С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Фиг. 52. Найдйм приближенное значение '„, в случае, когда р >) 1, а Т <~ (9.57') слелует, что этп прелположения соот подшипника с жидкой смазкой. Из равенств ветствуют случаю Обращаясь к уравненшо (9.59), видим, что прп р)>1 и Т ~(р лолжно быть сгп., >) 1 п, следовательно, $г((1. полагая тогда приближенно сгп „-, —,, получим из (9.59) для Действительно, в случае подшипника будет с» >) с н Н>> Л и, следовательно, величина ) будет очень велика. С аругой стороны, если даже принять А =0,05 к кал)месса '11 (см. Еитировгнн)ю на стр. 337 книгу А. К.
Зайцева, стр. 189), Л=б,5мм и 1=3 10»ккалумсек 'П, то булет т = 1, что значительно меньше ), хотя величина 1 здесь опрелелеяа с преувеличением. некотогые зАЛАчи О теплоовмене [гл. 1х 392 определения с, уравнение 1 =- 4':, †, откуда найдаьп 1+7 (9.62) Отбросим теперь в бесконечной сумме, входящей в (9.60), все слагземые, кроме первого, и заменим в этом слагаемом:г его приближенным значением (9.62). Тоглз, пренебрегая ве- 1 личиною — по сравненщо с единиией и аваля 1)„Р из (9.61), полу и1м для ззконз изменения температуры внешнего иплпнлра следующее приближенное выра'кение; 0 (1 „-е,1) Будем считчть, что нагрев цилиндра заканчивается.
когда О, о1личзется от и„не более чем на 1з(ю Тогда лля определенна времени нагрева (1„получзел1 из (9.63) условие — -;1, ' '"=0,01. Заменяя здесь Ч1 его значением из (9.62) и перехоля с полющью (9.55) к рззмерное1у времени, найдем; 1„= 4,6 —— (9.64) или, принимая во внимание (9.57') и (1.10): г = 4,6 ст — '~~~ (9,64') 1+ Кд Формулы (9.641 и определяют время нагрева внешнего цилиндра. Следует иметь в нилу, что приближенные выражения (9.64) и (9.64') будут справедливы только в том случае, когда [(~) 1 и Т --'р. Если эти условия не выполняются, то для определения („ следует обратиться непосредственно к формуле (9.60), вычислив предварительно д|зчения ':„ а если понадобится и ';з, графически.
Чтобы дать представление о порялке величины Гю рассмогрим численный пример. Пусть р=100, "(=0,1, 5=1 жж, а=7.10 алга(сев. Тогда, пользуясь форл1улой (9.64), получим (н = 1 час. 40 мин. Если Т мзло, то ирп прочих равных условиях с уве- и 25] ткплоовман в вязком слов мвждг цплнндидгш 3о3 личенпем /с время нагрева, как видно пз (9.64') пропорционально возрастает. Иьчоженные результаты дают известное представление о предельной температуре и времени нагрева подшипников с жилкой смазкой прп естественном пх охлаждении, При решении некоторых задач о неустановившемся течения в смаючном слое (6 23) изми был испольювзн приближенный приам, основанный на аамене ускорения жидких частил их средним по голшнне слоя значением. Лналогячным путам могут решаться и задачи о теплообмене. Покажем зто на примере предыд)чпей задачи о теплообмене в слое между пилиндрзми, Решение втой зздачи было свелено к интегрированию уравнения (9.56) при условиях (9.57).
Заменим теперь полное уравнейие (9.56) приблпжвнйым уравнением, в котором изменение температуры со временем будет заынено его средним по толшине вяакого слоя значением. Это приближенное уравнение будет прн обозначениях (9.55) иметь вид: д"" — з — — В ((В, дхг где 1 Гдв в(т,)=. — к+. ~ —,ту,. )ой (9.Г)5') Интегрируя (9.65) по р, и уловлетворяя первому из условий (9,57), найдем: 1 а= —,, ву",-+ау,, (9.66) 12 — з 12 — г 2-( (9.67). г)= — х [пг" -а-гг, лз — "-е ж, " ' 1 ( г — л "г — з ' 2(1+7))' ! где й — некоторая, поллежюпая определению функпия от Г,. Подставляя значение О из (9.66) в равенство(9.65') и в последнее из условий (957), получим лля определения ВЩ и 0(тг) следующую систему обыкновенных лифференпиальных уравнений: лВ г(7) — +3 — — 6 В=бм, Ш, ~й, 5 — + 25 — + (2 + 7) В+ 2 (1 + т) 0 = О, лВ г(7) лг~ лг! Решение втой системы, удовлетворякппее условиям В=О я- к) = О прн Г~ — — О, булет: нк!сотоиык зацхчи о ткплооимени [гл.
пс Прн зтом (1 2 — г) 3 -(- 3 (2 -4- т) (! 2 — а) () + 3 (2 + т! п~ = —.—, Ва= о (1 + 1) ' 6 (1 + т) , (9.67') ,з г и з представляют собою взятые с обратными ьнаками корни т авнении .Р гл +(4+123+7).к+12(1 ( ) — 0 (9.67") Формула (9.66) вместе с (9.67) и даат приближенное выражение закона распрелеления температур в вязком слое, заключанном между цилпидрамп. Полагая в (9.66) у, = 1, найдбм для закона изменения со временем температуры внешнего цилиндра выражение 8 =,1 В+() (9.68) вместо точного решения, которое даат формула (9.60). Перехоля к некоторым оценкам степенй точности полученного решения, отметим прежде всего, что для предельного режйма формула (9.66) отлет, очевидно, давать закон распределения температур, совпадающий с тем, который получится в результате интегрирования полного уравнения (9.56).
Действительно, полагая в (9.67) Га — ьз, найдам нз (9.66): 3. = —. ( — 'уа--г!) . 2 ~1-)-т С другой стороны, по теореме А. Н. Тихонова (сзс и. 4 й 18), .значение б о, определяемое уравнением (9.56), получится из уравнения аж бьа — +к=О. н)! 2 Решение же етого уравнения, удовлетворяющее граничным услои'3 е виям (9.5?), из которых последнее примет вид: — +!бас=0 прн с(у~ !ц — 1, сонпалает с (9.69). Заметим еще, что прн у,=! формула (9.69) даат для 9„ внешнего цилинлрз то же выражение, что и (9.61). Пайдбм теперь нз (9.68) закон кзменення температуры внешнего цилиндра в случзе а ~>1, 7((3, который специально был рассмотрен выше.
Пренебрегая в атом случае величинами, порядок которых 1 меньше —, получим из (9.67"): 3 1)-т В результате формулы (9.67) и (9.68), если в ннх отбросить чаены, ;малые по сравнению с елииипей, дадут: 8,= б„а(! — е-ай). ф 25] твплоовмкн в вязком слоя нежит цилиндглмп 696 Принимая во княыанпе (9.62), убежлаемск, что втсп результат совпадает с прнблнжбнным вырви еипем (9.63), которое при ~Ч» ), 7 ~~ а дает точное решение. Из сделанных сравнений следует, что решение. полученное в результате замены полного уравнения притока тепла приближенным уравнением вида (9.65), лает практически вполне удовлетворительную точность. )ды привели этот расчвт с гем, чтобы лкшкпй раз одрэппь внимание на целесообразность применения в подобных случаях указанного приближенного метода решения.
4. Предельное распределение температур при отсутствии отдачи телла от внутреннего цилиндра во внешнюю среду. Рассмотрим предыдущую задачу прп несколько измененных граничных условиях. Пусть внутренний цилиндр полностью изолирован от внешней среды и вся получаемое пм от жидкости тепло идет на нэгреванпе самого цилпндрэ. Внешний цилиндр полагаем при этом находящимся в тех же условиях, что ц в предыдущей задаче.
Тогда для вязко~о слоя, заключенного к~ежду шкчпндрэмп, граничные условия вместо (9.57) примут, очевидно, впд: прп )5=0 эу1 ' ''пг1 (9.70) прп у, = 1 Здесь р п Т имеют те же значения, что п в (9.57'), э 'р, — выражение, аналогичное р, но только содержэщее в числителе р„ с, и утм Начальным у ловпем попрежнему будет й= 0 при ( = О. Таким образом, рассматриваемая зэдзча сводится к интегрированию урэвнення (9.56) прп указанном начальном условии п прп грэнпчных условиях (9.70).
Ей точное или приближенное решение может быть получено подобно тому, кзк это было сделано в предыдущем слу чае, однако рэсчйт здесь связан со значительно более громоздкими выкладками. Мы ограничимся определением предельного режима рзспределешш температур в слое между цилиндрами. Согласно упоминавшейся выше теореме А. Н. Тихонова этот предельный режим распределения температур, если он существует, будет некотогыв зьдхчн о !еплооьмене (гл !х определяться из уравнения Пазы ---„.
+х= О, !(у; (9.71) Прн этом граничные >словца (9.70) для предельного режима примут внд: при у,=О [9. 72) паса — =О; !( у! Фо „вЂ” +Гч =О. пт! прп у, =1 Тогда, интегрируя (9.71), получим: х >, = — —,у!+Сну!+Се. 2 Удовлетворяя граничным условиям (9.72), найдем: ') С, = О, Са =:,' х )т Следовательно, предельный режим распределения температур в слое между цвлпндрамп будет: л !12)т 2 2(, т (9,73) Г!влагая в (9.73) 25 = О, а затем у, = 1, найдйм предельные температуры внутреннего н внешнего цилиндров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
