на Основе Обработки опытных ланныж от!Екяип1хся к ламвнарным течениям масел в трубах. См. выше цитированную кингу Греберэ и Эрка, стр. 227-228. а) Л. С. Л ей бе на он, О азнженнн подогре~ой вяэкон жидкости, лзербаилжанское не!(пяное хозяйство, 1922, № 2 (3) н № 4 (б); 1924 № а (27). $24( тзплоовмкн пгп движвнии в кггглой тгявк Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе. Будем счигать, что все частицы жидкости движутся параллельно оси и что действием массовых сил можно пренебречь. Тогда, выбирая для описания двигкенпя цилиндрические координаты и принимая во внимание симметрию течения, будем иметь о, = О, о,, =О, о,=о.
Уравнение неразрывности (последнее в системе (1.47)) при оо этом лайт — =О, следовательно, о=о(г). Так как в рассматриваемом случае )х пг= сопзц то для описании движения жидкости воспользуемся уравнениями (1.30). Из всех входящих в эти уравнения компонент напряжений, определяемых формулами (1.43), будет отлична от нуля только одна; т„= 2рз,„= р.
— . гго Кроме того, приннман во внимание, что левые чзстп уравнений (1.47) представляют собою проекции ускорения жидкой частицы в цилиндрических осях координат, вайдам, что в данном случае буде~: Подставляя все эти значения в систему урзвнений (1.30), получим: (9.19) ди дя лг Лг д бгг (9. 19') Наконец, урзвнение пригока тепла (1.56), если заменить Е его значением из (1 33), примет в данном случае вид; дТ и Гниа, /д-"7 1 ду дз71 о- -= ~ — ) +а( — „+ — =+ —.,~. (920) дх рг 7~лг,) ' ~(дга г йг дза ) ' Тюкин образом, в полной постановке задача сводится к интегрироваишо системы уравнений (9.19), (9.20) при заданной !гав. !х 366 некОтОРые задачи О теплооамене (9.21) где штрих означает производну!о по г.
Так как левая часть равенства (9.21) зависит только от е, а правая только от г, то каждая пз этих частей должна быть равна постоянной величине, которук! мы обозначили для удобл! ства †, где тс — радиус трубы; при этом безразмерная вели(!! чина l!а может быть и отрицательной, т. е. может быть л = !л!. Рассмотрим вначале простейший случай, когда Ь = О. Тогда (9.21) лайт для определения О уравнение пю О"'+ — — — = О. г! (9.22) Интегрируя это уравнение и удовлетворяя условию О = О при г= й, а также требованию, чтобы при г= О и было конечно, найдем, что в данном случае режим течения оказывается параболическим и зависимость и (г) дается формулой (9.08). Для определения р. (е) имеем из (9.21) „—,=О, откуда и'г! й= й!Е+Аа.
В качестве дальнейшего допущения примем, что изменение те! пературы вдоль оси трубы определяется формулой зависимости р(Т); решение в этом случае связано с аналитическими трудностями, которые пока не удаатся преодолеть. Рассмотрим задачу о движении подогретой жидкости в трубе в той постановке, к которой она была сведена акад. Л. С.
Лейбензоном. Допустим, что в перном приближении температуру жидкости в каждом! сечении трубы можно заменить ее средним значением Т*. Тогда будет Т* = Т*(а), а следовательно, п р.=м(г). Принимая это во внимание, продифференцируем обе части первого из уравнений (9.19) по г, а второго — по г и, вычитая пх почленно одно из другого, исключим. давление р. В результзте, разделяя переменные, получим: 9 24) твплоовмвн пги движении в кютлой твкьз Тогда формула (9.96), если положить — =вы примет внд: (9.23) Отсюда находим: х, = — 1и — ).
! (1 (9.23') Подставляя это значение х, в полученное выше выражение для р и вводя вмегто Л, и Л, новые постоянные рч и и, найдем окончательно: (9.24) Г1рн этом постоянная рв представляет собою одновременно величину коэффициента вязкости при Т= Т,. Ход дальнейшего расчета сводится к следующему. Имеем экспериментзльно определенную зависимость р(Т) для данной. в жидкости. Зная Т, и Т„строим график зависимости — =!'('!). чз По значению р=р! при каком-нибудь Ь=б, определяем величину м в формуле (9.24). 11остроив график зависимо.тп — по формуле (9.24), проверяем, в какой мере зависимость я Ро р(0), давземая этой формулой, близка к жшпериментальной.
Если обе кривые можно считать практически совпадающими, то полученное решение является для данной.кидкости в рассматриваемом интервале температур пригодным. В случае, если зависимость (9.24) оказывается непригодной, следует попытаться использовать одно из решений, когорью будут приведены ниже. акад. В. Г. Шухова; прп этом в дальнейшем величину Тз будем обозначать через Т; заметим также, что д.и определенности все последукнцис рассуждения будем вести в предполо кении, что Тз =- Т рв Т„т. е. в предположении, что в.
труоу поступает горячая жидкость, охлаждаемая стенками. -Конечно, весь ход расчета остается тем же и в случае, когда Т == Т Т,. Введем, наконец, безразмерную температуру: Т вЂ” Г, Т,— Т, нвкотоиыи задачи о твплоозмвнв [гл. ~х Заметим, что для последующих расчетов необходимо, чтобы зависимость, определяемая формулой (9.24), совпадала с экспериментальной не иа всди лнтеркгэте О -.= д ( 1, а только в интервале О~(д =.
1, где Зг — значение и пРн и=й т. е. в конечном сечении труоы, причем З, 'ь О. Следует иметь в виду, что это замечание относится также и к полученным ниже формулам (9.28) и (9 34), Впд зависимости р,(Н), определяемой формулой (9.24), показан на фпг. 58 при значениях и= 1 и к=2. Полагая, что величина х нам известна, перейдйм к дальнейшему расчету.
Найдем зависпэюсть между перепадом давления вдоль осп трубы и секундным расходом, Из равенств г"!»г (9.24) и (9.23) будем иметь: где () определяется по формуле (9. 06'). Подставляя данное значение » и выражение п(г) из (йь08) в уравнение (9.19), получим: — — -(1+кр — ) . (9.25) Заметим, что здесь в отлп- чие от изотермического течения Фиг. 58, (см п. 3 9 5), падение дав.ления вдоль оси трубы не является постоянным. Этот результат, как показал акад. Л.
С. Лейбеизон, имеет место в случае движения подогретой жидкос.гп по трубе при любом виде зависимости » (Т), Так как в дальнейшем нас будет интересовать только изменение давления вдоль оси трубы, введам в рассмотрение среднее давление в данном сечении, которое определим формулой ,*= —, ~(рЫ==', ~ рг Г (9. 26) (з! О В рассматриваемом случае уравнение (9.25) сохранит свой вид и при замене р на р*, так как выражение, стоящее в правой исти, не зависит от г.
Тогда, интегрируя (9.2о) по: 8 24) теплоозмен пги движении в кгтглой тгхвв 369 н полагая, что при я=О р' =р„, а при а=1, где! — длина трубы, рт =рп найдйм: Ре — Р~ засим ~' ~ х) Г ') (9,27) Формула (9.27) связывает перепад давления в трубе и среднюю скорость (или расход Я=иУРп*) в случае, когда изменение вязкости с температурой происходит по закону (9.24). Отметим, что падение давления на единице длины трубы с увеличением общей длины 7 растет, в то нреми как при изотермнческом течении (формула (2.24)) зта величина остается постоянной.
рассмотрим теперь при тех же допущениях случай, когда постоянная уг в уравнениях (9.21) отлична от нуля и действительна. Для определения зависимости )х от з получим в атом случае из (9.21) уравнение лги аз ахд ~га Отсюда, интегрируя и обозначая — =зп найдем: р.
= С,е"' + Саа — "" . Заменяя здесь г, его значением из (9.23') и вволя вместо С, и С, новые постоянные р, и А, получим окончательно: (9.28) гл- рв представляет собонз опять значение р при Т = Та. В выражении (9.28) р определяется формулой (9.06*), а значения постоянных А н л должны быть подобраны подобно тому, как это было указано выше для постоянной к в формуле (9.24). Если такой подбор с приемлемой для практики точностью сделать удается, то можно считать, что в данном интервале температур зависимость )х(8) определяется формулой (9.28). Полагая теперь значения А и Ь известными, перейдем к определению профиля скоростей и закона падения давления в трубе.
24 с. м. тарг а70 НЕКОТОРЫЕ ЗЛДЛЧИ О ГЕПЛООБМЕНЕ [гл. Ня )(ля определения О(г) имеем пз (9.211 уравнение относи тельно О': '"-~- —" — (-",а -+ — „) '=О. Линейно независимыми решениями этогоуравнення являнттся цилиндрические функции от мнимого аргумента 1Г((ГГГ) и КГ(/ж,). Так квк скорость течения на осп должна быть конечной, то второе решение следует отбросить. Таким образом, будет, О'=С1,(ЬГ). Отсюда, интегрируя еще раз по г, найдем окончательно: (9.29) г г, =-- 71 Из условия прплипаипя следует, что О=О при г, = !. Следовательно, будет: СГ )о(й) + С. = О. (9 30) Введем вашего С, средню:о скорость о'"', определяемую формулой (9.02).
В данном случае эта формула, если перейти к переменному ГГ, примет вид: 1 О*= 2 ~ ог, ГМГО о Подставляя сюда вместо О его значение пз (9.29), ннтегриоуя и используя зависимость между цилиндрическими функциямп (0,45], будем пметги 'и = С [1„(/Г) — 1 (/Г)1+ С . Решая это уравнение совместно с (9.30), получим: в (в(Л) С,= — —, Ст=о* —. 1,(Л)' 1я(6) ' В результате найдем из (9.29) следующий закон изменения скорости вдоль радиуса трубы: Ов О=1 Л 1)о(гт) )в(йГРГ)1.
ф 2() теплоовмен ПРИ движении В кРуГлОЙ тРубе 371 Профиль скоростей оказывается в данном случае отличным от параболы и уклоняется от ней все более с увеличением гт. На фиг. 59 показан вид профиля скоростей, определяемого формулой (9.31), прп /г =2; пунктиром показана парабола, соответству!Ощая рассмотренному выше случаю !!=О. г й ! Р йу ! (у 7 Ю. Фнг. 59. Перейдем теперь к определеник! давления, Из формулы (9,19), так как мы полагаем, что р = р (-), будем пист!К Ваз!ения здесь о его значениеч из (9.31) и используя после дифференцирования формулу (6.45), найдем окончательно: др ьа Л! гга 27г! 1! (гн — р )а(й Введем здесь вместо 7! его среднее по сечению значение р*, определяемое формулой (9.26). Для этого умногким обе части полученного равенства на 2Г!!ТГ! и проинтегрируем по г, в пределах от 0 до !.
В итоге получим; Лг!Р ! 'Л!! (Л) (9.32) Ла '" ГС 1(Л) . С другой стороны, заменяя в (9.28) Ь ей значением из (9.23), будем иметь: Р = Ра (АР"' +(1 — А) е-"- '1, Подставляя это значение р в равенство (9.32), проинтегрируем его по е. Тогда, полагая, что при е= 0 р* =ра, 26 с, ы, тарг некотогые злдйчи О теплоовмене (гл. гх згй а при е=( (1 — длина трубы) р*=рп найдем окончательно: Ро — Рг Роп 1' (") ~ Д~ — 4 (е — 1) — (1 — А) (е — 1) 1 — —. 11г(И] ! (9.33) Лги Иг — + — „р = О. Каг ог Решением этого уравнения будет: (г = —. 51п (Иаг + е), (9,34) где ро и е — постоянные интегрирования, причйм ро даЕт одновременно значение р при Т= Т„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
