С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 54
Текст из файла (страница 54)
48') 1) Значения а, прк разных и легко опрелелнть по таблние функции х !8 х, приведенной в книге Е. Я н к е и Ф. Э яде, Таблнпы фувкпии, стр. 49. 340 течение ВЯЗКОЙ жидкОСтИ В Сиазонном Слое (ГЛ. Ъ'Щ Следует отметить, что для подшипников величина (, булет невелика, порядка нескольких секунд. Если даже принять, например,! = 10, э = 2смэ(сеж, р, =-10р, )7, = 5 сш, Ь = 0,05 глэ, то,получится (, — 14 сек. ;Для эщмента спл трения найдем из (8.44) и (8.47'): а8 Ад=7(,Р =р)~,—. Формула (8.49) совпадает с формулой (8.10) проф. Н.
П. Петрова с той лишь разницей, что здесь скорость и — величина переменная, возрастающая по закону (8.47). Из полученных результатов с,еедует, что прп малой толщине смазочного слоя пусковой период для подшипников с жидкой смззкой весьма мал н прзктически можно считать, что стационарный режим течения в них устанавливается почти мгновенно. гь дэп„1 Г дэ„ дуэ "э., д( э (8.30) При этол~ мы усэээлнээемся в ааэьнейшел| всвэту вместо В писать Лэ.
Тэк как выражение, стояшее в правой части (8.30), зависит только от (, то это уравнение можно представить э виде: д ".. А(г) дуэ (8.31) гле 1 Г дп„ А (т) =- — ) —" ду. (8.3! ') ""э, Граничными усснээиями попрежнему будут условия (3.42), а именно: при у=О с =п(Г), при у=па п=О. решение рассмотренной задачи было получено в п. 3 й 8 путям интегрирования системы полных уравнений (8.43) н (8.43). Мы приведем ниже, главным образом с пелью оценки степени точности результатов, приближвнное решение той же задачи. Идея метода, еак в в ряде предшествующих случаев, состоит в првближенном учете инерционных членов в уравнении движения вязкой жидкости. В данном случае мы вместо полного уравнения (8,43) буден рассматривать урэвнейне, в котором ускорение заменено его средним по толщине слоя значением и которое имеет вид: ~ 23) нккотогык злдлчи о нккстлновпвшямся ткчкнпи 541 Тогла, интегрируя уравнение (8.51) по у и улоалетворяя указанным граничным условиям, получим: о„= —,, А ~уа — йоу !+и(1 — — ).
(8.52) Подставляя это значение о„в правые части днфференци~чьнгио уравнении орошения шипа (8.45) и выражения (8.51'), придем к равенствам ч и Ила А — = — — — — — п — —. и( гп гида 2т ! Ыи "оиА т тА =- — — — — —. 2 иг !2 йг Введем обозначения рдо 6= —,й л= — ' "о Тогла прелыдушие равенстяа можно привести к виду; (8 53) лйо Ч50 ии — о-А= — — ли — — -, жи Рб' (8 54) 12ллА+ Л вЂ” — б — —.....О.
° иА . ати - о о йе,ы--- . (8.54') иаи тип, о до — + (12+ 4л ) — + 12ли = 12 — — . ~в ~ио ю (8.55) Принимая во внимание (8.53), легко убелиться, что !гг — — — яя- дло и ляется частным решением уравнения (2.55), Тогла общее его реше- ние будет: и= Ге Ш ")а+ Соя (а+а!а+ —, Фо и где 5=б+2л, 1=3' И вЂ” 12л=б ~/ 1+-,-+- ' (856) Исключан иа етой системы уравнений А, найдкм: ( л тии лЦНА Чдо 1+ — у! — +ли — — — = —. 4 т'йе+ 24 ие мл ' Наконеп, лифференцируя (8.54) ио Е н подставляя полученное таким иА ну~ем значение —.
в предыдущее равенство, прилем к слелуюшел~у ий уравнению, которое служит для опрелеления и: твчвнив вязкой жидкости в смазочно» слое !гл. шп 842 Так как при(=Она=О и н=О, то из(852)слелует, что А(0)=0. Тогда, принимая во вйвмаг>ие (854), получим следуюшие начальные условию К(! г>дд дла г при Ь=О и=О, — = — =д —. ив тщ и Удовлетворяя зтнм условиям, найдем, что Ь вЂ” и+! Ейа Ь вЂ” л — >.4Д С,= — . ' — ", Ст= 2! и ' 2> и окончательно; (8.57) ='7"ч ! ! ( )г-( — >а+(, ! -(Ь+х>а1, (8.58) г>, ' ' 2> В нашем случае и((1.
Тогда, как вилно из (856) Ь+)ьоЬ вЂ” ! и последним слагаемым в (8.58) можно вполне пренебречь. Если теперь заменить Ь к ) нх значениями нз (8.56) и, разлагая ! в рял, отбросить члены порядка лт н выше, то придем к приближенному выражению еда — лй и — (1 — е (8 59) ив точности совпалаюнгему с (8.47). Подставляя теперь найденное значение и в (854), мы определим величину А (!), а слеловательно, и закон распрелеления скорое~ей в слое, который дается формулой (8.52). Ограничимся лля сокращения выкладок отысканием приближенного значения А при малых и. Заменяя в этом случае величину и в (8.54) выражением (8.59), найдем, чго А =О. Тогла (8.52) даст от=и> ! —— у1 (8.60) совпадает с (8А7'>.
приближенное решение, полученное нри замене полного (8АЗ) уравнением,(3.50> с осредненной правой частью, дает который прн малых и совпадает с решением полного с точностью ло членов порядка пд что гзкже 1!так, уравнения результат, уравнения 2. Неустаиовивз>ееся движение смазки в слое между двумя наклоненными друг к другу плоскостями. Рассмотрим опять задачу о течении смазки между двумя наклоненными друг к другу пластинами, показанными на фнг. 50.
Будем при этом считать, что верхняя пластика остается все время неподвижной, а нижняя в момент Г = О начинает двпгатьси влево под действием прило.кенной к ней ~>остоянной силы. Найдем закон движения пластины н закон вызванного этим движением течения смазки в слое между пластинамн. э 23) някотогые задачи о накстановившамся тгчении 343 Приближенное уравнение движения в смазочном слое 12.38) для случая неустановившегося течения будет иметь впд: днх ! дй(.г,т) ~ . г ох дс а дх ' ду' ' Сюда же присоединяется уравнение неразрыености — — — — 0 (8.62) дх ' <И Ограничимся при решении зада ш той стенанья~ приближения, которая получается, если произвести в уравнении движения частичный учет инерцпоннык членов, заменяя ускорение его средним по толщине вязкого слоя значением; опенка этого приближен!ш была лана а конце и. 1 настовцего параграфа.
Таким образом, вместо (8.6П воспользуемся приближеинь!м уравнением — -'= А (х,(), (8.63) где А(х,() = — ' -'- — ! — лау, 1 дй(хпГ) 1 Г ди дх ' чй,! дГ н (8. 64) При этом полагаем, что толщина слоя и определяется, как и в п 2 й 22, формулой 8 =да 1+(г Г х) (8.65) Граничные п начальные условия в рассматриваемой задаче буду»: ех и(), т~ О, о =О, о=О; нт— У Р =гчо' при у=О при у=л при х=О (8.66) (8.66') о„=О, и =О, и= — О, и прп 1=0 р=р,, где и — скорость нижней пластины. Перейдем к интегрированию уравнений движении жидкости в смазочном слое. Так как правая часть уравнения (8.63) не зависит от я, то, шпегрируя это уравнение по у и удовлетворяя 344 теченне Вязкой жидеосп! В смазочном слОе (гл.
чп! условиям (8.66) для п„найдем: о„= — А (уа — йу) — и (1 — — „). (8.67) Далее из уравнения (8.62), интегрируя обе его части по у в пределах от 0 до /с и принимая во внимание условия (8.66), будем пмет!с л а ( де„д 0 = 1 —" ду = — ~ о„ду. е о Отсюда, интегрируя по х, получи!и ь 1 о„дУ = (г). о Подставляя сюда о„из (8.67), найдйм окончательно следующее выражение дли А; (8.68) где р — некоторая подлежащая определению функция г, а множ!Стель ла введен с тем, чтобы функция !р была безразмерной. Из (8.67) и (8.68) находим следующее выражение для о,: о„= — и ~1 — — +3 (! "оу,) (ю .!' )~ (8 69) Перейдем теперь к определению сил давления и тренин, действующих на пластину, Заменяя в левой части равенства (8.64) А(х,!) выражением (8.68), а в правой части ое — выражением (8.69), найлем после несложных подсчйтов; др (' ! !!ЕЧ1 ува д(иу) г!х — +бри — „— — 1 — — ' =и.
',)!а д! 7 йл дг Перейдем здесь с почощью (8.65) от переменного к к Ь, а вместо ! введем опять переменное (1, определяемое формулой (8.53). Тогда будем иметь. др бяаи ' ! Ле 1 ж! ! д(ит! (8.70) дд Лlя! !, I!а Л! ' 7 па!!; Л !та В 231 нвкотогыа злдлчп о негстлновившеыся течении 346 Заметим, что при атом условия (8.66) для Р примут внд: Р = Ро пон " = "о " Р =Ро пои л = ло(1 + (о) Интегрируя теперь уравнение (8.70) оо й и удовлетворяя первому из названных условий, получим: р — Ро= — ' ~ — „1и — „+ 3 (1 — — „)(иь) — 6( 1 — — ) ц1 ° лдо и (ио) — + Ь, (им) — пои = О, (8 727 где 6 (2* -)- ло) 12Л Проинтегрировав уравнение (8.72) и замечая, что при ) =Ь и=О, найдем: ир= две ой ( иеоос(8. 'о Полученное выражение, используя формулу интегрирования по частям, можно представить в виде: л ир = — (и — и), ь, (8.73).
где л .,' ло (8.74) о Подставляя значение ъ из (8.73) в формулу (8.71), получим окончательно следунзщее выражение для закона распределения давлений в слое: .†.='-: [4ь( --,":)- +7]+ "Г (8.717 Требуя, чтобы (8.71) удовлетворяло второму из граничных условий для Р, найдем отсюда следующее уравнение для определения р: течение вязкой жидкОсти в смазочно!! слОе (гл. !т!и Полная сила давления, действующая на единицу ширины .пластины, будет: ОНА!а. Р=~ (р — ре)стх= — „~ (Р— Мтт(т.
ала о А Вычисляя интеграл и заменяя Ь! и (та их значениями из (8.72'), найдем окончательно: Полная сила трения, действующая на единицу ширины пластины, будет равна: а т!.~-А!А, г = ~ ту~= — ( ат)т. — — алз! Вычисляя интеграл и заменяя (т! и (!а их значениями из (8.72'), найдем окончательно: ;таа (4, б 1 бва = — ~ а (и (1+ а) — 2+ ~1 + (2+ а)» а. (8.77) Для решения залачи остайтся определить скорость и нижней пластины.
Пусть масса этой пластины равна Л4, а действующан на ней постоянная сила — ьт. Введем обозначения: М вЂ” = !л, аН аН вЂ” = !)т !9 (8.78) где Н вЂ” ширннз пластины. Заметны, по здесь величины ш и т) отличаются по своему смыслу от тех, которые были введены в и. 3 6 8, так кзк длина нижней пластины не равна а. а ло (8. 76) Перейдйм к определению силы трения. Для напряжения силы трения, используя (8.69), найде!! значение: Т,=НЯ =( ~ ! и — 3 —,',и~). .Подставляя шола 7 пз (8.73), будем тять: /4 Ь. г!от ! Ь! Ла~' т=р ~ — — 3 — — ~и+3 — ' — „и.
а! а!!) З! 11! й 23) нвкотогые задачи о нехстлновивц!емся течении 347 Дифференциальное уравнение лвиження пластины при прпнятых обозначениях будет: Ни а 1 — = — — — Р, (8.79) Ж гн гни Заменим здесь величину действующей на единицу ши- рины пластины силы трения Р ее значением из (8.77); одно- временно перейдем к переменному 8 п введем параметр и, определяемый равенством (8.53). Тогда получим: лоч г л — = — — — али — (р — а) ли, на «т (8.80) где временно обозначено а = — 1и (1+и) — —,— —, 8= — !п (1+ й). (8.80') 2'4-а' 1 о Дифференцируя обе части уравнения (8.80) по й и принимая во внимание выражение (8.74), получим: лги да — „= — ~8л — — 'и, (1 — а) ли, но Исключая теперь из этого равенства и нз (8.80') вели. л чину и, придем окончательно к уравнению „-от+((г,+8гг) —,+(г,али=(г, —, (8.81) где в данном случае 'ь = )~ог — (гоал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
