С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Подставляя сюда значение о„из (8,13) и вновь интегрируя, найдем: г, () дх У)а — = — — '- — (И вЂ” И ), 1 (8.14) где постоянная интегрирования И, представляет собою одновременно то знзчение И, при котором давление имеет максимум, так кзк при И=-Иг будет —.--„-ч О. дар дха 820 ткчвнпв вязкой жидкости в смазочном слов (гл, чш 22] установившееся плоско"пАРАллельное течение зей дР Лз др Замечая на основании (8.11), что -ь=/г — 0 /, мы, интедз' а дл' грнруя выражение (8.14) по Ь, найдем; бр(/л / 1 /7, '! /> ==— /7/70 7, л 2/70,) Используя условия (8.!2'), а также рзвенство (8.!1), получим для постоянных интегрирования Ь, и Ь значения; Р7' (/ 2 'гА' ' а/7'; 2+а ' Подставляя втн значения в предыдущее вырзжение для Р п переходя в иам с поа7ощью (8.11) от Ь к х, найдем окончательно следу7ощий закон распределения давлений в слое: бра(/ ! л 1 1(-Л лг 1 Р=/70+ — '~ ! .
— — — — — М (8 15) /7за (77+ах 2+А 2+А(а+Ах)7~ которая получится, если подставить величину Ь, в (8.11), Формулы (8,13) и (8.15) и дают решение поставленной задачи. Перейдем теперь к определению сил давления и трения, действующих на пластины. Умножая разность /7 — /70 на 7/ж и интегрируя по х в пределах от 0 до а, получим из (8.15) для вертикальной составляющей силы давления, приходящейся на единицу ширины пластины, значение Р = — ! ! п (! + /0) — = ] бв/7ах / 27Л 2+а '/'0 (Елб) Как видим, при прочих равных условиях, сила Р зависит от величины /г, пропорциональной тангенсу угла наклона верхней пластины.
Легко пРонеРитгь чтс Р имеет макснмУм, когда /г " 1,2. 2! с. м, тьрг Абсцисса ж, точки максимума давления будет при ятом определяться фор07улой и х,=, + твчвния ВязкОЙ жидкости В смАЭОчнОм слОе (гл. Мги 822 Если подставить это значение )г в выражение (8.16), то получим, что Р „= 0,16)е(7 — „, (8.17) ло Точка максимума давления будет при этом находиться на расстоянии х, = 0,31а от точки О.
Для определения абсциссы точки приложения равнодействующей сил дзвлення х найдем сумму моментов этик спл отно- Р сительно точки С. При этап, полагая угол между пластинами малым, будем считать косинус его равным единице. Тогда из (8.13) получим: а 7С вЂ” — ~ (р — ро)хггх= — ' (67г+ггг — 2(3+2/г)1и(1+)г)). йдгео(о ( а) ° о Так как х = —, то, заменяя Р величиною(8.16), найдем ЕС Р Р окончательно: ба+ля — 2(3+2Л) 1и()+а) Р за [(2.+ Гг) )и ()+а) — 2А) В случае, когда )о=1,2, будем иметь: х = 0,43а. Таким образом, оказывается, что центр давления расположен несколько ближе к точке С.
Из полученных результатов следует, что благодари развивающемуся в смазочном слое избыточному давленщо пластина С)2 может нести нагруаку Р, величина которой определяется Формулой (8.16), а точка прилогкенггя — абсциссой х . Р' Иайлем в заключение действугощую на движущуюся пластину силу трения. Для напряжения силы трения имеем в данном счучае выражение то = ег (,) а) Подставляя к это выра>кение значение о, нз (8.13), получим: и лир то = )е гг 2 Ох 22) устАНОВпвшееся плОскО-пАРАллельнОе течение 828 Заменяя здесь р и й пх значениями из (8.15) и (8.11), найдем окончательно: (/ ( 4Л б(!+Л) аа ) й л !ге+ ах 2+а (и+ах)'-') ' Умножая Обе части равенства (8.19) на ~~А и интегрируя по х в пределах от 0 до а, получим ллн полной величины силы трения, действующей на единицу ширины пластины,значение — 1! — )п (1+а) — — 1.
Ра(У ! 4 6 — гь) ~е о+а (8.20) В частности, при й = 1,2, будем из (8.20) иметь: Г, =0,753' —. л,' (8.21) (— — = О. дУ !У=А Подставляя сюда О, из (8.13), получнм: — — й*-!- —,: = — О, 2! гТЛ ' Ла Формулы (8.20) и.чп (8.21) отличаются от формулы проф. Н. П. Петрова (8.10) только численным коэффициентом, учитывающим перемеш<ость Р Р 'толщины слоя смазки. Е ..~' Заметим, что справа от точки с абсциссой е. ' х = мн где давление имеет максимум„ течение происходит в сторону возрастания дзвления. Вследствие этого, начиная с ,у, некоторого сечения ЕЕ„ 0 определяемого збсциссой Фнг. 5!. х*, движение жидкости вблизи пластины С)У будет происходить в направлении, противоположном нзправлению двнкения нижней пластины (фиг. 51), При этом значение ла определяется из условия тзчвния вязкой жилкости в смазочном слов (гл, чш 324 откуда с помощью (8.14) будем пметси /се = —,, /с,.
(3.22) Р=0,773— ип// ла / =0,130,'Ы вЂ”, (8.23) ла Величины этп довольно близки к тем, которые дасот формулы (8.17) и (8.21). Отметим в заклн>чение, что полученные здесь результаты дают в первом приближении представление о том, за счет чего возникает поллерживающая сила в цилиндрическом подшипнике с жидкой смазкой, а также о порядке величины этой поддерживающей силы и силы трения. Если положить в (8.15) /с=О, то, раскрывая получ;иощуюся неопределенность, найдем, что /с=/сч, т. е.
что подлержпвающая сила прп этом не возникает. Следовательно, поддерживающая сила возникает зз счет наклона верхней ссссастссссьс, вызывающего поджатие вязкого слоя, а с ним и позьшшние давления. В подшипнике с жидкой смазкой наклону пластины соответствует эксцентричное положение шипа в подшипнике. На эту причину появления поддерживающей шип силы и было укззано проф. Н. Е.
Жуковским (см. стр. 319), 3. Движение смазки в цилиндрическом подшипнике. Рзссмотрссм задачу о смазке цилиндрического подшипника при Заменяя /с найденным ранее значением н используя (3.1!) для перехода от /сь к л"', нийдам окончательно: зса+ аа (8. 22') Из (8.22') следусг, что, прп /г(1 будет л*) а и, следовз- тельно, в слое между пластинами течение жидкости буде~ без- отрывным; при /г) 1, т. е. при угле наклона пластин, тангенс которого превосходит вели шну —, вблизи верхней пластссссы ла а' возникает отрыв и обратное течение жидкости. Б частности, при /г = — 1,2 обратное течение начинается в сечении, гле хе = 0,8!!,с, Наибольшее значение К при котором сохраняется сплош- ность смазки, будет /г = 1.
Это значение довольно близко к зна- чению й = 1,2, прп которои Р= Р им Заметим, что при и = 1 будет: 22) устлнон11ВРНГеся плоско-ЛАРАллельнОР течеипе 325 эксцентричном расположении шипз, полагая, что смазка заполняет вса пространство между шипом и подшипником. Прн этом движение смазки з с1юзочном слое будем считать плоско-параллельным. Практически это означает, что мы при расчвте не принимаем во внимание то, что ллина шипа конечна.
Обозначим радиус шипа гс1, радиус подшипника Тсз, а переменную толщину слоя смазки 1 ежду ними й (фиг. 52). Пусть шнп вращается равномерно по часовой стрелке и пусть линейная скорость на поверхности шипа равна Оп Будем поло- 'кение люоой жидкой частицы в смазочном слоеопре- :тт . лелять криволинейными коор- р.' -:-М ~, динатами х ну, где х= ОА, Р '1',"ТС), измеряетсявдольдугп окруж- 1 НОСТ11 Ралиуса гс1, а У От- ' р р р 1 1))))) считывается от точки А по направлению нормали к '11 т Р 11 1)(1)' окружности.
При этом точ-,;а с;.,4)А(' ка Π— неподвижная точка, ", ~~~~~у взятая в точ месте, где расстояние между шипом и подшипником янляется наименьшим. Если ввести централь- Фиг. 52. ный угол л, отсчитываемый от 00, в направлении против вршцения шипа, то будетх=тс1о. Примем теперь, что толщина слоя смазки Ь столь мала по сравненью с радиусом шипа гс„что можно кривизной координатных линий пренебречь и считать для течения в смазочном слое справедливымп приближенные уравнения (2.38). Порядок приближения Судет при этом соответствовать тому, прн котором былз получена формула (8.10). Решение задзчи в этом приб1лпнсении было дано Зоммерфельдом '). Заметим, что при слеланном выборе координат граничные условия лля скоростей в рассматриваемой' задаче в точности др совпада1о1 с (8.12).
Отсюда следует, что величины т и -8 дх будут и в данном случае определяться формуламп (8.13) и (8.14), ') Ем. Рго статьи в выше иитированном срорннке лГндродинами- чесьая теория смазкил. течхних вязкой жидкости в смлзочном слоя (гл. чш 326 'з'именной , =.-;„; —, (Уо — )гу) — л (! — У), ! др и, (8.24) Ер а.г Лз — = — — бфl,— (8.25) где йо как и в (8.! 4), — постоянная интегрирования, определяющая одновременно точки зкстремума давления. Все последующее решение будет отличаться от решения задачи о смазке плоских поиерхностей только тем, что здесь будут иными вид зозисимосоп /г от х и граничные условия для давления. Обозначим расстояние О,Ох между центразш шнпа и подшипника через е и положим разность радиусов Яз†/, = 8. Прп малом е угол О,ВО, близок к нулю и из треугольника О,ОзВ, который может быть пес~роси на фиг.
52, будем прпближанно иметь Дт = й †', Я,-( — е соз л илп 8=8 — с сонм. Легко видеть, ыо всегдз будет о == г, так как о.—.= с+ Ь (0), Влезем тогда новый пзрзметр а, зе:шчинз которого всегдз больше единицы: а = — ' (1 =- а =. оо). (8.2б) В результате зависимость л от (о будет окончательно пред,ставлена в виде: й = с (а — соз со). (8,27) Перейдем теперь к определеншо постоянной интегрпоовзиия Ь'.
Из (8.25), переходя от переменной х к у и интегрируя )!кч(!, будем иметги р(м()=ро=бртС1О ) 1 !о — )В ) Га( (8.28) о о о о где ро давление яоаеленни и = О. При замкнутом слое смазки должно, очевидно, быть Г. а!о(2тг) =ро илн, как 'это'следует пз предыдущего равенства: аг. 22) Усгхнояивп»ется плоско-илгхллельиое тьчение 327 Равенство (8.28) и определяет величину йы Для вы !веления входящих сюдз ин»егрзлов рзссмотрим формулу, спрзведлнвую ири а) 1: ./! (р) = ~ — — =.
=::..:. Лгс (й ~г — !К вЂ”,), (8.29) ИЧ 2 7 7»+1 а — со»Ч уса» - '!» (~ !' а — 1 2 )' О Кроме того, введем обозначения: Р „а — сох т' »,~ (» — сгхй)» ' » ~ !» — са»т)»' Все введенные ин»егрзлы явля!отся функциями параметра и. При этом, кзк легко убедиться простым дифференцировзнием под знаком интегрзлз, будет: д./~ д'» = — —, д» Ползгзя тоглз в (8.29) й=-2п и используя затем предыдущие рзвенствз, нзйдем: )» ໠— 1 (»» — 1) ' (໠— 1): Ззменим теперь в равенстве (8.28) й его вырзжением (8.27). Тогдз, принимзя во внимание обознзчения (8.29'), получим: Полстзвляя сюда знзчен!ш интегрллов пз (8.29"), будем окончательно иметь: "Р» (»» — 1) (8.30) '-е -' Обознзч1!»! угол, при котороз! й=/г„через р!.
Тогда из (8.27) и (8.30) нзйлел!, что :» соз м, =,—,„'— )»»+ ! (8. 30') Равенство (8.30') показывает, что точки экстремумз дзвления нзходятсн в той области, где соз й ) О, т. е. где шип рзсположен ближе к подшипнику. 32З течениг вязкой жидкости в смазочном слОе (Гл. ъ ш Перейдрлг теперь к определению закона изменения давления и напряжения снл трения на поверхности шипа. Заменяя в (8.25) Ь, )гг и е их значениями из (8.27), (8.30) н (8,26), получим: др бийгЦаг ) 2а(аг — 1) 1 8. 31) аг ( 2аг -(- ! (а — соа гг)г (а — соа гер) ' ('" Введен ооозначения аа(' )= д ,~ (а — соа т)г а угу) = ~ — ".— ,) (а — сре е)г а указанные интегралы можно вычислитьч дифференцируя по параметру и обе части равенства (8.29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
