Материалы семинара по аксиоматической теории множеств (1131874)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Упражнения по аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля(ZF)ZF — это теория с равенством сигнатуры ∅, ∅, ∈(2) . Предметы модели теории ZF называются множествами. Оценка символа ∈ называется отношением принадлежности элемента множеству. Первыйаргумент этого отношения называется элементом второго аргумента.Упражнение 1Предложить аксиому, адекватно определяющую в сигнатуре теории ZF1.

константу {∅};2. константу {{∅} , {{∅}}};3. функциональный символ ∆(2) : x∆y — симметрическая разность множеств x и y;4. функциональный символ !(1) : !x — дополнение множества x;(1)5. функциональный символ {·}6. функциональный символ {·, ·}: {x} — множество из одного элемента x;(2): {x, y} — неупорядоченная пара элементов x, y;7. функциональный символ (·, ·)(2) : (x, y) — упорядоченная пара элементов x, y;8.

функциональный символ fst(1) : fst(x) — первый элемент упорядоченной пары x;9. функциональный символ snd(1) : snd(x) — второй элемент упорядоченной пары x;10. функциональный символ ×(2) : x × y — декартово произведение множеств x и y;11. предикатный символ BinRel(1) : BinRel(x) = true ⇔ x — бинарное отношение;12. предикатный символ Fun(2) : Fun(x, y) = true ⇔ x — функция, всюду определённая на множестве y;13. предикатный символ PartFun(2) : PartFun(x, y) = true ⇔ x — функция, частично определённая на множестве y;14. функциональный символ dom(1) : dom(x) — область определения функции x;15. функциональный символ val(1) : val(x) — область значений функции x;16. предикатный символ Inj(1) : Inj(x) = true ⇔ x — инъективное отображение;17. предикатный символ Inj(1) : Inj(x) = true ⇔ x — сюръективное отображение;18.

предикатный символ Inj(1) : Inj(x) = true ⇔ x — биективное отображение;19. предикатный символ PartOrd(1) : PartOrd(x) = true ⇔ x — частично упорядоченное множество;20. предикатный символ TotOrd(1) : TotOrd(x) = true ⇔ x — линейно упорядоченное множество;21. предикатный символ Minimal(2) : Minimal(x, y) = true ⇔ x — минимальный элемент частично упорядоченного множества y;22. предикатный символ Least(2) : Least(x, y) = true ⇔ x — наименьший элемент частично упорядоченногомножества y;23. предикатный символ Maximal(2) : Maximal(x, y) = true ⇔ x — максимальный элемент частично упорядоченного множества y;24. предикатный символ Greatest(2) : Greatest(x, y) = true ⇔ x — наибольший элемент частично упорядоченного множества y;125. предикатный символ Nat0 (1) : Nat0 (x) = true ⇔ x — натуральное число (или ноль);26.

предикатный символ ≤(2) : x ≤ y естественное отношение сравнения натуральных чисел27. функциональный символ |·|(1) : |x| — мощность конечного множества x;28. функциональный символ S(1) : S(x) — число, следующее за натуральным числом x;29. функциональный символ +(2) : x + y — сумма натуральных чисел x и y;30. функциональный символ ∗(2) : x ∗ y — произведение натуральных чисел x и y31. предикатный символ Finite(1) : Finite(x) = true ⇔ x — конечное множество;32. предикатный символ FinSeq(1) : FinSeq(x) = true ⇔ x — конечная последовательность;33. предикатный символ Seq(1) : Seq(x) = true ⇔ x — последовательность;34.

предикатный символ Real(1) : Real(x) = true ⇔ x — действительное число;35. функциональный символ +(2) : x + y — сумма действительных чисел;36. функциональный символ ∗(2) : x ∗ y — произведение действительных чисел;√37. константу 2;38. предикатный символ ≤(2) : x ≤ y естественное отношение сравнения действительных чиселУпражнение 2Подстановкой определений исключить из формулы символы, не входящие в сигнатуру теории ZF1. (x ∪ y) \ z = u ∩ v;2. {x} ⊆ {y, z};3.

x ∈/ 2y ;4. {∅, {∅}} ⊆ x → y = 05. x + y = u ∗ v;6. x + 0 = x;7. 2 + 2 = 4.Аксиомы и схемы аксиом теории ZF1. Аксиома объёмности A= : если множества x, y состоят из одних и тех же элементов, то они равны.2. Аксиома пустого множества A∅ : существует пустое множество ∅.3. Аксиома пары A2 : для любых множеств x, y существует множество {x, y}.4. Аксиома объединения AS : для любого множества x существует множествоSx.5. Аксиома бесконечности A∞ : существует множество, включающее в себя теоретико-множественные представления всех натуральных чисел.6.

Схема выделения A⊆ [ϕ]: для любого множества x существует подмножество y всех его элементов, обладающих свойством ϕ, где ϕ — произвольная формула, не содержащая свободной переменной y.7. Аксиома степени Ap : для любого множества x существует множество всех подмножеств x.8. Схема преобразования A→ [ϕ]: для любого множества x верно: если ϕ — формула, имеющая значениеоднозначной функции, всюду определённой на x, то существует множество всех ϕ-образов элементов x.9. Аксиома регулярности A↓ : в любом непустом множестве x содержится элемент y, такой что x ∩ y = ∅.2Упражнение 3Используя аксиомы теории ZF, доказать, что в любой модели этой теории существует единственное1.

множество {{∅} , {{∅}} , {∅, {∅}}};2. множество {0, 1, 2, 3, 4, 5};3. множество всех простых чисел;4. множество всех чисел, удовлетовряющих гипотезе Гольдбаха (любое чётно натуральное число, не меньшее 4, разложимо в сумму двух простых чисел)5. множество всех целых неотрицательных решений уравнения αx2 + βx + γ = 0 для заданных целыхнеотрицательных чисел α, β, γ;6. множество всех элементов, минимальных по включению в существующем множестве x;7. декартово произведение существующих конечных множеств x, y.8. множество всех целых неотрицательных чисел, содержащих “н” в названии;Упражнение 4Используя аксиомы теории ZF, доказать, что никакая модель этой теории не содержит1.

множество всех множеств;2. множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента;3. множество n∞ , удовлетворяющего соотношению n∞ = n∞ ∪ {n∞ }4. множество {x, y}, где y — дополнение множества x5. множество всех одноэлементных множеств;6. множество x, такое что 2x ⊆ x3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров